張建松, 張?jiān)轮?朱 江, 羊丹平

(1.中國石油大學(xué)(華東)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,山東青島266580;2.巴西國家科學(xué)計(jì)算實(shí)驗(yàn)室,巴西里約熱內(nèi)盧25651-075;3.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,上海200062)

對流占優(yōu)擴(kuò)散方程的分裂特征混合有限元方法

張建松1, 張?jiān)轮?,朱 江2, 羊丹平3

(1.中國石油大學(xué)(華東)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,山東青島266580;2.巴西國家科學(xué)計(jì)算實(shí)驗(yàn)室,巴西里約熱內(nèi)盧25651-075;3.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,上海200062)

利用修正的特征線方法,構(gòu)建一類求解對流占優(yōu)擴(kuò)散方程的分裂特征混合有限元算法.在新的算法中,混合系統(tǒng)的系數(shù)矩陣對稱正定,且原未知函數(shù)u與流函數(shù)σ=?ε?u可分離求解.推導(dǎo)了加權(quán)能量模意義下的最優(yōu)階誤差估計(jì),并給出數(shù)值算例驗(yàn)證理論上的分析結(jié)果.

混合有限元;特征線方法;分裂解;對稱正定系統(tǒng);對流占優(yōu)擴(kuò)散方程

§1 引 言

眾所周知,對流-擴(kuò)散方程在科學(xué)工程中有著廣泛的應(yīng)用.例如,它描述了地下水中溶質(zhì)的傳輸,油藏問題中的石油驅(qū)動,空氣動力學(xué)中空氣的運(yùn)移以及混溶驅(qū)動流的流動等等.

特征線方法是一種能夠較好地求解對流擴(kuò)散問題的數(shù)值方法.許多科研人員對此方法做了大量的研究工作,見參考文獻(xiàn)[1-14].其中,Douglas和Russell在文獻(xiàn)[1]中首次提出了特征有限元和特征有限差分法求解對流擴(kuò)散方程.之后Suli[2]和Pironneau[3-4]將此方法推廣應(yīng)用到Navier-Stokes方程;Russell在文獻(xiàn)[5]中用此方法求解多孔介質(zhì)中混溶驅(qū)動問題;朱江研究了KdV方程和RLW方程的特征有限元方法.為了得到質(zhì)量守恒的特征有限元格式,Douglas,Huang和Pereira在文獻(xiàn)[10]中給出了一種對流校正的修正特征有限元算法,Wang在[11]中研究了此類方法一致收斂性.對于特征混合有限元算法,也有大量的文獻(xiàn)可供參考,見[15-18].然而,經(jīng)典的混合有限元方法通常導(dǎo)致鞍點(diǎn)問題,這使得混合系統(tǒng)因失去對稱正定性而給計(jì)算帶來許多困難.

本文的主要目的就是建立一類新型分裂特征混合有限元方法求解對流占優(yōu)擴(kuò)散方程.算法將分裂混合有限元技巧(見文獻(xiàn)[13,19])與修正的特征線方法(MMOC)及對流校正的修正特征線方法(MMOCAA)相結(jié)合,得到的新混合系統(tǒng)系數(shù)矩陣對稱正定,且原未知函數(shù)u與新引入函數(shù)σ可分開求解.研究了算法的收斂性并給出了ε一致最優(yōu)誤差估計(jì).

本文結(jié)構(gòu)安排如下:首先在§2形成新型分裂特征混合有限元算法求解對流占優(yōu)擴(kuò)散方程;之后在§3中分析算法的收斂性并給出相應(yīng)的誤差估計(jì);最后在§4中給出數(shù)值算例驗(yàn)證理論上的分析結(jié)果.

§2 算法形成

通篇文章,將用到Sobolev空間中的一些常規(guī)定義,符號,見文獻(xiàn)[20].K無論是否帶有下標(biāo),在此文章中都代表某個常數(shù),不同地方出現(xiàn)時取值可能不同.

考慮如下的對流占優(yōu)擴(kuò)散問題:

其中?是R2中的一有界區(qū)域,邊界記為??,n為邊界??的單位外法向;f(x,t)表示某個已知函數(shù);b(x)=(b1(x),b2(x))為速度函數(shù)并假設(shè)它是不可壓縮的,即?·b(x)=0,當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)0＜ε0≤ε?1,方程(??a)則對流嚴(yán)格占優(yōu).為了分析方便，這里假定系數(shù)b(x)充分光滑,擴(kuò)散系數(shù)ε為常數(shù).

下面引入所謂的特征線方法.令

令σ=?ε?u.方程(??)重寫為

設(shè)Nt為一正整數(shù),△t=T/Nt為時間步長.對任意的函數(shù)w用wn表示其在時刻t=tn=n△t,(n=0,...,Nt)處的值.設(shè)Thu和Thσ為區(qū)域?的兩個擬正則剖分類,他們可能相同也可能不同,且剖分單元直徑分別以hu和hσ為界.設(shè)Mhu?H1(?)和Vhσ? H(div;?)分別為定義在剖分Thu和Thσ上的有限元空間.

下面分別給出兩種分裂特征混合有限元算法.

