董　琦

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乘法需求的兩階段供應(yīng)鏈優(yōu)化問題

董琦

北京郵電大學(xué)理學(xué)院

行業(yè)曲線

本文針對面臨乘法隨機(jī)需求的季節(jié)性商品供應(yīng)鏈模型，提出使供應(yīng)鏈利潤最大化的零售商銷售價、進(jìn)貨量和供應(yīng)商生產(chǎn)能力的求解方法。在經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域起到很大作用。

如付諸現(xiàn)實(shí)將產(chǎn)生宏觀上促進(jìn)銷售行業(yè)供應(yīng)鏈運(yùn)行的經(jīng)濟(jì)效益。

本文中我們研究了季節(jié)性商品銷售的兩階段供應(yīng)鏈模型，此供應(yīng)鏈為單一供應(yīng)商和單一零售商，且零售商面對的隨機(jī)乘法需求模型。在銷售季到來之前的第一階段，供應(yīng)商根據(jù)歷史數(shù)據(jù)和初步調(diào)查預(yù)測即將到來的市場需求，并由此決定對于此商品的預(yù)留生產(chǎn)能力，經(jīng)過一段時間預(yù)備期后進(jìn)入第二階段，供應(yīng)商和零售商更新市場需求，零售商決定進(jìn)貨量和售價。對于此供應(yīng)鏈，我們做出集中決策下的分析，在考慮第二階段時，為使整個供應(yīng)鏈的預(yù)期收益最大化，求得最優(yōu)的進(jìn)貨量和售價；然后考慮第一階段，求得最優(yōu)的預(yù)留生產(chǎn)能力。

本文中，我們研究了集中決策下的優(yōu)化問題，此問題中，單一供應(yīng)商和零售商面臨季節(jié)性商品的市場需求，在銷售季到來之前，供應(yīng)商首先決定初始的預(yù)留生產(chǎn)能力，零售商的進(jìn)貨需求受到預(yù)留生產(chǎn)能力的影響，進(jìn)貨量超過預(yù)留生產(chǎn)能力的部分無法被滿足。我們將銷售季到來之前的時段分為兩個階段，第一階段由供應(yīng)商根據(jù)歷史銷售數(shù)據(jù)確定預(yù)留生產(chǎn)能力，進(jìn)而在第二階段由零售商確定進(jìn)貨量、售價并告知供應(yīng)商，供應(yīng)商收取生產(chǎn)費(fèi)用并生產(chǎn)貨物，運(yùn)送至銷售商，銷售季到來。對于整個供應(yīng)鏈，我們需要考慮如何協(xié)調(diào)供應(yīng)商和零售商以使得總利潤最大。

報童模型和供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)性的研究由來已久。報童模型是供應(yīng)鏈研究的基礎(chǔ)，在本文的模型中，零售商可以作為報童。報童問題的理論研究可以追溯到1888年，經(jīng)濟(jì)學(xué)家Edgeworth在研究銀行現(xiàn)金流的過程中引入了報童模型的概念。1955年，Whitin首先提出了受價格影響的需求模型，對本文影響最大的是1999年由Petruzzi和Dada提出的加法和乘法形式的需求函數(shù)模型。在供應(yīng)鏈問題的研究中，研究目標(biāo)著重放在優(yōu)化進(jìn)貨量和售價等參數(shù)上。對于季節(jié)性商品，決策者更傾向于以整個供應(yīng)鏈的收益最大化為目標(biāo)，因?yàn)榇祟愋凸?yīng)鏈若無法在當(dāng)季正常運(yùn)行會帶來損失。2010年，F(xiàn)rank Chen等提出了兩階段供應(yīng)鏈模型，應(yīng)用了加法需求函數(shù)，對進(jìn)貨量、售價等決策變量進(jìn)行了優(yōu)化并給出協(xié)調(diào)合同。

