徐　菁， 張　方， 姜金輝， 浦玉學(xué)， 蔣　祺

(南京航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院 機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室，南京　210016)

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基于擬靜態(tài)初值的載荷識別數(shù)值修正算法

徐菁， 張方， 姜金輝， 浦玉學(xué)， 蔣祺

(南京航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院 機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室，南京210016)

摘要：推導(dǎo)擬靜態(tài)法獲得載荷初值及穩(wěn)定不發(fā)散計算結(jié)果，分析獲得初值不準(zhǔn)確原因，推導(dǎo)獲得新的載荷識別方法。該方法基于數(shù)值原理，利用步步修正達到減少累積誤差效果，可較大程度提高計算穩(wěn)定性，并將數(shù)值迭代修正方法用于有限元模型載荷識別。結(jié)果表明，該方法能較準(zhǔn)確識別出工程中常見的多種載荷，并具有一定抗噪能力。

關(guān)鍵詞：載荷識別；時域；擬靜態(tài)法；數(shù)值修正

動載荷識別技術(shù)為結(jié)構(gòu)動態(tài)設(shè)計關(guān)鍵，屬于結(jié)構(gòu)動力學(xué)第二類逆問題。其原理為據(jù)已知系統(tǒng)特性及動響應(yīng)求得結(jié)構(gòu)所受動載荷。研究內(nèi)容為加載位置識別及動載荷量值識別。目前，動載荷識別技術(shù)主要有頻、時域兩類方法，其中時域法可直觀表現(xiàn)載荷隨時間歷程的變化規(guī)律。

張方等[1-2]利用廣義正交多項式導(dǎo)出基于多節(jié)點時間有限元的載荷識別模型，將廣義正交域線性算子逆運算替代時域的復(fù)雜逆卷積關(guān)系，通過計算正交多項式系數(shù)求解載荷，使復(fù)雜結(jié)構(gòu)分布動態(tài)載荷識別問題得以解決。Nordstrǒm等[3]采用時延方法將載荷識別過程中存在的不適定問題轉(zhuǎn)化為適定問題，研究時間延遲選取對激勵力識別精度影響。Hashemi等[4]為識別施加于簡支梁的動載荷引入遺傳算法，仿真結(jié)果表明該方法的正確性及對測量噪聲、傳感器位置的魯棒性。Gunawan等[5]采用正則化二次樣條函數(shù)擬合系統(tǒng)沖擊載荷，利用基于L曲線的TSVD方法求解動態(tài)載荷。該方法雖能提供較精確的載荷識別結(jié)果，但不能準(zhǔn)確識別沖擊載荷卸載過程。Kazemi等[6]利用應(yīng)變響應(yīng)時間積分識別動載荷。結(jié)果表明，用應(yīng)變識別的載荷波動較大，需用正則化方法修正，且結(jié)果對測試噪聲較敏感。韓旭等[7]將動態(tài)載荷表示為一系列脈沖或階躍函數(shù)的疊加，并用零相位濾波器、正則化技術(shù)及優(yōu)化策略實現(xiàn)載荷的穩(wěn)定重構(gòu)。郭杏林等[8]針對結(jié)構(gòu)受多點分布載荷識別問題提出精細正則化算法，對載荷識別求解過程中的方程病態(tài)問題用正則化奇異值分解技術(shù)進行處理。姜金輝等[9-10]研究基于Wilson-θ反分析法的動載荷時域識別方法及θ取值、時間間隔、阻尼比、測量點位置數(shù)目及采樣中噪聲干擾等因素對動載荷識別精度影響，并在Wilson-θ反分析法基礎(chǔ)上提出多種修正方案，使計算結(jié)果趨于收斂。朱濤等[11]引入Newmark積分獲得系統(tǒng)離散運動方程，并基于動態(tài)規(guī)劃法及Bellman最優(yōu)化原理，推導(dǎo)出動態(tài)優(yōu)化載荷識別算法公式，該方法抗噪性能較好。王靜等[12]利用系統(tǒng)響應(yīng)構(gòu)造狀態(tài)空間方程組，建立精確非遞推連鎖計算格式的時域內(nèi)動載荷反演模型，通過正則化技術(shù)克服模型算子的病態(tài)特性及響應(yīng)測量中噪聲不利影響。

