劉飛，裴曠怡，孔奎，張鋼，孟慶棟

(上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，上海 200072)

超導(dǎo)磁懸浮系統(tǒng)由超導(dǎo)體(HTS)、永磁體(PM)和冷卻系統(tǒng)組成，主要應(yīng)用在超導(dǎo)磁懸浮軸承[1-2]、飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)[3-4]、磁懸浮導(dǎo)軌列車[5-6]、陀螺導(dǎo)航等領(lǐng)域。隨著各種交叉學(xué)科、高新技術(shù)的發(fā)展，國內(nèi)外對(duì)高溫超導(dǎo)磁懸浮軸承試驗(yàn)及理論研究也越來越廣泛深入。高溫超導(dǎo)磁懸浮軸承(SMB)分為徑向和軸向2種類型[7-10]。文獻(xiàn)[11]通過對(duì)楊氏模型和Hull John R模型進(jìn)行改進(jìn)，提出一種改進(jìn)的磁通凍結(jié)-鏡像模型，其雖然考慮了磁滯模型，也可以適用徑向和軸向的超導(dǎo)磁懸浮軸承且方法簡單，但只能對(duì)超導(dǎo)軸承進(jìn)行定性分析，不能對(duì)磁偶極子進(jìn)行精確計(jì)算。文獻(xiàn)[12]在超導(dǎo)計(jì)算中加入了超導(dǎo)的各向異性，給出了臨界電流密度與各向異性的關(guān)系，利用T方法對(duì)超導(dǎo)懸浮力展開了數(shù)值計(jì)算，并對(duì)不同運(yùn)動(dòng)狀況下的懸浮力進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[13-14]基于A-V方法，采用控制體積法對(duì)高溫超導(dǎo)磁懸浮系統(tǒng)的懸浮力和導(dǎo)向力進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，經(jīng)驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果比較接近。下文介紹一種基于磁矢勢(shì)的懸浮力計(jì)算方法，對(duì)軸向高溫超導(dǎo)磁懸浮系統(tǒng)展開力學(xué)分析，并與已有試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較。

1 數(shù)學(xué)計(jì)算

1.1 基于分子電流法求解磁場強(qiáng)度

分子電流法是基于對(duì)永磁環(huán)表面等效電流的分析建立的數(shù)學(xué)模型，即假設(shè)永磁體內(nèi)部沒有電流，其磁動(dòng)勢(shì)可用等效的表面電流表達(dá)。軸向磁化的永磁環(huán)的等效電流模型如圖1所示。

圖1 軸向磁化永磁環(huán)的分子電流模型

根據(jù)Biot-Savart定律，電流元在空間產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(1)

式中：dB為電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度；μ0為真空磁導(dǎo)率；i為環(huán)形導(dǎo)線中的電流；dl為電流元長度；r為電流元矢徑。

利用Biot-Savart定律對(duì)永磁體的磁感應(yīng)強(qiáng)度Br求解，通過磁場強(qiáng)度求解出永磁體在空間的磁場分布情況。建立柱坐標(biāo)系(ρ,φ,z)如圖2所示，對(duì)于無限長柱形永磁體，其磁感應(yīng)強(qiáng)度可表示為

(2)

式中：Sr為柱形永磁體外表面面積；Rp為柱形永磁體的外半徑；az為沿z軸方向的單位矢量。

圖2 無限長圓柱永磁體

高溫超導(dǎo)磁懸浮軸承中的永磁轉(zhuǎn)子多采用環(huán)形永磁體，計(jì)算永磁環(huán)在空間磁場分布，即計(jì)算2個(gè)柱形永磁體計(jì)算的矢量和。為便于計(jì)算，建立如圖3所示的柱坐標(biāo)系(ρ,φ,z)，點(diǎn)P(ρ,φ,z)為空間內(nèi)任意一點(diǎn)，P′(ρ′,φ′,z′)為永磁體面上任意一點(diǎn)。通過對(duì)單個(gè)電流元積分，可得柱形永磁體在空間任意一點(diǎn)P的磁矢勢(shì)為

(3)

r-r′=(ρ-ρ′cosφ″)aρ+

(ρ′sinφ″)aφ+(z-z′)az，

φ″=φ-φ′，

式中：aρ為沿半徑ρ方向的單位矢量；aφ為沿偏移角度方向φ的單位矢量。

圖3 永磁體磁場分布模型

由 (2) 式和(3)式可得外徑為Rp、厚度為tp的柱形永磁體在P點(diǎn)的磁矢勢(shì)為

。(4)

環(huán)形永磁體的磁矢勢(shì)可等效為求解外半徑為Rp柱形永磁體的磁矢勢(shì)AR(ρ,z)和內(nèi)半徑為rp柱形永磁體的磁矢勢(shì)Ar(ρ,z) 的矢量和，即

。(5)

上式為定積分表達(dá)式，由于被積函數(shù)比較復(fù)雜，可以通過積分的近似數(shù)值求解

(6)