本文中最大的創(chuàng)新點(diǎn)在于對需求函數(shù)的改良，我們研究了以乘法需求函數(shù)為基礎(chǔ)的兩階段供應(yīng)鏈模型，并將預(yù)留生產(chǎn)能力作為不計(jì)成本的決策變量。在第二部分，我們給出了模型的參數(shù)假設(shè)和說明；在第三部分，我們給出了集中決策下的最優(yōu)化參數(shù)值；在第四部分，我們給出結(jié)論。

參數(shù)假設(shè)

m：供應(yīng)商的預(yù)留生產(chǎn)能力；

D ：市場需求隨機(jī)變量；

p ：零售商的單位銷售價格；

q ：供應(yīng)商向零售商提供的單位進(jìn)貨量；

c ：零售商在第二階段決定的單位銷售價格；

u ：未使用預(yù)留生產(chǎn)能力的單位回收價；

v ：未售出剩余商品的單位回收價；

π：短缺商品的單位懲罰損失。

關(guān)于模型我們做出以下幾點(diǎn)說明：

1.需求函數(shù)的形式：

其中，b＞1；x是一個取非負(fù)值的隨機(jī)變量，其取值區(qū)間為［L, H］，概率密度函數(shù)為f（x），概率分布函數(shù)和數(shù)學(xué)期望分別是F（x）和E（x）=μ；參數(shù)a在兩個階段中有不同意義：在第二階段，我們認(rèn)為a是一個正值常數(shù)，因?yàn)樗梢杂蓺v史銷售數(shù)據(jù)得到，特別是它對決策變量的優(yōu)化并沒有影響；然而在第一階段，a被認(rèn)為是一個取正值的隨機(jī)變量，這是由于在考慮決策變量M的優(yōu)化時，a是一個重要的未知變量，此時，我們設(shè)定a是一個取值在［l, h］上的連續(xù)隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為g（?）。

2.b是一個常數(shù)，因?yàn)樗梢杂上嗤蛘呦嗨粕唐返臍v史銷售數(shù)據(jù)得到，所以在第一階段可以確定。

3.隨機(jī)變量x 滿足：

集中決策下的供應(yīng)鏈

在這一部分，我們將研究集中決策下的供應(yīng)鏈模型，分為兩個階段。我們首先考慮第二階段，然后考慮第一階段。在第二階段，我們給定常數(shù)a，在此基礎(chǔ)上確定最優(yōu)的進(jìn)貨量和銷售價；在第一階段，我們把a(bǔ)作為隨機(jī)變量，在此基礎(chǔ)上給出最優(yōu)的預(yù)留生產(chǎn)能力m。

第二階段決策

在第二階段，我們的目標(biāo)是在給定預(yù)留生產(chǎn)能力M的情況下尋找最優(yōu)的進(jìn)貨量和銷售價，最優(yōu)決策是通過分析整個供應(yīng)鏈的利潤函數(shù)得到，分為兩種情況：第一種情況是預(yù)留生產(chǎn)能力無限制，可以滿足進(jìn)貨量；另一種情況是預(yù)留生產(chǎn)能力不能滿足進(jìn)貨量。根據(jù)之前的參數(shù)假設(shè)，在第二階段，我們將a作為取正值的常數(shù)，用a? 表示，因此，需求函數(shù)為：

預(yù)留生產(chǎn)能力無限制的情況

在預(yù)留生產(chǎn)能力無限制時，q＜M，我們令Π1（p, q）表示此時整個供應(yīng)鏈的利潤函數(shù)；

為了便于計(jì)算，我們定義安全存貨因子：

此時，在利潤函數(shù)中我們用變量z 替換變量q ，同時規(guī)定，。那么，q＜M時對應(yīng)的供應(yīng)鏈利潤Π的期望為：

證畢。

證明：根據(jù)引理1和引理2，我們有：

由于b＞1，μ＞L ，所以，R（L）＞0。

接下來我們考慮R（z）的函數(shù)性質(zhì)：

根據(jù)引理1，

因此，

證畢。

預(yù)留生產(chǎn)能力有限制的情況

接下來我們考慮預(yù)留生產(chǎn)能力有限制的情況，即q≥M，我們令表示此時整個供應(yīng)鏈的利潤函數(shù)。由于進(jìn)貨量最多只可以達(dá)到預(yù)留生產(chǎn)能力的水平，因此此時實(shí)際上有q=M，利潤函數(shù)期望實(shí)際上只是價格p的函數(shù)，即。則，

