夏新濤，朱文換，孫立明，葉亮，邱明

(1. 河南科技大學 機電工程學院，河南 洛陽 471003；2. 洛陽軸研科技股份有限公司，河南 洛陽 471039)

為確保安全運行，試驗機、飛機、高鐵、汽車等機械系統(tǒng)對滾動軸承試驗或服役時期的可靠性要求越來越高[1]。在軸承試驗或服役過程中，由于諸多原因造成滾動軸承的性能指標達不到使用要求，使其產(chǎn)生疲勞、磨損、燒傷等失效，甚至發(fā)生惡性事故。因此，在軸承試驗或服役期間滾動軸承無失效時或者沒有發(fā)現(xiàn)失效時，應(yīng)事先分析滾動軸承的無失效數(shù)據(jù)[2]，對滾動軸承的失效概率進行估計[3-6,13]，即根據(jù)滾動軸承的無失效數(shù)據(jù)對滾動軸承的可靠性進行預(yù)測。

目前，無失效數(shù)據(jù)可靠性評估采用的研究方法主要有經(jīng)典統(tǒng)計學法和Bayes統(tǒng)計法，最常用的是Bayes統(tǒng)計法[2-10]，其前提是已知所研究滾動軸承壽命的概率分布，如對數(shù)正態(tài)分布[3]、指數(shù)分布[6]、Weibull分布[5,8-9]、二項分布、均勻分布等。而滾動軸承的多種失效導致了其概率分布未知，因此，現(xiàn)有方法對概率分布未知的滾動軸承壽命無失效數(shù)據(jù)可靠性的研究有一定的缺陷。

現(xiàn)融合自助法[11]和最大熵原理[12]，運用自助最大熵法，首先處理滾動軸承壽命試驗或服役過程中概率分布已知和未知時的無失效數(shù)據(jù)，然后構(gòu)建壽命失效數(shù)據(jù)的可靠性函數(shù)，進而預(yù)測壽命失效數(shù)據(jù)可靠性的真值函數(shù)及其上下界函數(shù)，實現(xiàn)滾動軸承壽命無失效數(shù)據(jù)可靠性評估。

需要說明的是，提出的自助最大熵法是針對滾動軸承試驗或服役期間沒有發(fā)生任何失效時獲取的無失效數(shù)據(jù)，即所考察的無失效數(shù)據(jù)不同于定時截尾試驗中獲得的無失效數(shù)據(jù)。因此，自助最大熵法不適用于定時截尾試驗軸承均無失效的相同無失效數(shù)據(jù)的分析,定時截尾試驗中軸承均無失效時的情況需要進一步研究。

1 建立無失效數(shù)據(jù)可靠性模型

1.1 數(shù)據(jù)采集

假設(shè)滾動軸承無失效數(shù)據(jù)為隨機變量x，對其壽命無失效數(shù)據(jù)進行定期采樣，獲取原始數(shù)據(jù)，構(gòu)成一個無失效數(shù)據(jù)序列X,

X=(x(1),x(2),…,x(n));

n=1,2,…,N，

(1)

式中：x(n)為第n個無失效數(shù)據(jù)；n為無失效數(shù)據(jù)的序號；N為無失效數(shù)據(jù)的個數(shù)。

1.2 數(shù)據(jù)生成

根據(jù)自助原理，通過自助再抽樣將原始無失效數(shù)據(jù)生成大量無失效數(shù)據(jù)。在進行自助抽樣前，需選定抽樣個數(shù)。首先令第1組選取的抽樣個數(shù)為L1，然后等間隔地選擇抽樣個數(shù)Li(i為抽樣個數(shù)的組號，一般取4～10)，直到Li=N為止；然后對抽樣個數(shù)不同的多組原始無失效數(shù)據(jù)分別進行自助再抽樣，根據(jù)自助原理從X中等概率可放回地進行抽樣，抽取n次，可得到一個自助樣本Xib，且其共有N個數(shù)據(jù)。連續(xù)重復(fù)抽取B次，得到B個自助再抽樣樣本，即大量無失效數(shù)據(jù)XB為

XB=(Xi1,Xi2,…Xib,…XiB);b=1,2,…,B,

(2)

Xib=(xib(1),xib(2),…,xib(n));

n=1,2,…，N,

式中：Xib為第i組自助樣本Xi的第b個自助樣本；B為第i組自助樣本XB的數(shù)據(jù)個數(shù)，一般取1 000～100 000；xib(n)表示自助樣本Xib中的第n個數(shù)據(jù)。

自助樣本Xib的均值為

(3)