本文通過擬靜態(tài)法獲得不發(fā)散的識別力初值，并說明改初值偏離真實載荷原因。在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)獲得基于數(shù)值迭代的修正算法并推廣到多輸入模型；用仿真算例及實驗考察該算法的收斂性及抗噪能力。

1擬靜態(tài)法獲得初值

用數(shù)值迭代算法前提之一需獲得可靠初值范圍，此范圍須含真實值且大小合適。本文所用擬靜態(tài)載荷法即為能方便獲得初值方法，計算過程簡單，結(jié)果不發(fā)散。

加速度信號為工程中載荷識別常見輸入形式，Wilson-θ法計算由加載力得到加速度響應(yīng)時具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性。取θ>1.37即可保證結(jié)果無條件收斂，本文取θ=1.4，結(jié)合Wilson-θ法，可推導(dǎo)出擬靜態(tài)法求載荷公式。對離散多自由度系統(tǒng)，動力學(xué)平衡方程為

(1)

在Wilson-θ法計算中[13]，設(shè)外力在t～θΔt時間內(nèi)線性變化，則有

f(t～θΔt)=f(t)+θ(f(t+Δt)-f(t))

(2)

由此，可得t+θΔt時刻系統(tǒng)等效靜力方程為

(3)

(i=1,2,…,n)

(4)

(5)

求解上式可得di(t+θΔt)，再據(jù)式(4)，式(3)的解滿足線性關(guān)系，即

(6)

設(shè)有m個測點，若已測出加速度響應(yīng)，據(jù)Wilson-θ法假設(shè)，有

(7)

(8)

(9)

(10)

該方程組的解可分為3種情況：①m≤n即測點數(shù)小于未知載荷數(shù)時不能得到唯一解，無法識別；②m=n時可求得唯一解；③m≥n時對位移矩陣求廣義逆，可得一組最小二乘解。

求出{λ}t+θΔt后，據(jù)式(4)可求出t+θΔt時刻動載荷值fi(t+θΔt)，由于上一步載荷fi(t)已知，故可識別出下一步載荷為

fi(t+Δt)=

[fi(t+θΔt)-fi(t)]/[θ+fi(t)]

(11)

2數(shù)值迭代修正算法

擬靜態(tài)法計算簡便，雖對已知加速度響應(yīng)求解所得載荷計算結(jié)果不會發(fā)散，但假定結(jié)構(gòu)處于靜載荷狀態(tài)，獨立計算每個時間間隔點，未考慮一個時間步長內(nèi)前一時間點載荷、響應(yīng)對后一時間點響應(yīng)影響，故不適用于動載荷識別問題。

為進一步獲得較精確結(jié)果，可用數(shù)值迭代修正擬靜態(tài)法求得載荷初值，使每個時間間隔點載荷更接近真實載荷。其中，二分法與黃金分割法為常用數(shù)值迭代算法。由Wilson-θ法知

(12)

(12)化簡為

(13)

若在第b1,…,bi,…bn自由度上施加載荷，在第a1,…,aj,…,am自由度上測量響應(yīng)加速度，則有

f(t+Δt)={0,…,0,f(t+Δt)b1,0,…,0,f(t+Δt)bj,

(15)

即

?

?

簡寫為

(16)

在該方程組中取n個方程，得

(17)

解方程，消去未知量，只保留f1得

(18)

式中：Ai1為系數(shù)矩陣去掉第i行第1列代數(shù)余子式；其余未知量用f1表示，則有

(19)

式中：Ain,1j為系數(shù)矩陣去掉第i、n行第1、j列代數(shù)余子式。令

(20)

對g(f1)求導(dǎo)，即

(21)

由擬靜態(tài)法獲得識別載荷的初始時間序列f(t)。設(shè)時間點tm對應(yīng)的力為f(tm)，令a0=-rf(tm)，b0=rf(tm)，r為區(qū)間放大倍數(shù)，且能滿足g(a0)g(b0)<0，則[a0,b0]為初始含根區(qū)間(設(shè)f(tm)>0)。據(jù)單調(diào)函數(shù)性質(zhì)知，此區(qū)間內(nèi)g(f1)零點即為真實載荷。一般，若已獲得含根區(qū)間[ak,bk](k=1,2,…)，則令

