費(fèi)時(shí)龍

(宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,安徽宿州234000)

隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈狀態(tài)的各種常返性與暫留性

費(fèi)時(shí)龍

(宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,安徽宿州234000)

考慮到隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈的狀態(tài)在受到環(huán)境因素各種條件的影響下,引入了隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈狀態(tài)的各種常返性與暫留性概念,討論了這些常返性與暫留性的相互關(guān)系,從而說明隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈狀態(tài)的常返性與暫留性和經(jīng)典馬氏鏈狀態(tài)的常返性與暫留性有著顯著的區(qū)別.

隨機(jī)環(huán)境;常返;強(qiáng)常返;暫留

§1 引 言

隨機(jī)環(huán)境中的馬氏鏈(以下簡稱MCRE)是隨機(jī)過程的重要分支之一,有著豐富的應(yīng)用背景.特別是兩種特殊的隨機(jī)環(huán)境中的馬氏鏈-隨機(jī)環(huán)境中的隨機(jī)游動(dòng)[1-4]與隨機(jī)環(huán)境中的分支過程[5-6]已成為近年來的重要研究熱點(diǎn).它們?cè)诤芏囝I(lǐng)域(如:生物學(xué),保險(xiǎn)學(xué),神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),股市預(yù)測(cè),物理學(xué)等)中有著廣闊的應(yīng)用背景.隨著這兩種特殊的隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈研究的不斷深入和完善,Nawrotzi[7]和Cogburn[8-10]在20世紀(jì)80年代首先引入了隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈的一般理論,并借鑒Doeblin關(guān)于馬氏鏈狀態(tài)的一般分類方法將隨機(jī)環(huán)境中的馬氏鏈狀態(tài)定義成正則本質(zhì),非正則本質(zhì),非本質(zhì)三種情形,并深入研究了非正則本質(zhì)狀態(tài)不存在的充分條件.常返與暫留是馬氏鏈中的最重要的概念,經(jīng)典馬氏鏈狀態(tài)的常返性與暫留性研究已取得完善的結(jié)果,有很多常返性與暫留性的等價(jià)描述.然而,由于隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣會(huì)受到隨機(jī)環(huán)境因素的干擾,在定義狀態(tài)時(shí)必須考慮環(huán)境的影響,其狀態(tài)的常返性與暫留性與經(jīng)典馬氏鏈狀態(tài)的常返性與暫留性有著顯著的區(qū)別.肖爭艷和胡迪鶴[11]引入了隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈狀態(tài)的強(qiáng)常返,弱常返等概念,并討論了強(qiáng)常返與弱常返的相互關(guān)系.李應(yīng)求[12-14]引入了MCRE的幾種暫留性概念,討論了幾種暫留性關(guān)系及判別準(zhǔn)則,引入了π不可約的條件,并在該條件下獲得了隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈狀態(tài)只存在弱常返與強(qiáng)暫留的情形.費(fèi)時(shí)龍[15]在環(huán)境是平穩(wěn)遍歷或強(qiáng)混合的條件下得到類似的結(jié)果.近些年來,MCRE的極限理論[16-17]受到人們的廣泛關(guān)注,關(guān)于MCRE的一般介紹可參考文獻(xiàn)[18].本文主要是在前人的研究基礎(chǔ)上引入了隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈的幾種新的常返性與暫留性,主要考慮隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈狀態(tài)的常返性與暫留性在受到環(huán)境一致性影響的條件下,引入了最大常返,最小暫留,強(qiáng)一致暫留,弱一致暫留等概念,結(jié)合前人所引入的強(qiáng)常返,弱暫留等概念討論了狀態(tài)的各種常返性與暫留性的相互關(guān)系.在假定環(huán)境是平穩(wěn)遍歷的條件下得到了狀態(tài)最大常返與弱暫留是對(duì)立的,弱常返與最小暫留是對(duì)立的結(jié)論,獲得了狀態(tài)弱常返與強(qiáng)常返的等價(jià)條件.