1.3 預(yù)測數(shù)據(jù)的概率分布

根據(jù)最大熵原理，原始無失效數(shù)據(jù)生成的大量無失效數(shù)據(jù)應(yīng)滿足最大熵準則。用最大熵法可以獲取大量無失效數(shù)據(jù)的概率分布的最好估計。

對于原始無失效數(shù)據(jù)生成的大量無失效數(shù)據(jù)，用一連續(xù)變量u來表示大量無失效數(shù)據(jù)序列XB中的自助樣本Xib，定義最大熵H(u)為

(4)

式中：f(u)為無失效數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)；Ω為變量u的積分區(qū)間。

(4) 式的約束條件為

(5)

(6)

式中：m為所用原點矩的階數(shù)；mk為第k階原點矩。

根據(jù) (2) 式可得無失效數(shù)據(jù)的各階原點矩為

(7)

令

H(u)→max ，

(8)

(9)

令

(10)

可得到

(11)

(12)

(13)

(14)

(14) 式為最大熵概率密度函數(shù)的解析式。

將(14)式代入 (5) 式可得

(15)

求解可得

(16)

(17)

將 (16) 、(17)式分別對λk進行微分可得

(18)

(19)

比較(18)式和(19)式，m階原點矩應(yīng)滿足

(20)

通過(20)式可建立求解λ1,…,λk,…,λm的m個方程組，再由(18)式求出λ0，可得無失效數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)f(u)的解析式。

由f(u)解析式可得無失效數(shù)據(jù)的概率分布函數(shù)F(u)為

(21)

1.4 構(gòu)建可靠性函數(shù)

定義一個有關(guān)滾動軸承壽命無失效數(shù)據(jù)個數(shù)的估計參數(shù)G(u)為

G(u)=N[1-F(u)]。

(22)

假設(shè)有關(guān)滾動軸承壽命的經(jīng)驗失效概率分布函數(shù)P(u)為

(23)

式中：c為經(jīng)驗概率系數(shù)，其取值會影響可靠性函數(shù)的計算結(jié)果。

當c為0.01～0.5時，c越小，可靠性函數(shù)的取值范圍越??；反之，可靠性函數(shù)的取值范圍越大[13]。在滾動軸承壽命試驗或服役過程中，假設(shè)無失效數(shù)據(jù)的取值區(qū)間是[xmin,xmax]=[x(1),x(N)]。根據(jù)現(xiàn)有的可靠性研究成果和工程實踐[7,13-14]，當壽命x的取值接近xmin時，失效數(shù)據(jù)的可靠性高；當壽命x的取值接近xmax時，失效數(shù)據(jù)的可靠性低。在x=xmax之前，滾動軸承壽命試驗或服役過程中沒有出現(xiàn)失效，即僅獲得了無失效數(shù)據(jù)；在x=xmax時，失效數(shù)據(jù)的估計可靠性函數(shù)的可信度通常為85%～95%[7,13-14]，對應(yīng)的c值約為0.1。

根據(jù)可靠性理論，預(yù)測滾動軸承壽命失效數(shù)據(jù)的可靠性函數(shù)r(u)為

根據(jù)(24)式及生成的多組大量無失效數(shù)據(jù)，可預(yù)測出滾動軸承壽命失效數(shù)據(jù)的多組可靠性函數(shù)。

1.5 預(yù)測真值函數(shù)及其上下界函數(shù)

設(shè)有S個失效數(shù)據(jù)，分別獲取同一失效數(shù)據(jù)所對應(yīng)的多組可靠性函數(shù)的取值，將其構(gòu)成一個滾動軸承壽命失效數(shù)據(jù)的可靠性數(shù)據(jù)序列R

R=(R1,R2,…,Rs);s=1,2,…,S，

(25)

Rs=(rs(1),rs(2),…,rs(j),…,rs(i));

j=1,2,…,i，

式中：s為失效數(shù)據(jù)可靠性數(shù)據(jù)序列的序號；Rs為第s個失效數(shù)據(jù)的可靠性數(shù)據(jù)序列；j為壽命失效數(shù)據(jù)的可靠性數(shù)據(jù)的序號；rs(j)為Rs中的第j個數(shù)據(jù)。

根據(jù)自助原理，從失效數(shù)據(jù)的可靠性數(shù)據(jù)序列Rs中等概率可放回地進行抽樣，抽取i次，可得到一個自助樣本Rsb，且其共有i個數(shù)據(jù)。連續(xù)重復(fù)抽取B次，得到B個自助再抽樣樣本，即失效數(shù)據(jù)的大量可靠性數(shù)據(jù)序列RB為

RB=(Rs1,Rs2,…,Rsb);b=1,2,…,B，

(26)

