朱怡，蔣思源

（中國(guó)民航大學(xué)，天津 300300）

滾動(dòng)軸承的故障常常表現(xiàn)為軸承工作表面的麻點(diǎn)、裂紋和剝落等局部損傷［1-2］，這些局部損傷在工作過(guò)程中會(huì)被撞擊，從而產(chǎn)生周期性的沖擊振動(dòng)信號(hào)，該振動(dòng)信號(hào)的頻率即軸承故障特征頻率，可用于對(duì)軸承故障的診斷。然而，旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備結(jié)構(gòu)復(fù)雜且工作環(huán)境多樣化，故障振動(dòng)信號(hào)的沖擊特征常被淹沒(méi)在背景信號(hào)及噪聲中。因此，有效地提取出故障沖擊特征，是對(duì)滾動(dòng)軸承相關(guān)故障進(jìn)行診斷的關(guān)鍵［3-5］。

奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）降噪方法是一種高效的非線性濾波方法，對(duì)寬帶噪聲信號(hào)的去噪效果優(yōu)異，適用于包含強(qiáng)噪聲信號(hào)的滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)去噪，然而，將一維的故障沖擊時(shí)域信號(hào)有效地構(gòu)造成Hankel矩陣是SVD降噪效果的關(guān)鍵。文獻(xiàn)［6-8］將原始故障信號(hào)進(jìn)行小波分解或EMD等處理后再利用分解分量構(gòu)造Hankel矩陣，但這些方法都破壞了沖擊信號(hào)的完整性，導(dǎo)致在低信噪比情況下沖擊特征與噪聲的奇異值難以區(qū)分，沖擊特征提取困難。

廣義S變換克服了短時(shí)Fourier變換窗函數(shù)以及連續(xù)小波變換基函數(shù)固定不變的缺點(diǎn)，是一種高效的自適應(yīng)信號(hào)時(shí)頻分析方法，適合分析非線性和非平穩(wěn)信號(hào)，可以通過(guò)改變調(diào)節(jié)參數(shù)調(diào)節(jié)時(shí)頻分辨率以得到?jīng)_擊信號(hào)在時(shí)頻域中良好的能量集中性，并且其逆變換完全無(wú)損［9-10］。以信號(hào)的廣義S變換時(shí)頻譜作為Hankel矩陣，既保留了信號(hào)的完整性，也提高了沖擊特征信號(hào)的能量集中性，便于沖擊特征信號(hào)奇異值與噪聲信號(hào)奇異值分離。因此，將SVD降噪后的廣義S變換時(shí)頻譜進(jìn)行廣義S逆變換即可得到降噪后的軸承沖擊特征信號(hào)。

1 廣義S變換

對(duì)屬于能量有限函數(shù)空間的信號(hào)x（t），其一維廣義S變換（Generalized Stransformation，GST）［9］定義為

式中：τ為時(shí)移因子；f為頻率；ω（τ，f）為高斯窗函數(shù)；k，p為調(diào)節(jié)因子，且k＞0，p＞0。相應(yīng)地，廣義S逆變換為

由（1）式可知，當(dāng)k，p固定時(shí)，廣義S變換的高斯窗函數(shù)的寬度隨頻率的變化而自適應(yīng)地變化，說(shuō)明該方法具備廣泛的自適應(yīng)性。另外，廣義S變換可通過(guò)調(diào)節(jié)系數(shù)k，p以達(dá)到最佳的時(shí)頻分辨率，當(dāng)k=p=1時(shí)，廣義S變換就退化為標(biāo)準(zhǔn)S變換。由（2）式可知，該方法是一種完全無(wú)損且可逆的時(shí)頻變換，在處理非平穩(wěn)信號(hào)時(shí)有非常明顯的優(yōu)勢(shì)。

相應(yīng)的，一維離散廣義S變換及其逆變換分別定義為［10］

2 SVD降噪

設(shè)A為m×n的實(shí)數(shù)矩陣，其中m＞n，秩為r（r≤n），則必存在m×m的正交陣U和n×n的正交陣V使得

矩陣D的主對(duì)角線元素（σ1，σ2，…，σr，0，…，0）為A的奇異值，其主要反映A中各元素的能量集中情況。對(duì)于含噪聲的時(shí)域沖擊信號(hào)，其沖擊成分在時(shí)頻譜中能量比較集中，而噪聲在時(shí)頻譜中的能量比較分散，因此，其時(shí)頻譜奇異值能有效地反映信號(hào)的沖擊成分和噪聲成分，且按σ1≥σ2≥…≥σj≥…≥σr的順序依次排列。前i個(gè)奇異值主要反映信號(hào)的沖擊成分，而較小的奇異值則反映噪聲成分，因此，可以將較小的奇異值歸零而保留奇異值較大的部分，從而消除噪聲的干擾，提取出沖擊成分。