§2 MCRE模型和基本記號(hào)

本文中所用的一些記號(hào)和術(shù)語可參看文獻(xiàn)[14].設(shè)(X,A)(Θ,B)為兩個(gè)可測(cè)空間,其中X為至多可數(shù)集,A為X的離散σ-代數(shù),{P(θ),θ∈Θ}是(X,A)上的轉(zhuǎn)移函數(shù)族,且假定任意的x,y ∈ X,P(·;x,y)是關(guān)于B可測(cè)的.···,?1,0,1,···}分別是取值于X和Θ的兩個(gè)隨機(jī)序列.可以定義一個(gè)隨機(jī)環(huán)境中的馬氏鏈為:

定義2.1[7]若對(duì)任意的A∈A,n∈N,有

§3 狀態(tài)的各種常返性和暫留性

本節(jié)將引入MCRE狀態(tài)的各種常返性與暫留性概念,并討論了他們的相互關(guān)系.記

利用ηn的馬氏性及首次前擊中時(shí)和后擊中時(shí)的分解,顯然有下列結(jié)論成立:

引理3.1設(shè)z/=y,x/=y,則對(duì)任意的n≥0,有

特別的,當(dāng)x=y時(shí),有下列結(jié)論成立:

推論3.1對(duì)任意的n≥1,有

文獻(xiàn)[9]利用經(jīng)典馬氏鏈中狀態(tài)的平均返回次數(shù)無窮的條件及無窮次返回概率為1的條件引入了下列MCRE狀態(tài)的弱常返,強(qiáng)常返等概念.

定義3.1[9]稱狀態(tài)x是弱常返的,若稱狀態(tài)x是強(qiáng)常返的,若

命題3.1[9](i) 狀態(tài)x是強(qiáng)常返的當(dāng)且僅當(dāng)

(ii)若狀態(tài)x是強(qiáng)常返的,則狀態(tài)x是弱常返的.

定義3.2稱狀態(tài)x是強(qiáng)暫留的, 若稱狀態(tài)x是弱暫留的,若π稱狀態(tài)x是強(qiáng)一致暫留的,若存在常數(shù)C:0 ＜ C ＜ 1,使得π;稱狀態(tài)x是弱一致暫留的, 若存在常數(shù)M ＞ 0,使得

定理3.1若狀態(tài)x是強(qiáng)一致暫留的,則狀態(tài)x是弱一致暫留的.

證由推論3.1的(d)知

從而

即狀態(tài)x是弱一致暫留的.

定理3.2若狀態(tài)x是弱一致暫留的,且存在常數(shù)C＜1,使得對(duì)任意的k≥1,有

則狀態(tài)x是強(qiáng)一致暫留的.

證設(shè)狀態(tài)x是弱一致暫留的,則存在常數(shù)M ＞0,使得π(?→θ:G(?→θ;x,x)＜M)=1.令

得

故狀態(tài)x是強(qiáng)一致暫留的.

下面引入最小常返,最大常返,最小暫留,最大暫留,最小一致暫留,最大一致暫留等概念,并討論它們的相互關(guān)系.

定義3.3稱狀態(tài)x是最大常返的,若稱狀態(tài)x是最大暫留的,若稱狀態(tài)x是最大一致暫留的,若存在常數(shù)C:0＜C＜1,使得;稱狀態(tài)x是最小常返的,若稱狀態(tài)x是最小暫留的,若π稱狀態(tài)x是最小一致暫留的,若存在常數(shù)C:0＜C＜1,使得π

注狀態(tài)x是最小常返的直觀含義為：對(duì)幾乎處處的環(huán)境,經(jīng)過任意步環(huán)境的推移后,從狀態(tài)x出發(fā)在有限步內(nèi)必然能回到狀態(tài)x；最大常返的直觀含義為：對(duì)幾乎處處的環(huán)境,總存在k步環(huán)境的推移后,從狀態(tài)x出發(fā)在有限步內(nèi)必然能回到狀態(tài)x；最大暫留的直觀含義為：對(duì)幾乎處處的環(huán)境,對(duì)任意步環(huán)境的推移,從狀態(tài)x出發(fā)經(jīng)過有限步后必然離開狀態(tài)x；最小暫留的直觀含義為：對(duì)幾乎處處的環(huán)境,總存在k步環(huán)境的推移后,從狀態(tài)x出發(fā)經(jīng)過有限步后必然離開狀態(tài)x；最大一致暫留的直觀含義為：在最大暫留的條件下,這里對(duì)所有的環(huán)境能被一個(gè)固定的常數(shù)所控制；最小一致暫留的直觀含義為：在最小暫留的條件下,這里對(duì)所有的環(huán)境能被一個(gè)固定的常數(shù)所控制.

定理3.3若狀態(tài)x是弱常返的,則狀態(tài)x是最大常返的.