式中：Rsb為RB的第b個自助樣本。

運用最大熵原理，對于由 (26) 式模擬出的B個RB，用一連續(xù)變量z來表示失效數(shù)據(jù)的可靠性數(shù)據(jù)的自助樣本Rsb，根據(jù) (4)～(20) 式，可得壽命失效數(shù)據(jù)可靠性的概率密度函數(shù)φ為

φ=φ(z) 。

(27)

預(yù)測滾動軸承壽命失效數(shù)據(jù)可靠性的真值函數(shù)RT為

(28)

假設(shè)顯著性水平α∈[0,1]，置信水平P為

P=1-α，

(29)

對應(yīng)置信水平P=α/2處的置信區(qū)間的下邊界函數(shù)RL=Rα/2，且滿足

(30)

對應(yīng)置信水平P=1-α/2處的置信區(qū)間的上邊界函數(shù)RU=R1-α/2，且滿足

(31)

因此，在置信水平P下，滾動軸承壽命失效數(shù)據(jù)可靠性的上界函數(shù)和下界函數(shù)可以用失效數(shù)據(jù)可靠性的取值區(qū)域D表示

D={RL,RU}={Rα/2,R1-α/2}。

(32)

2 研究案例

2.1 已知分布無失效數(shù)據(jù)

某滾動軸承的無失效數(shù)據(jù)見表1，共有6組11個數(shù)據(jù)。根據(jù)現(xiàn)有的可靠性研究[4]，認為滾動軸承壽命服從Weibull分布。

表1 滾動軸承的無失效數(shù)據(jù)

由表1可得滾動軸承的無失效數(shù)據(jù)序列X11(N=11)，如圖1所示。

圖1 滾動軸承的無失效數(shù)據(jù)序列X11

將這11個滾動軸承的無失效數(shù)據(jù)通過選擇抽樣個數(shù)進行分組:抽樣個數(shù)L1=5，L2=7，L3=8，L4=11，共4組自助抽樣。

設(shè)置信水平P=95%，根據(jù)自助最大熵法，分別對這4種情況的無失效數(shù)據(jù)建立失效數(shù)據(jù)的可靠性模型。

由自助最大熵法可得，理論上B的取值越大，預(yù)測的結(jié)果就越準確。在實際的案例分析中，當B取值過大時，會導致生成大量數(shù)據(jù)所用的時間過長；當B取值大到一定程度時，預(yù)測結(jié)果不再發(fā)生變化。因此，結(jié)合實際研究情況，在確?？焖佾@取最佳預(yù)測結(jié)果的前提下，優(yōu)選B=30 000。

在建立失效數(shù)據(jù)的可靠性模型時，令B=30 000，c=0.1，進而可預(yù)測出4組滾動軸承壽命失效數(shù)據(jù)的可靠性函數(shù)，如圖2所示。

圖2 4組滾動軸承壽命失效數(shù)據(jù)的可靠性函數(shù)

由圖2可知，由于樣本的抽樣個數(shù)不同，獲得的每組有關(guān)滾動軸承失效數(shù)據(jù)的可靠性函數(shù)的具體變化有一定差別，但總體上來看，隨著滾動軸承試驗或服役時間的不斷增加，其壽命的可靠性均呈下降趨勢。該趨勢符合滾動軸承壽命在軸承試驗或服役過程中逐漸衰減的實際規(guī)律。

基于滾動軸承壽命同一失效數(shù)據(jù)對應(yīng)的可靠性數(shù)據(jù)序列，運用自助最大熵法，令B=30 000，可得滾動軸承壽命失效數(shù)據(jù)的可靠性真值函數(shù)及其上下界函數(shù)，如圖3所示。圖中還給出了運用現(xiàn)有方法(多層Bayes估計法)對該滾動軸承無失效數(shù)據(jù)可靠性的分析結(jié)果[4]。

圖3 滾動軸承壽命失效數(shù)據(jù)可靠性的真值函數(shù)及其上下界函數(shù)

由圖3可知，當x=1 000 h時，由這2種方法得到的結(jié)果之間的差異最大。設(shè)x=1 000 h，用自助最大熵法預(yù)測的滾動軸承壽命失效數(shù)據(jù)可靠性估計真值RT(1 000)=89.82%。根據(jù)多層Bayes估計法，在滾動軸承壽命概率分布已知的條件下，假設(shè)滾動軸承壽命失效數(shù)據(jù)服從Weibull分布，當x=1 000 h時，計算的滾動軸承壽命失效數(shù)據(jù)可靠性為95.27%。二者最大差值為5.45%，相差很小，說明用自助最大熵法對滾動軸承壽命無失效數(shù)據(jù)的可靠性進行評估是可行的。

2.2 未知分布無失效數(shù)據(jù)