為區(qū)分信號(hào)中沖擊成分與噪聲成分，自適應(yīng)地選擇奇異值閾值以達(dá)到最佳的降噪效果，文獻(xiàn)［8］提出了基于奇異值差分譜的奇異值閾值確定方法，奇異值差分譜定義為

奇異值差分譜理論認(rèn)為奇異值差分序列的最大突變點(diǎn)包含了沖擊信號(hào)的重要信息，然而僅選擇最大峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的奇異值進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)會(huì)丟失一些弱沖擊信號(hào)特征。為更好地保留信號(hào)的沖擊特征成分，最大限度地抑制噪聲成分，在此將奇異值差分譜中峰值群中最后一個(gè)峰值點(diǎn)序號(hào)對(duì)應(yīng)的奇異值σi作為奇異值閾值。

峰值群定義為大于等于奇異值差分譜最大極大值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的序列號(hào)K且小于K+L序列號(hào)范圍內(nèi)所對(duì)應(yīng)的極大值大于a倍最大極大值點(diǎn)的極大值點(diǎn)的集合。最后一個(gè)峰值點(diǎn)定義為峰值群集合內(nèi)最靠近K+L序列號(hào)的極值點(diǎn)。經(jīng)過(guò)多次的仿真及試驗(yàn)分析，L值取過(guò)大且a值取過(guò)小，奇異值閾值點(diǎn)會(huì)遠(yuǎn)離最大極大值點(diǎn)，包含的噪聲會(huì)增多；L值取過(guò)小且a值取過(guò)大，奇異值閾值點(diǎn)會(huì)靠近最大極大值點(diǎn)，丟失沖擊成分會(huì)增多。因此選擇a=0.35，L=20比較合適。

將小于此閾值的奇異值置零，得到SVD降噪后的時(shí)頻譜，再通過(guò)廣義S逆變換得到時(shí)域沖擊信號(hào)，其具體步驟為：

1）通過(guò)廣義S變換得到時(shí)頻譜矩陣A；

2）計(jì)算時(shí)頻譜矩陣A的奇異值并得到奇異值差分譜bj；

3）選擇奇異值差分譜bj峰值群最后一個(gè)峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的奇異σi作為閾值，并將奇異值小于此閾值的置零，得到降噪后的時(shí)頻譜矩陣B；

4）利用廣義S逆變換對(duì)時(shí)頻譜矩陣B進(jìn)行逆變換得到時(shí)域沖擊信號(hào)。

3 仿真研究

根據(jù)軸承發(fā)生外圈故障時(shí)產(chǎn)生的沖擊衰減信號(hào)構(gòu)造仿真信號(hào)為

設(shè)s（t）的載波中心頻率f=3 kHz，阻尼比ξ=0.1，故障特征頻率fout=100 Hz，采樣頻率fs=12.8 kHz，采樣點(diǎn)數(shù)為1 024。仿真信號(hào)的時(shí)域波形如圖1所示。將高斯白噪聲信號(hào)加入s（t）得到信噪比為-2 dB的仿真信號(hào)x（t），其時(shí)域波形如圖2所示。

圖1 外圈故障仿真信號(hào)s（t）Fig.1 Outer ring fault simulated signals s（t）

圖2 信噪比為-2 dB的外圈故障仿真信號(hào)x（t）Fig.2 Outer ring fault simulated signal x（t）with-2 dB SNR

從圖中可以看出，s（t）中存在明顯的沖擊信號(hào)衰減的特征以及沖擊間隔（0.01 s），對(duì)應(yīng)的沖擊特征頻率為100 Hz；而x（t）中的時(shí)域沖擊信號(hào)完全被淹沒(méi)在噪聲信號(hào)中，僅從時(shí)域特征完全無(wú)法區(qū)分沖擊特征時(shí)間間隔。直接對(duì)x（t）進(jìn)行廣義S變換（k=1，p=0.9），得到的時(shí)頻譜如圖3所示。

圖3 信號(hào)x（t）的廣義S變換時(shí)頻譜Fig.3 The generalized S transform time-frequency spectrum of signal x（t）

由于沖擊特征完全被淹沒(méi)在噪聲中，從廣義S變換時(shí)頻譜中仍然不能看出明顯的沖擊特征以及沖擊間隔。對(duì)x（t）進(jìn)一步處理，得到x（t）的廣義S變換時(shí)頻譜的奇異值及其差分譜，如圖4所示。

圖4 信號(hào)x（t）廣義S變換時(shí)頻譜的奇異值及其差分譜Fig.4 The singular value of generalized S transform timefrequ ency spectrum and difference spectrum with signal x（t）

從圖中可以看出：奇異值隨序號(hào)的增加逐漸減小，奇異值差分譜峰值群的最后一個(gè)峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的序號(hào)為11，取σ11為奇異值閾值進(jìn)行SVD降噪，得到x（t）廣義S變換時(shí)頻譜SVD降噪后的時(shí)頻譜如圖5所示。從圖中可以明顯看出時(shí)頻譜上的沖擊特征以及沖擊特征發(fā)生的時(shí)間點(diǎn)，恰好與理論值相符，且?guī)缀醪淮嬖谠肼曅盘?hào)，去噪效果很好。