(22)

用二分法[14]計算時取q=0.5；用黃金分割法計算則q=0.618，若

(23)

(24)

實際計算中所用終止原則為bk-ak≤10-p，p為正整數(shù)，有

ε≤(1-q)(bk-ak)=10-p(1-q)

(25)

式(24)可化為

(26)

求解以上不等式得

(27)

所需迭代步數(shù)上限為

(28)

式中：[ ]為取整。

可見，步步迭代算法增加的計算量主要取決于每次K*的大小。因此確定所用迭代法后，計算耗時與初始含根區(qū)間邊界值a0,b0及精度要求p密切相關(guān)，而結(jié)果的精確性主要由p決定。

3仿真計算

建立自由-自由梁矩形截面梁計算模型，梁長2 m，截面0.08 m×0.02 m，各階阻尼比0.02，彈性模量72 GPa，材料密度2 700kg/m3，劃分為20個有限元單元，每節(jié)點有平動、轉(zhuǎn)動2個自由度，共42個自由度。結(jié)構(gòu)單元節(jié)點示意見圖1。

圖1　結(jié)構(gòu)單元節(jié)點示意圖Fig.1 Diagram of structure elements and nodes

3.1算例1

在第29、33自由度分別加載f1=10sin(4πt)N，f2=15sin(8πt)N的正弦力。已知數(shù)據(jù)為第15、21、35自由度的加速度響應(yīng)。無噪聲下，取Δt=0.001 s，識別結(jié)果見圖2。圖2(a)為靜態(tài)擬合算法所得識別力，可見，此擬合算法雖不能獲得準(zhǔn)確載荷，但結(jié)果未現(xiàn)發(fā)散且能穩(wěn)定在一范圍內(nèi)，符合數(shù)值迭代修正的初值要求。圖2(b)為修正后的識別力，故在精度要求合適前提下，數(shù)值迭代算法可獲得較準(zhǔn)確的計算載荷。

圖2 二輸入載荷識別對比圖Fig.2Two-inputloadidentification圖3 三輸入載荷識別對比圖Fig.3Three-inputloadidentification

3.2算例2

在上算例基礎(chǔ)上增加一輸入載荷，所測加速度響應(yīng)增加到5個，即第15、29、33自由度上分別加載f1=8sin(4πt)N，f2=10sin(6πt)N，f3=15sin(8πt)N的正弦力，已知數(shù)據(jù)為第11、17、21、35、39自由度的加速度響應(yīng)。3個輸入載荷對比見圖3。

實際問題中往往所遇為非規(guī)則正弦加載。對以上算例3個自由度的工程常見集中載荷，考察數(shù)值迭代修正法的識別效果。圖4(a)為在第15、29、33自由度上加載半正弦、三角波及方波載荷，圖4(b)為在第15、29、33自由度上加載鋸齒波、組合正弦及沖擊載荷。由圖4知，該加載下結(jié)果均未發(fā)散，說明此算法對各種載荷具有良好的適應(yīng)性及收斂性。

工程中噪聲影響不可忽略，具不具備良好抗噪性能是判斷算法穩(wěn)定與否的重要依據(jù)。為驗證數(shù)值修正算法的抗噪性能，在兩算例正弦輸入下，對已知加速度響應(yīng)加入5%高斯白噪聲。圖5(a)、(b)分別為二、三輸入下數(shù)值迭代修正算法識別結(jié)果。由圖5看出，修正后識別曲線雖與真實結(jié)果存在一定偏離，但整體并未出現(xiàn)發(fā)散，能基本體現(xiàn)真實加載。

4實驗驗證

實驗?zāi)Ｐ筒捎梅抡嬗嬎愕淖杂?自由梁，將其劃分為20個有限元單元。

主要儀器設(shè)備有：NI PXI-4496機箱，NI USB-4431數(shù)據(jù)采集卡，PCB模態(tài)力錘，ICP型加速度傳感器及連接線等。將實驗梁用橡皮繩懸掛于支架上，實驗裝置見圖6。