式中：Ak(k=0,1,2,…,n) 為求積系數(shù)，與函數(shù)f(xk)無關(guān)；ζk,xk為積分變量。

根據(jù)以上原理對(duì)柱形永磁體的磁矢勢(shì)求解。首先進(jìn)行變量變換，將φ的積分分成μ1，μ2，μ3，…，μM，變換形式為

φ′(ui)=πui-sin πui，

(7)

則dφ′(ui)=π-πcos πui。

將 (7) 式代入 (5) 式可得

(8)

式中：tpm(m=1,2,3，…,M)為將柱形永磁體分解成M個(gè)部分后每個(gè)磁體的厚度。

在坐標(biāo)系中，對(duì)磁矢勢(shì)A求旋度，可得磁感應(yīng)強(qiáng)度B為

(9)

由 (3) 式可知磁矢勢(shì)的方向與環(huán)形電流的方向相同，因此柱形永磁體產(chǎn)生的徑向磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(10)

式中：F，E分別為第一類、第二類完全橢圓積分。

柱形永磁體產(chǎn)生的軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度為

。(11)

永磁環(huán)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為半徑Rp和rp的柱形永磁體磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量和。在高溫超導(dǎo)磁懸浮系統(tǒng)中，永磁轉(zhuǎn)子多為永磁環(huán)的疊加。不同的疊加方式產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布如圖4所示。圖4a表明磁環(huán)軸向疊加的徑向磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的徑向磁感應(yīng)強(qiáng)度呈對(duì)稱分布；圖4b表明磁環(huán)徑向疊加的軸向磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度則呈不規(guī)則連續(xù)分布，在磁極外半徑處磁感應(yīng)強(qiáng)度達(dá)到最大值。

圖4 不同的疊加方式產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度

1.2 懸浮力的計(jì)算

由Faraday電磁感應(yīng)定律可知，當(dāng)磁場變化時(shí)導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生渦流現(xiàn)象。在超導(dǎo)體內(nèi)部任意一點(diǎn)的磁矢勢(shì)為永磁體產(chǎn)生的磁場Ap和超導(dǎo)體內(nèi)電流產(chǎn)生的磁場As的矢量和，即

A=Ap+As。

(12)

根據(jù)Biot-Savart定律，超導(dǎo)體內(nèi)電流產(chǎn)生的磁矢勢(shì)為

(13)

式中：rs，Rs分別為超導(dǎo)體的內(nèi)、外半徑；ts為超導(dǎo)體厚度；Js為超導(dǎo)體內(nèi)的電流密度。

(14)

E-J冪指數(shù)關(guān)系模型[1]為

(15)

式中：Ec為超導(dǎo)體中的臨界場強(qiáng)；J為電流密度；Jc為溫度T下的臨界電流密度。

將 (15) 式代入 (14) 式可得

(16)

結(jié)合 (8)，(12)，(13)和(16) 式可得

(17)

選取的高溫超導(dǎo)體為塊狀釔鋇銅氧，該材料中的電流密度有很強(qiáng)的各向異性。為此，將超導(dǎo)塊沿厚度方向劃分為Nz個(gè)平行薄片，只考慮氧化銅內(nèi)的屏蔽電流。為了便于計(jì)算，在每一薄片內(nèi)再進(jìn)行網(wǎng)格劃分，如圖5所示，分別從徑向和圓周方向?qū)⒈∑确譃镹ρ×Nφ個(gè)。求解過程中假設(shè)每個(gè)網(wǎng)格內(nèi)的電導(dǎo)率是恒定值。對(duì)于涉及時(shí)間域的電磁計(jì)算，選取等長的時(shí)間跨度dt，對(duì) (17) 式三重積分的求解轉(zhuǎn)化為

(18)

式中：ΔV為網(wǎng)格的體積。

圖5 超導(dǎo)體網(wǎng)格劃分

由(17) 式求出超導(dǎo)體內(nèi)的電流密度后，根據(jù)洛倫茲力可求得高溫超導(dǎo)磁懸浮系統(tǒng)的懸浮力為

(19)

具體計(jì)算流程如圖6所示。

圖6 懸浮力計(jì)算流程

2 超導(dǎo)軸向磁懸浮軸承懸浮力性能分析

對(duì)于軸向超導(dǎo)磁懸浮軸承，一般永磁體位于超導(dǎo)體的上方，如圖7所示。若永磁體受到軸向的擾動(dòng)力Fz而產(chǎn)生軸向位移z，則超導(dǎo)體會(huì)給予永磁體反作用力Fsz阻止其運(yùn)動(dòng)。

圖7 軸向高溫超導(dǎo)磁懸浮的軸向移動(dòng)

2.1 場冷高度40 mm(零場冷)

為便于與其他計(jì)算和試驗(yàn)結(jié)果[14-15]作比較以校正模型的正確性，選取與文獻(xiàn)中相同的柱形超導(dǎo)體：半徑Rs=10.5 mm，厚度ts=10 mm，臨界電場Ec=1，臨界電流密度Jc=1×108A/m2，指數(shù)n=20；永磁體半徑Rp=11 mm；厚度tp=20 mm，剩磁強(qiáng)度Br=1.1 T。