因滾動軸承壽命無失效數(shù)據(jù)來源于其運行時間，擬定一組數(shù)據(jù)作為壽命無失效數(shù)據(jù)，構(gòu)成模擬無失效數(shù)據(jù)序列X10(N=10)，如圖4所示。由于模擬無失效數(shù)據(jù)是主觀擬定的，其概率分布是未知的。

圖4 模擬的無失效數(shù)據(jù)序列X10

將這10個模擬無失效數(shù)據(jù)通過選擇抽樣個數(shù)進行分組：抽樣個數(shù)L1=4，L2=6，L3=8，L4=10，共4組自助抽樣。

設(shè)置信水平P=95%，根據(jù)自助最大熵法，分別對這4種情況的無失效數(shù)據(jù)建立失效數(shù)據(jù)的可靠性模型。同理，令B=30 000，c=0.1，則可預(yù)測4組模擬失效數(shù)據(jù)的可靠性函數(shù)，如圖5所示。

圖5 4組模擬失效數(shù)據(jù)的可靠性函數(shù)

由圖5可知，由于樣本的抽樣個數(shù)不同，獲得的每組模擬的失效數(shù)據(jù)可靠性函數(shù)雖有一定差別，但總隨著模擬失效數(shù)據(jù)的不斷增大，滾動軸承壽命的可靠性整體呈下降趨勢。該趨勢符合滾動軸承壽命隨著時間推移逐漸衰減的實際規(guī)律。

基于同一模擬失效數(shù)據(jù)對應(yīng)的可靠性數(shù)據(jù)序列，運用自助最大熵法，令B=30 000，可得模擬失效數(shù)據(jù)的可靠性真值函數(shù)及其上下界函數(shù)，如圖6所示。

由圖6可知，在模擬失效數(shù)據(jù)x取值范圍內(nèi)，模擬失效數(shù)據(jù)可靠性的真值函數(shù)及其上下界函數(shù)均呈遞減趨勢，則預(yù)測的模擬失效數(shù)據(jù)可靠性的真值函數(shù)及其上下界函數(shù)符合滾動軸承可靠性逐漸衰減的實際情況，說明用自助最大熵法在概率分布未知條件下評估滾動軸承壽命無失效數(shù)據(jù)的可靠性是可行的。

圖6 模擬失效數(shù)據(jù)可靠性的真值函數(shù)及其上下界函數(shù)

2.3 討論

已知分布無失效數(shù)據(jù)的實際案例為服從Weibull分布的壽命無失效數(shù)據(jù)可靠性評估案例,在概率分布已知的情況下，用自助最大熵法預(yù)測的壽命失效數(shù)據(jù)可靠性真值與現(xiàn)有方法得到的壽命失效數(shù)據(jù)可靠性取值相差很小，說明運用自助最大熵法可以較準確地預(yù)測壽命無失效數(shù)據(jù)的可靠性真值函數(shù)，該方法對于滾動軸承無失效數(shù)據(jù)的可靠性評估是可行的。另外，用自助最大熵法還可以預(yù)測出壽命無失效數(shù)據(jù)的可靠性上下界函數(shù)，而用現(xiàn)有方法是無法計算的。因此，在現(xiàn)有方法的可靠性研究中，可將自助最大熵法得到的壽命無失效數(shù)據(jù)可靠性上下界函數(shù)作為參考。

仿真試驗為概率分布未知的壽命無失效數(shù)據(jù)可靠性評估案例，由試驗結(jié)果可知，在概率分布未知的情況下，用自助最大熵法可以得到壽命失效數(shù)據(jù)可靠性的真值函數(shù)及其上下界函數(shù)。對比圖6和圖3可知，概率分布未知時預(yù)測的壽命失效數(shù)據(jù)可靠性真值函數(shù)及其上下界函數(shù)的變化規(guī)律與概率分布已知時預(yù)測的結(jié)果大致相同，說明自助最大熵法能夠解決在概率分布未知條件下對無失效數(shù)據(jù)的可靠性進行評估這一難題。而對于概率分布未知的情況，現(xiàn)有方法是行不通的。

3 結(jié)束語

在概率分布已知和未知的情況下，用自助最大熵法預(yù)測滾動軸承壽命的失效數(shù)據(jù)，經(jīng)實際案例和仿真試驗證明，該方法對壽命的概率分布沒有要求，可以實現(xiàn)壽命無失效數(shù)據(jù)的可靠性評估。對于相同的一組無失效數(shù)據(jù)，運用現(xiàn)有方法和自助最大熵法獲得的可靠性結(jié)果是相同的，而實際工程上該結(jié)果有可能不同，在未來工作中有待深入研究。