利用m+p SmartOffice軟件進行模態(tài)實驗，獲得梁前幾階固有頻率及阻尼比。建立梁仿真模型、計算固有頻率，并用實驗數(shù)據(jù)對仿真模型進行修正，使兩者盡量吻合，彈性模量為68 GPa，材料密度2 700kg/m3，模型參數(shù)見表1。

用力錘快速敲擊實驗梁，利用Labview Signal Express軟件采集數(shù)據(jù)，獲得固定位置加速度響應(yīng)。用其作為修正模型的加載響應(yīng)，利用數(shù)值修正算法回推計算輸入載荷，對比實驗所測得真實輸入載荷，分析算法的可行性。

圖4　多形式加載識別對比圖Fig.4 The identification in multiple types of load

圖5　加噪后的識別結(jié)果圖Fig.5 The identification after adding noise

參數(shù)第1階第2階第3階第4階第5階第6階第7階第8階第9階固有頻率/Hz實驗值25.771.7141.4235.1348.3486.1645.7828.81032.2計算值25.771.1139.4230.5344.3481.1640.8823.71031.1 模態(tài)阻尼比/%2.5011.2870.4552.0470.2210.1680.1580.1590.164

圖6　實驗裝置Fig.6 Experimental setup figure

取第7、15號節(jié)點為錘擊加載點，第5、13號節(jié)點為響應(yīng)采集點，采樣率20 kHz。據(jù)加速度與模型參數(shù)，用數(shù)值修正算法計算獲得沖擊載荷曲線，見圖7。

設(shè)fpeak為加載峰值，進一步分析實驗結(jié)果數(shù)據(jù)，引入峰值誤差參考量Epeak

(29)

實驗中，Epeak,1=4.12%,Epeak,2=3.24%。

由圖7及誤差看出，識別曲線基本能反映真實加載趨勢。沖擊載荷加、卸載過程雖曲線平直段誤差較大，但總體未現(xiàn)發(fā)散趨勢。實驗中造成誤差原因較多，如梁的有限元模型與實際模型并不完全一致。實驗儀器設(shè)備亦存在不穩(wěn)定及固有誤差，且錘擊點亦會有偏離。

圖7　實驗結(jié)果曲線Fig.7 The identified curve of experimental result

5結(jié)論

載荷識別計算過程中，誤差累積導(dǎo)致的發(fā)散難以克服。對此，本文提出載荷識別的新思路，在每個時間步長內(nèi)利用數(shù)值算法進行迭代修正。仿真、實驗結(jié)果表明，該修正算法可有效獲得穩(wěn)定的識別結(jié)果，基本收斂于真實加載。

參 考 文 獻

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基金項目：航空科學(xué)基金(2012ZA52001)；高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金(20123218120005)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金(NS2012080)；國家自然科學(xué)基金資助項目(51305197);機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室自主研究課題(0115K01)

收稿日期：2014-06-30修改稿收到日期：2015-01-22

通信作者張方 男，教授，博士生導(dǎo)師，1962年8月生

中圖分類號:TH 113; O 327

文獻標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.02.007

Numerical correcting algorithm for load identification based on quasi-static initial value

XU Jing, ZHANG Fang, JIANG Jin-hui, PU Yu-xue, JIANG Qi

(State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures,College of Aerospace Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

Abstract:A quasi-static method was presented to obtain the initial value of loading, which is a simple and quick algorithm to get stable and convergent results. The reason why the initial value of the algorithm would be not accurate was analysed, and a new load identification algorithm was deduced. The method is based on the principle of numerical algorithm and uses the idea of step-by-step correction, which can reduce the effect of cumulative error and greatly improve the stability of calculation. This numerical iteration method was applied to the load identification of a finite element model. The results of simulation and experiment show that the method can accurately identify the common variety of loads in engineering, and it has a certain ability to resist noise.

Key words:load identification; time domain; quasi-static method; numerical correction

第一作者 徐菁 女，博士生，1988年9月生