2.1 SMMOC-MFE算法

2.2 SMMOCAA-MFE算法

文獻(xiàn)[10]中的MMOCAA算法主要目的是消除文獻(xiàn)[1]中MMOC算法引起的質(zhì)量損失.對于方程(??a),運(yùn)用修正的特征線∫方 法逼近解∫可得質(zhì)量守恒∫方程

從上面的算法可以看到,混合系統(tǒng)的系數(shù)矩陣對稱正定,并且原函數(shù)與引入的流函數(shù)可以分開求解.顯然經(jīng)典混合有限元方法中要求的LBB條件,這里不再是必須的條件.從計(jì)算的角度,空間Vhσ可以選擇一般的連續(xù)有限元空間.在接下來的分析中，為了理論分析的方便以及推導(dǎo)算法的最優(yōu)階誤差估計(jì),仍然選擇Vhσ為經(jīng)典的混合有限元空間.

定理2.1SMMOC-MFE算法和SMMOCAA-MFE算法存在唯一解.

其中0＜ K0≤ min(1,△tε).從而可知,矩陣A和B對稱正定,故而系統(tǒng)(??)有唯一解.進(jìn)而SMMOC-MFE算法有唯一解.同理可證SMMOCAA-MFE有唯一解.

§3 收斂性分析及誤差估計(jì)

假設(shè)有限元空間Vhσ和Mhu有如下的逆估計(jì)性和逼近性質(zhì)(見文獻(xiàn)[21]):存在某些常數(shù)r,r1,k＞0,使得對1≤q≤∞和任意的ω∈H(div;?)∩[Wr+1,q(?)]2,

為了分析算法的收斂性,假定Vhσ為文獻(xiàn)[21]中提到的任一經(jīng)典混合有限元空間,并引入兩個投影算子.眾所周知，在經(jīng)典的混合有限空間中,存在一個投影算子Πh:H(div;?)→Vhσ使得對任意的1≤q≤∞,滿足

同時定義橢圓投影算子PM:H1(?)→Mhu滿足

定理3.1假設(shè)問題(??)的解(u,σ)有如下的正則性:

則對于SMMOC-MFE算法,有先驗(yàn)誤差估計(jì)

圖1 b=[x2,?x1],Nt=N時的誤差估計(jì)‖σ?σh‖L2.

圖2 b=[x2?x1,x2],Nt=N時的誤差估計(jì)‖σ?σh‖L2.

§4 數(shù)值結(jié)果

在實(shí)際計(jì)算中,可以選取(??a)(或(??a))求解uh.(??a)(或者(??a))為經(jīng)典的特征有限元算法,因此只需要給出數(shù)值結(jié)果去檢驗(yàn)算法(??b)(或(??b))即可.考慮二維邊值問題,并取?=[0,1]×[0,1],時間區(qū)間為(0,T]=(0,1].

圖3b=[x2,?x1],Nt=N時的誤差估計(jì)|‖σ?σh‖|?L(0,T;H(div)).

在這個算例中初始邊界條件由真解u=e?tsin2(πx1)sin2(πx2)給出.令σ= ?ε?u.首先將(0,T]分差Nt等份,△t=T/Nt.然后將區(qū)域?分成N×N一致矩形單元,令hu=hσ=1/N,再將每個矩形單元分成兩個三角形單元從而獲得一致三角網(wǎng)格剖分.基于此三角網(wǎng)格剖分選取分片線性多項(xiàng)式空間作為有限元空間.通過選取不同的網(wǎng)格參數(shù)以及對流項(xiàng)系數(shù)b和擴(kuò)散系數(shù)ε,得到相應(yīng)的收斂性估計(jì),見圖1,圖2和圖3.這些數(shù)值結(jié)果顯示本文的算法是穩(wěn)定的和收斂的.

致謝在此由衷地感謝各位評審老師,正是你們真摯的意見和建議,大大地提升了本文的質(zhì)量.

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Split characteristic mixed fi nite element methods for advection-dominated di ff usion equation

ZHANG Jian-song1,ZHANG Yue-zhi1,ZHU Jiang2,YANG Dan-ping3
(1.Department of Applied Mathematics,China University of Petroleum,Qingdao 266580,China;2.Laborat′orio Nacional de Computa?co Cient′? fi ca,25651-075 Petr′opolis,RJ,Brazil;3.Department of Mathematics,East China Normal University,Shanghai 200062,China)

A split modi fi ed method of characteristics mixed fi nite element(SMMOC-MFE)and a split modi fi ed method of characteristics with adjusted advection mixed fi nite element(SMMOCAAMFE)are proposed for solving advection-dominated di ff usion equations,in which the mixed element systems are symmetric positive de fi nite,and the original variable u and the di ff usive fl ux σ = ?ε?u can be solved separately.The optimal-order error estimates in weighted energy norm are derived and some numerical implementations are given to con fi rm the convergence results.

advection-dominated di ff usion equations;mixed element;the method of characteristics;split solution;symmetric positive de fi nite system

65M25;65M60;65M12;65M15

O175.14

A

:1000-4424(2016)03-0338-13

2016-04-10

國家自然科學(xué)基金(11126084;11401588);山東省自然科學(xué)基金(ZR2014AQ005);中央高?；A(chǔ)研究專項(xiàng)基金(R1510063A)