戴喜明（上海寶鋼節(jié)能環(huán)保技術(shù)有限公司，上海 201999）

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基于有限元法的齒輪強(qiáng)度接觸研究分析

戴喜明
（上海寶鋼節(jié)能環(huán)保技術(shù)有限公司，上海 201999）

摘 要：本文首先介紹了針對(duì)齒輪接觸的有限元原理，其次根據(jù)齒輪結(jié)構(gòu)特性及相關(guān)理論導(dǎo)出漸開線齒廓方程和齒輪嚙合位置方程，在此基礎(chǔ)上利用有限元方法進(jìn)行模型構(gòu)建，進(jìn)行數(shù)值模擬，最后對(duì)數(shù)值模擬與仿真計(jì)算結(jié)果展開分析，結(jié)論與齒輪實(shí)際情況相吻合，以期對(duì)齒輪接觸強(qiáng)度有限元分析領(lǐng)域有所貢獻(xiàn)。

關(guān)鍵詞：有限元原理；齒輪；接觸強(qiáng)度；數(shù)值模擬

1. 齒輪接觸的有限元原理

齒輪有限元接觸理論包括靜態(tài)分析和動(dòng)態(tài)分析。靜態(tài)分析理論中，首先應(yīng)滿足彈性靜力學(xué)控制方程（式1），這是靜態(tài)分析的基礎(chǔ)，同時(shí)附加法向和切向接觸條件。法向接觸條件主要是用來判斷主從動(dòng)輪是否接觸，且此時(shí)的法向應(yīng)力為壓力。切向接觸條件承接法向接觸條件，即判斷已發(fā)生接觸的齒輪面之間的接觸細(xì)節(jié)，選用相關(guān)模型重點(diǎn)研究其接觸面的摩擦情況。從理論上講，嚙合齒面的摩擦接觸狀態(tài)包括以下3種類型：（1）摩擦接觸較為明顯的黏結(jié)狀態(tài)；（2）即將脫離摩擦條件的滑動(dòng)狀態(tài)；（3）不存在摩擦力的分離狀態(tài)。平衡方程

式中：σij，j—應(yīng)力張量偏導(dǎo)；—體積力張量；uij，uji—位移張量的偏導(dǎo)；εij—應(yīng)變張量；σij—應(yīng)力張量；G，λ—Lame常數(shù)；δij，δkl—Kronecher符號(hào)。

式中：K—集成結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；U結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移列陣；Q—結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)外部載荷列陣；F—結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)接觸載荷列陣。

因此，進(jìn)行接觸面分析時(shí)，首先應(yīng)先定義齒輪嚙合面的接觸狀態(tài)以及接觸區(qū)，合理判定，并選擇出合適的邊界條件。一般采用如式（2）所示的有限元方程來研究主從動(dòng)輪接觸問題。

動(dòng)態(tài)分析的基本控制方程與約束條件與靜態(tài)方法相似，其求解方程如式（3）所示。

式中：ρ—質(zhì)量密度；μ—阻尼因數(shù)；ui，tt—i方向的加速度。利用Hamilton變分原理，實(shí)現(xiàn)公式（3）的有限元化。在進(jìn)行齒輪的有限元?jiǎng)討B(tài)分析時(shí)，有關(guān)時(shí)間因素在內(nèi)的域是關(guān)鍵，Newmak法的廣泛應(yīng)用就充分驗(yàn)證了這一特性。

2. 漸開線齒輪嚙合方程

2.1 漸開線齒廓方程

由端面參數(shù)相同的齒輪嚙合漸開線以圖2所示的齒廓曲線為參照通過移動(dòng)重疊所形成的曲面作為漸開齒廓曲面。圖1所示中的點(diǎn)P為齒廓上的任一點(diǎn)，而點(diǎn)C為對(duì)應(yīng)分度圓上的點(diǎn)。參照漸開線的極坐標(biāo)方程可以得到

在坐標(biāo)面OZa中，P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的齒廓方程為：

2.2 齒輪嚙合位置方程

考慮到齒輪嚙合接觸面的復(fù)雜性，為得到更為精準(zhǔn)的分析模型，主要思路是：首先應(yīng)該將主、從動(dòng)輪前端面的幾何體定義出來，然后利用坐標(biāo)在坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換得到彼此之間的空間位置。圖2顯示的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系。在圖2中，坐標(biāo)系O1Z1a1為主動(dòng)輪的前端面坐標(biāo)系，而O2Z2a2則是表示從動(dòng)輪，可以假定在轉(zhuǎn)換之前二者為近似重合位置關(guān)系。具體操作如圖2所示。