證設(shè)狀態(tài)x是弱常返的,.對(duì)任意的由推論3.1的(d)知

從而由定理3.1證明中的(3.1)式知

定理3.4(1)若狀態(tài)x是弱暫留的,則狀態(tài)x是最小暫留的.

(2)若狀態(tài)x是一致弱暫留的,則狀態(tài)x是最小一致暫留的.

證由推論3.1的(d)知

從而由定理的條件及定義3.3知(1),(2)成立.

定理3.5設(shè)π關(guān)于T是平穩(wěn)遍歷的,則

(1)任意狀態(tài)x是為最大常返的或弱暫留的;

(2)任意狀態(tài)x是為弱常返的或最小暫留的.

定理3.6若對(duì)幾乎必然的存在正數(shù)使得對(duì)任意的k和m,均有

則狀態(tài)x是強(qiáng)常返的當(dāng)且僅當(dāng)狀態(tài)x是弱常返的.

證充分性由命題3.1的(ii)得到,下證必要性.設(shè)狀態(tài)x是弱常返的,令

及條件(3.3)得

[1] Solomn F.Random walks in a random environment[J].Ann Probab,1975,3(1):1-31.

[2] Kozlov M V.On the asymptotic behavior of the probability of non-extinction for critical branching processes in a random environment[J].Theory Prob Appl,1976,21(4):742-751.

[3] Alili S.Persistent random walks in stationary environment[J].J Statist Phys,1999,94(3):469-494.

[4] Hong Wenming.Renewal theorem for(L,1)-random walk in random environment[J].Acta Math Sci,2013,33B(6):1736-1748.

[5] Smith W L,Wilkinson W E.On branching processes in random environments[J].Ann Math Statist,1969,40(3):814-827.

[6] 李應(yīng)求,胡楊利,張影.隨機(jī)環(huán)境中兩性分枝過程的極限性質(zhì)[J].中國科學(xué)A輯,2015,45(5):611-622.

[7] Nawrotzki K.Finite Markov chains in stationary random environments[J].Ann Probab,1982,10(4):1041-1046.

[8] Cogburn R.Markov Chains in random environments[J].Ann Probab,1980,8(3):908-916.

[9] Cogburn R.The ergodic theory of Markov chains in random environments[J].Z Wahrsch Verw Gebiete,1984,66(2):109-128.

[10]Cogburn R.On direct convergence and periodicity for transition probabilities of Markov chains in random environments[J].Ann Probab,1990,18(2):642-654.

[11]肖爭艷,胡迪鶴.繞積馬氏鏈的狀態(tài)分類[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2003,23A(3):306-313.

[12]李應(yīng)求.雙無限環(huán)境中馬氏鏈的常返性與不變側(cè)度[J].中國科學(xué)A輯,2001,31(8):702-707.

[13]李應(yīng)求.雙無限隨機(jī)環(huán)境中的常返馬氏鏈[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2007,50(5):1099-1100.

[14]李應(yīng)求.雙無限隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈的暫留性[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2007,27(2):269-276.

[15]費(fèi)時(shí)龍,任敏.隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈狀態(tài)的常返性與暫留性[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)報(bào),2011,26(2):187-194.

[16]萬成高.隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)加權(quán)和的極限定理[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2015,35A(1):163-171.

[17]宋明珠,吳永鋒.馬氏雙鏈函數(shù)的強(qiáng)大數(shù)定律及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)雜志,2015,35(2):368-374.

[18]胡迪鶴.隨機(jī)環(huán)境中的馬爾可夫過程[M].北京:高等教育出版社,2011.

Several recurrence and transience of states for Markov chains in random environments

FEI Shi-long
(School of Mathematics and Statistics,Suzhou University,Suzhou 234000,China)

Several concepts of recurrence and transience of states for Markov Chains in random environments are introduced under the in fl uence of various environmental factors,and their connections and properties are discussed.These conclusions present that the recurrence and transience of states for Markov Chains in random environments and the recurrence and transience of states for classical Markov chains have obvious di ff erences.

random environments;recurrence;transience

60J10;60J15

O211.62

A

:1000-4424(2016)03-0273-08

2015-06-10

2016-04-24

安徽省高等學(xué)校省級(jí)自然科學(xué)基金(KJ2016A770);安徽省高校優(yōu)秀青年人才支持計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目(gxyqZD2016340);安徽省教育廳人文社科研究重點(diǎn)項(xiàng)目(SK2016A1006)