韓領兄,吳嘎日迪
(1.內蒙古民族大學數(shù)學學院,通遼028043;2.內蒙古師范大學數(shù)學科學學院,呼和浩特010022)
Gamma算子在Orlicz空間L?Φ(0,∞)中加Jacobi權同時逼近的強逆不等式
韓領兄1,吳嘎日迪2
(1.內蒙古民族大學數(shù)學學院,通遼028043;2.內蒙古師范大學數(shù)學科學學院,呼和浩特010022)
討論由Young函數(shù)生成的Orlicz空間的性質, 并給出Orlicz空間具有Hardy-Littlewood性質的充要條件,然后借助加Jacobi權修正的K-泛函和加Jacobi權連續(xù)模及其等價性建立Gamma算子在Orlicz空間中加權同時逼近的兩種強逆不等式.
Orlicz空間;Young函數(shù);Gamma算子;K-泛函
近年來人們對Orlicz空間感興趣,因為Lp空間提供的活動天地和度量標準只適合于處理線性的和充其量是多項式型的非線性問題.隨著越來越多的非線性問題的出現(xiàn)(見[1]),從Lp空間過渡到Orlicz空間已成為歷史的必然,這正是研究Orlicz空間的意義所在.下面介紹Orlicz空間(見[2]).
定義1.1設Φ(t)為定義在區(qū)間(0,∞)上的凸連續(xù)函數(shù),若Φ(t)滿足
則稱Φ(t)為Young函數(shù).
Young函數(shù)Φ(t)的互余Young函數(shù)記為Ψ(t).
由Young函數(shù)Φ(t)的凸性得到
定義1.2設Φ(t)為Young函數(shù).若存在常數(shù)t0>0和C≥1,使得當t≥t0時,有
則稱Young函數(shù)Φ(t)滿足?2-條件(記為Φ ∈ ?2).
推論1.1Φ∈?2當且僅當對于任意的b>1,存在兩個正數(shù)α,C,使得當t≥t0時
定義1.3設Φ(t)為Young函數(shù).Orlicz類LΦ(0,∞)為使有限積分
存在的在區(qū)間(0,∞)上可測的函數(shù)u(x)的全體.Orlicz空間為賦予Luxemburg范數(shù)
的Orlicz類LΦ(0,∞)的線性包.有如下性質:
它與Luxemburg范數(shù)等價,即
設f(x)為(0,∞)上的可積函數(shù),Gamma算子Gn[3]的定義如下
應用加權Ditizian-Totik模對正線性算子在Lp(1≤p≤∞)范數(shù)下的正定理和逆定理,已有廣泛的研究[3,5-7].為了對逼近性質有更細致的刻劃,人們進一步研究了各種形式的強逆不等式[4,8-13].Totik在文[13]中給出了L∞范數(shù)下的B-型強逆不等式的證明方法.Chen與Dizian[10]給出了Lp(1<p≤∞)空間中Bernstein-Kantorovich多項式的B-型強逆不等式.有關A-型強逆不等式的證明方法和結果見文獻[7,9,11-12].
Gamma算子是一類重要的正線性算子,它廣泛應用于概率論及計算數(shù)學中,對于Gamma算子的性質及逼近定理已有深刻的研究[3,5-6].Adell[8]研究了非中心的Gamma算子在確界范數(shù)下的A-型強逆不等式.文[4]在Lp(1≤p≤∞)空間中證明了Gamma算子同時逼近的強逆不等式.在文[14]中得到關于Gamma算子在空間中同時逼近的如下強逆不等式:
定理A設f∈n>1,Ψ∈?2,φ(x)=x,則存在常數(shù)K >1,當l≥Kn時,有
其中C是與n 和x無關的正常數(shù).
本文中常數(shù)C在不同的地方取值也許不同.
定理1.1設wf(s)∈,s∈N,n>s+1,a≥s?2,a+b≥s?2,Ψ ∈ ?2,則存在常數(shù)K>1,當l≥Kn時,有
其中φ(x)=x,w(x)=xa(1+x)b.
注1.1關于定理A和定理1.1中結果的意義,如l≥Kn,這是定理的條件,加這一條件的目的是出于證明過程的需要,逼近論中這類結果叫逆定理.
推論1.2在定理1.1的條件下,當s<α<s+2,時有
定理1.2設wf∈n> 1,a≥ 0,a+b≥ ?2,Ψ ∈ ?2,則存在常數(shù)K > 1,當l≥ Kn時,有
其中φ(x)=x,w(x)=xa(1+x)b.
注1.2定理A是定理1.2當w(x)=1時特殊情況.