圖5 信號(hào)x（t）廣義S變換時(shí)頻譜SVD降噪后的時(shí)頻譜Fig.5 The time-frequency spectrum with signal x（t）after generalized S transform time-frequency spectrum SVD denoised

對(duì)圖5的時(shí)頻譜進(jìn)行廣義S逆變換，結(jié)果如圖6所示。從圖中可以看出明顯的時(shí)域沖擊信號(hào)特征，沖擊信號(hào)發(fā)生的時(shí)間點(diǎn)也與理論仿真信號(hào)相符，沖擊間隔為0.01 s，噪聲得到了非常好的抑制，沖擊特征提取優(yōu)異。仿真研究表明：基于廣義S變換SVD降噪的沖擊特征提取方法能很好地提取出故障信號(hào)的沖擊特征，抑制強(qiáng)背景噪聲。

圖6 信號(hào)x（t）廣義S變換時(shí)頻譜SVD降噪后的信號(hào)Fig.6 The signal with signal x（t）after generalized S transform time-frequency spectrum SVD denoised

4 實(shí)際應(yīng)用

為進(jìn)一步驗(yàn)證該方法在滾動(dòng)軸承故障沖擊特征提取方面的有效性，并將其應(yīng)用于實(shí)際的滾動(dòng)軸承故障特征提取中。采用試驗(yàn)臺(tái)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析［11］，利用電火花加工技術(shù)在支承電動(dòng)機(jī)傳動(dòng)軸端的SKF 6205深溝球軸承內(nèi)圈上設(shè)置單點(diǎn)故障。電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為1 790 r/min，采用加速度傳感器采集振動(dòng)信號(hào)，采樣頻率fs=12 kHz，軸承內(nèi)圈故障特征頻率為158 Hz，對(duì)應(yīng)的沖擊間隔為0.006 s。

內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)的時(shí)域圖及其廣義S變換時(shí)頻譜（k=1，p=1.1）如圖7所示。從時(shí)域圖中可以看出，內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)的沖擊特征并不明顯，沖擊間隔難以確定；時(shí)頻譜中的噪聲比較強(qiáng)，時(shí)頻分辨率受噪聲影響較大，時(shí)頻分辨率低。

圖7 內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)的時(shí)域圖及其廣義S變換時(shí)頻譜Fig.7 Time domainwaveform of and generalized S transform time-frequency spectrum of inner ring fault signal

內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)的廣義S變換時(shí)頻譜奇異值及其差分譜如圖8所示。從圖中可以看出，奇異值隨坐標(biāo)序號(hào)增加而減小，峰值群的最后一個(gè)峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)序號(hào)為22，因此取σ22為奇異值閾值。

圖8 內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)廣義S變換時(shí)頻譜的奇異值及其差分譜Fig.8 The singular value of generalized S transform timefrequency spectrum and difference spectrum with inner ring fault signal

內(nèi)圈故障信號(hào)的廣義S變換時(shí)頻譜SVD降噪后的時(shí)頻譜如圖9所示，從圖中可以看出噪聲得到了很好的抑制，沖擊特征明顯。對(duì)其進(jìn)行逆變換得到的時(shí)域圖如圖10所示，從圖中可以看出Δt=0.006 s，很好的抑制了噪聲信號(hào)，并突出表現(xiàn)出了沖擊特征，沖擊間隔恰好與理論的0.006 s相符合，說(shuō)明該方法對(duì)于提取滾動(dòng)軸承故障沖擊特征非常的有效，抑制噪聲能力強(qiáng)。

圖9 故障信號(hào)廣義S變換時(shí)頻譜SVD降噪后的時(shí)頻譜Fig.9 The time-frequency spectrum with fault signal after generalized S transform time-frequency spectrum SVD denoised

圖10 故障信號(hào)廣義S變換時(shí)頻譜SVD降噪后的信號(hào)Fig.10 The signal with fault signal after generalized S transform time-frequency spectrum SVD denoised

5 結(jié)束語(yǔ)

廣義S變換是一種時(shí)頻分辨率高，時(shí)頻譜能量集中，適合分析非平穩(wěn)沖擊信號(hào)的自適應(yīng)時(shí)頻分析方法。將該方法的時(shí)頻譜系數(shù)矩陣作為SVD的Hankel矩陣，以奇異值差分譜峰值群最后一個(gè)峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的奇異值作為置零閾值，可利用廣義S逆變換無(wú)損還原時(shí)域沖擊信號(hào)。雖然沖擊波形不可避免地會(huì)出現(xiàn)一定的變形與失真，但沖擊特征得到了最大的保留，噪聲也得到了最大的抑制，可通過(guò)沖擊間隔獲得滾動(dòng)軸承故障特征頻率，并有效應(yīng)用于提取滾動(dòng)軸承的微弱故障沖擊特征。