它對隨機(jī)變量x的期望是：

證明：根據(jù)E［Π2（p）］的表達(dá)式，我們可以得到：

對上式進(jìn)行分析，我們可以認(rèn)為p＞1，而由于，所以上式第三項(xiàng)為負(fù)值；第四項(xiàng)顯然也為負(fù)值。所以我們考慮前兩項(xiàng)，若有，則可以得到，即是凹函數(shù)，具有惟一的最優(yōu)值點(diǎn)p#，且滿足。根據(jù)條件成立。

證畢。

第一階段決策

接下來我們返回第一階段的決策，即我們需要確定預(yù)留生產(chǎn)能力M的最優(yōu)值。這里我們需要討論作為隨機(jī)變量的參數(shù)a 與M 的關(guān)系，進(jìn)而得到M的最優(yōu)值M*。首先我們考慮M的取值范圍。令h*（a）=a［p（z*）］-b?z*，實(shí)際上，h*（a）就是第二階段在無預(yù)留生產(chǎn)能力限制情況下的最優(yōu)進(jìn)貨量。我們把它作為a的函數(shù)，顯然，，所以h*（a）關(guān)于a單調(diào)遞增。直觀含義是當(dāng)市場規(guī)模較大時，最優(yōu)的進(jìn)貨量也應(yīng)該較大。那么h*（a）的取值范圍是［h*（l）,h*（h）］。我們分別用和表示生產(chǎn)能力無限制和生產(chǎn)能力有限制情況下的供應(yīng)鏈最大預(yù)期收益。于是，整個供應(yīng)鏈的預(yù)期收益函數(shù)是：

所以，

根據(jù)上述分析，當(dāng)a=a（M*）時，我們有，

證畢。

說明：M*的取值有另外兩種情況，分析如下：

在這種情況下，M*比最優(yōu)進(jìn)貨量的最大值還要大，即預(yù)留生產(chǎn)能力無限制。此時，供應(yīng)鏈?zhǔn)找娴哪繕?biāo)函數(shù)為：

第二種情況：M*≤h*（l）。

在這種情況下，M*比最優(yōu)進(jìn)貨量的最小值還要小，即預(yù)留生產(chǎn)能力有限制。此時，供應(yīng)鏈?zhǔn)找娴哪繕?biāo)函數(shù)為：

所以在供應(yīng)鏈的第一階段的最優(yōu)預(yù)留生產(chǎn)能力惟一且在第二階段的最優(yōu)進(jìn)貨量是M*。

綜上，我們可以根據(jù)定理1得到最優(yōu)的z*，并因此確定a（M*）與M*的函數(shù)關(guān)系，那么對于給定的M*，我們可以通過定理2確定p#；進(jìn)而由定理3求解出最優(yōu)的預(yù)留生產(chǎn)能力M*。

結(jié)語

我們考慮了基于乘法需求模型的兩階段供應(yīng)鏈優(yōu)化問題，優(yōu)化的目標(biāo)變量是進(jìn)貨量、銷售價和預(yù)留生產(chǎn)能力。我們考慮了兩種情況：預(yù)留生產(chǎn)能力無限制和有限制。在兩階段的模型設(shè)計(jì)中，第一階段為前期市場需求預(yù)測和確定預(yù)留生產(chǎn)能力，第二階段為成熟市場需求預(yù)測和確定進(jìn)貨量、銷售價。我們對此問題進(jìn)行優(yōu)化的順序是先確定兩種情況下第二階段的最優(yōu)進(jìn)貨量和銷售價，然后返回第一階段將兩種情況綜合考慮，確定最優(yōu)的預(yù)留生產(chǎn)能力。

DOI：10.3969/j.issn.1001- 8972.2016.13.026