假設(shè)永磁體在距離超導(dǎo)體上表面40 mm位置開始冷卻，冷卻后施加向下的Fz使永磁體以1 mm/s的速度下降到距離超導(dǎo)體上表面3 mm處，再施加反向Fz使永磁體以1 mm/s的速度向上移動(dòng)到40 mm處。永磁體往復(fù)運(yùn)動(dòng)中受到超導(dǎo)定子的反向作用力Fsz。場冷高度40 mm下軸向力隨軸向位移的變化如圖8所示。由圖可知：永磁體上升過程中，理論計(jì)算值與文獻(xiàn)[14-15]中的試驗(yàn)值吻合度較高，在3 mm處的最大值比試驗(yàn)值小0.7 N左右；永磁體下降過程中，二者差別較大。這是因?yàn)楫?dāng)永磁體與超導(dǎo)體之間的間距最小時(shí)，超導(dǎo)體所處的磁場強(qiáng)度最大，有大量磁通穿入超導(dǎo)體內(nèi)；當(dāng)永磁體與超導(dǎo)體的間距逐漸增大時(shí)，超導(dǎo)體所處的外部磁場強(qiáng)度減小，使得穿入超導(dǎo)體的部分磁通被排出，但由于磁通釘扎作用，產(chǎn)生了磁滯現(xiàn)象，此時(shí)超導(dǎo)體內(nèi)部磁通運(yùn)動(dòng)較為復(fù)雜，文中采用的E-J模型雖然可以給出磁通運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)規(guī)律，但由于進(jìn)行了大量簡化，因此當(dāng)磁通運(yùn)動(dòng)劇烈時(shí)模擬結(jié)果存在誤差。

圖8 場冷高度40 mm下軸向力隨軸向位移的變化

2.2 場冷高度1 mm

選取與文獻(xiàn)[16]中相同的試驗(yàn)參數(shù)：高溫超導(dǎo)體直徑為30 mm，高度為12 mm，臨界電流密度為Jc=100 A/cm2；永磁體的直徑和高度均為12.7 mm，剩磁強(qiáng)度為0.831 T。

將高溫超導(dǎo)體在場冷高度為1 mm處進(jìn)行冷卻，在足夠的永磁體產(chǎn)生的外磁場強(qiáng)度條件下，高溫超導(dǎo)體由正常態(tài)轉(zhuǎn)變成超導(dǎo)態(tài)。同樣施加Fz以1 mm/s的速度上升到距離高溫超導(dǎo)體上表面25 mm處，再返回初始位置。場冷高度1 mm下軸向力隨軸向位移的變化如圖9所示。

圖9 場冷高度1 mm下軸向力隨軸向位移的變化

由圖9可知：永磁體開始上升時(shí)，理論計(jì)算值與試驗(yàn)值基本吻合，隨著軸向位移的增大，二者的差值增大，直至軸向力最小(軸向位移8 mm)時(shí)誤差為1 N；永磁體下降過程中，理論計(jì)算值和試驗(yàn)結(jié)果的最大誤差約為2 N。這是因?yàn)樵趫隼溥^程中，部分磁通被釘扎在超導(dǎo)體內(nèi)(即凍結(jié)磁通)，其與永磁體的相互作用使永磁體受到的懸浮力與零場冷卻下的懸浮力不同。另外，選取的E-J關(guān)系模型與實(shí)際有所差距，運(yùn)動(dòng)時(shí)間的增加會(huì)使溫度發(fā)生變化從而影響計(jì)算結(jié)果。

2.3 小結(jié)

通過對(duì)比2種不同場冷高度下的理論計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果可知：文中計(jì)算方法對(duì)零場冷卻下和場冷卻下懸浮力(軸向力)的分析均適用。在零場冷卻下懸浮力幾乎均為正值，超導(dǎo)體主要表現(xiàn)抗磁特性；場冷卻下懸浮力為負(fù)值，先快速增大后逐漸減小，由于超導(dǎo)體俘獲的磁通較多，主要表現(xiàn)出磁通釘扎特性，使得永磁體和超導(dǎo)體之間的磁力較大。由此可知，初始冷卻條件對(duì)懸浮力的影響顯著，可以通過調(diào)整初始冷卻條件實(shí)現(xiàn)對(duì)懸浮力的控制。

3 結(jié)束語

對(duì)永磁環(huán)的磁場分布情況進(jìn)行了分析，列出了高溫超導(dǎo)磁懸浮力計(jì)算方法和流程，利用該方法對(duì)不同冷卻方式下軸向高溫超導(dǎo)磁懸浮系統(tǒng)的懸浮力進(jìn)行了計(jì)算。對(duì)比試驗(yàn)結(jié)果可知，該方法在永磁體軸向時(shí)對(duì)軸向力計(jì)算是可靠的。在軸對(duì)稱情況下，永磁體在超導(dǎo)體上方軸向移動(dòng)過程中受到反作用力；超導(dǎo)體在零場下冷卻時(shí)產(chǎn)生的軸向懸浮力比場冷卻下的大，且磁滯特性不明顯。