眾所周知,Hardy-Littlewood函數(shù)在逼近論中有非常重要作用.Lp(D)空間和由N函數(shù)M(u)生成的有限區(qū)間上的Orlicz空間具有Hardy-Littlewood性質.本節(jié)給出了Orlicz空間具有Hardy-Littlewood性質的充要條件.
顯然,對于正遞減函數(shù)f(x)的Hardy-Littlewood函數(shù)θ(f,x)等價于函數(shù)
之間,因而HLP蘊含HLP′且蘊含HLP′′.
性質2.1Orlicz空間的三個性質HLP,HLP′和HLP′′等價且分別有
其中C為常數(shù).
證由[15]得到Orlicz空間是重排不變的.對于函數(shù)f∈設f?為函數(shù)|f|的遞減的重排,則Orlicz空間有性質HLP′′時f?∈.從而由[16](420-421頁),當x > 0時,有
因此
假設Ψ不滿足?2條件,則由定義1.2,對任意C≥1和t0>0,存在b≥t0,使得
對于任意的0<u<∞都有Ψ(u)有限的,所以必存在一列bk→∞,使得
由性質2.1和性質2.2直接推得下面的定理.
定理2.1設Ψ ∈ ?2,則存在常數(shù)C,使得
注2.1性質2.1和2.2在Lp空間中有對應結果,可見參考文獻[15].
成立,所以由(3.1)式,有
運用定理2.1和引理3.1,得到
再由(3.6)式就能完成定理1.1的證明.
設權函數(shù)φ(x),x∈(0,∞)滿足以下條件(見[3]):
(1)局部φ~ 1,即對于每個子區(qū)間[a,b]?(0,∞),存在常數(shù)M ≡M(a,b)>0,使得當x∈[a,b]時,M?1≤ φ(x)≤ M.
(2)設β(0)和β(∞)為兩個常數(shù)且β(0)≥ 0,β(∞)≤ 1,滿足
(3)φ(x)在R上L可測且存在兩個常數(shù)M0和h0,使得對于0<h≤h0和每個有限區(qū)間E?(0,∞)有,
常用的權函數(shù)φ有
Jacobi權函數(shù)w(x)=xa(1+x)b在(0,∞)上L可測且當0 ≤ β(0)< 1時,設a ≥ 0.
加Jacobi權K-泛函定義為
其中w為Jacobi權函數(shù),φ為權函數(shù).
加Jacobi權連續(xù)模定義為:
當a=0或β(0)≥ 1時,
當a>0且0≤ β(0)< 1時,
下面給出加Jacobi權連續(xù)模與加Jacobi權K-泛函的等價性定理:
定理4.1設則存在常數(shù)C和t0使得,當0<t≤t0時,有
注4.1定理4.1在Lp空間中也有相應結果,可見參考文獻[3].
注4.2定理1[14]為定理4.1中w(x)=1時的特殊情形.
證第一種情況:當β(0)≥1時,因此w(u)~ w(x),φ(u)~ φ(x).K-泛函上界估計的證明和定理1[14],當β(0)≥ 1,β(∞)≤1時上界估計的證明方法相同;K-泛函下界估計的證明和定理1[14]的下界估計的證明方法相同.所以在此省略.
第二種情況:a=0,β(∞)可以不等于0.當x<1時由定理1[14]的方法可以證明;當x>1時,u同上,即w(u)~w(x),φ(u)~φ(x),這時由定理1[14]的方法可以證明.
第三種情況:a>0且0≤β=β(0)<1.這時把定理1[14]中的Gt(x)修改如下:把Gt,2(x)[14]和[14]分別替換為
與定理1[14]的證明方法類似,可以得到
參考文獻:
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Strong converse inequality of Jacobi weighted simultaneous approximation for Gamma operators in Orlicz spaces L?Φ(0,∞)
HAN Ling-xiong1,WU Ga-ri-di2
(1.College of Mathematics,Inner Mongolia University for the Nationalities,Tongliao 028043,China;2.College of Mathematics Science,Inner Mongolia Normal University,Hohhot 010022,China)
The properties of Orlicz spacescorresponding to the Young function Φ(x)are discussed and the Hardy-Littlewood property of the Orlicz spacesis given.Then two kinds of strong converse inequalities of Jacobi weighted simultaneous approximation for Gamma operators are established by modi fi ed Jacobi weighted K-functional and Jacobi weighted modulus of smoothness in Orlicz spaces
Orlicz Space;Young function;Gamma operators;strong converse inequality
41A17;41A25
O174.41
A
:1000-4424(2016)03-0366-13
2015-06-30
2016-02-27
國家自然科學基金(11161033;11461052);內蒙古自治區(qū)自然科學基金(2014MS0107);內蒙古民族大學科學研究項目(NMDYB15087)