Sc1、s2是主動(dòng)輪嚙合位置的齒厚及分度圓齒厚，Sc2、s2相應(yīng)的從動(dòng)輪的幾何參數(shù)；Tc1、Tc2為主、從動(dòng)齒輪嚙合位置的壓力角。

O2點(diǎn)在O1Za坐標(biāo)系中的坐標(biāo)（Z0，a0）為：

圖1　齒廓曲線圖

圖2　主從齒輪位置轉(zhuǎn)換圖

3. 有限元計(jì)算模型構(gòu)建

3.1 輪齒建模

從主、從齒輪各自的前端面作為坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的基準(zhǔn)，因此，首先應(yīng)從以此作為有限元網(wǎng)格劃分切入點(diǎn)，然后按照上述的轉(zhuǎn)換思路，轉(zhuǎn)換得到相應(yīng)的嚙合點(diǎn)位置。輪齒部分選用8結(jié)點(diǎn)參數(shù)相同的實(shí)體單元，得到的網(wǎng)格分布特別密集，網(wǎng)格具體大小應(yīng)根據(jù)形狀或外力矩進(jìn)行調(diào)整。輪緣和輪殼部分同輪齒選用結(jié)點(diǎn)單元相同，即8結(jié)點(diǎn)實(shí)體單元。而輻板部分選用的是4結(jié)點(diǎn)版殼單元。

表1　算例參數(shù)

表2　最大接觸應(yīng)力σmax

3.2 邊界條件及外載荷

檢查主動(dòng)輪的有限元模型，確保最大邊界的結(jié)點(diǎn)處在坐標(biāo)系中，保證在z軸方向可自由移動(dòng)及a軸的零位移（Va=0）。各結(jié)點(diǎn)在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過程中的轉(zhuǎn)角大小為：

式中：Zi、ai——相應(yīng)結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)；

保證從動(dòng)輪模型各個(gè)結(jié)點(diǎn)沿z軸以及a軸方向沒有發(fā)生位移。外載荷是通過等效轉(zhuǎn)化成結(jié)點(diǎn)力作用在主動(dòng)齒輪上的。

4. 數(shù)值模擬與仿真計(jì)算結(jié)果

此次設(shè)計(jì)模擬6個(gè)算例，具體參數(shù)如表1。

算例2的壓力角T2=35°，其余均為T=30°，其余參數(shù)見表1嚙合方式選用外嚙合。

通過計(jì)算，求得各算例的齒輪最大接觸應(yīng)力，并將有限元計(jì)算結(jié)果與ISO齒輪強(qiáng)度計(jì)算。

標(biāo)準(zhǔn)對(duì)比分析，見表2。

通過計(jì)算，分別得到算例齒輪接觸表面的應(yīng)力分布，并計(jì)算得到最大接觸應(yīng)力，并將計(jì)算結(jié)果與ISO齒輪強(qiáng)度計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)比較分析。

結(jié)論

本文通過有限元方法進(jìn)行模型構(gòu)建，進(jìn)行數(shù)值模擬，最后對(duì)數(shù)值模擬與仿真計(jì)算結(jié)果展開分析，結(jié)論與齒輪強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果基本吻合，說明該方法能夠運(yùn)用于齒輪接觸強(qiáng)度分析，也能為齒輪進(jìn)一步優(yōu)化設(shè)計(jì)提供可靠依據(jù)。而且相比于其他的零部件設(shè)計(jì)，齒輪的重要性和復(fù)雜性也從客觀上要求一個(gè)更加優(yōu)化的分析計(jì)算工具，這樣可以從制造工藝上面節(jié)省大量的人力物力資源，從而提高了工作效率。事實(shí)上，該有限元分析方法的計(jì)算功能的有限元分析有著其他十分重要的功能，相信在不久的將來該程序的計(jì)算功能的有限元分析可以推廣到其他的零件領(lǐng)域，甚至是各行各業(yè)。

參考文獻(xiàn)

［1］武麗.有限元分析法及其軟件在齒輪接觸強(qiáng)度分析中的應(yīng)用［J］.機(jī)械管理開發(fā)，2007（2）：74-75.

［2］羅齊漢，李成剛，厲海祥，胡于進(jìn).齒輪彎曲強(qiáng)度有限元精確分析方法研究［J］.機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2007（9）：12-15.

中圖分類號(hào)：TH114

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A