賀子光，吳　博，趙法鎖，程振全，汪班橋，段　釗

(1.長(zhǎng)安大學(xué) 地質(zhì)工程與測(cè)繪學(xué)院，陜西 西安 710054； 2.西安科技大學(xué) 地質(zhì)與環(huán)境學(xué)院，陜西 西安 710054)

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蝙蝠優(yōu)化算法在邊坡可靠性分析中的應(yīng)用*

賀子光1，吳博1，趙法鎖1，程振全1，汪班橋1，段釗2

(1.長(zhǎng)安大學(xué) 地質(zhì)工程與測(cè)繪學(xué)院，陜西 西安 710054； 2.西安科技大學(xué) 地質(zhì)與環(huán)境學(xué)院，陜西 西安 710054)

摘要:基于可靠度的幾何意義，提出基于蝙蝠算法(Bat Algorithm, BA)進(jìn)行邊坡可靠性分析。針對(duì)基本蝙蝠算法易早熟、收斂精度低的不足，將細(xì)菌覓食算法中的遷徙操作(Elimination Dispersal)引入基本蝙蝠算法，形成遷徙蝙蝠算法(EDBA)，提高了算法的全局搜索能力和收斂速度。算例1的計(jì)算結(jié)果表明：EDBA較基本BA的計(jì)算精度高，收斂速度快，穩(wěn)定性更好，對(duì)求解復(fù)雜、高度非線性功能函數(shù)的可靠性問(wèn)題具有很好的適應(yīng)性。對(duì)于隱式功能函數(shù)的邊坡可靠度求解，提出了采用蝙蝠算法和基因表達(dá)式編程(Gene Expression Programming, GEP)相結(jié)合的計(jì)算邊坡可靠度的新方法。該方法采用GEP方法擬合邊坡極限狀態(tài)函數(shù)，構(gòu)建響應(yīng)面，通過(guò)蝙蝠算法計(jì)算邊坡可靠度及相應(yīng)的驗(yàn)算點(diǎn)；算例2的計(jì)算結(jié)果證明：EDBA-GEP方法對(duì)求解隱式功能函數(shù)的邊坡可靠性問(wèn)題具有很好的適應(yīng)性，是科學(xué)可行的，具有很好的應(yīng)用前景。

關(guān)鍵詞:基因表達(dá)式編程(GEP)；蝙蝠算法(BA)；遷徙因子；響應(yīng)面法(RSM)； 邊坡；可靠度

在邊坡工程評(píng)價(jià)、設(shè)計(jì)和施工過(guò)程中，最重要、最根本的指標(biāo)是邊坡的安全性，由于巖土工程的不確定性中，傳統(tǒng)的邊坡穩(wěn)定性評(píng)價(jià)方法不能很好地解決該問(wèn)題。鑒于此，邊坡的可靠性分析理論得到了迅速發(fā)展，它的分析結(jié)果能夠反映各種類型的不確定性或隨機(jī)性，更能客觀地評(píng)價(jià)邊坡的安全性。

經(jīng)過(guò)國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者的研究，邊坡可靠性分析方法取得了一定的成果。目前，用于邊坡可靠度計(jì)算的方法主要有：蒙特卡羅法(MCS)[1]、一次二階矩法(FORM)[2]、最優(yōu)化法[3]和響應(yīng)面法(RSM)[4]等，但這些方法均存在一些或多或少的缺陷：MCS是最簡(jiǎn)單、最直接的可靠度分析方法，回避了可靠度指標(biāo)計(jì)算中的數(shù)學(xué)困難，不需要考慮極限狀態(tài)函數(shù)的復(fù)雜性，但是對(duì)失穩(wěn)概率小的邊坡問(wèn)題，其計(jì)算效率低下，非常耗時(shí)；最優(yōu)化法是一種新的求解可靠度指標(biāo)的數(shù)值方法，即求解可靠指標(biāo)等同于求解極限狀態(tài)曲面到原點(diǎn)最短距離的優(yōu)化問(wèn)題。應(yīng)該說(shuō)用優(yōu)化方法求解可靠指標(biāo)是一種有效的途徑，但現(xiàn)有的大部分優(yōu)化方法在求解功能函數(shù)呈高度非線性問(wèn)題時(shí)，有時(shí)會(huì)陷入局部最小值，或者是計(jì)算結(jié)果不收斂，效果往往不理想；RSM通過(guò)多項(xiàng)式函數(shù)擬合技術(shù)構(gòu)造響應(yīng)面代替隱式功能函數(shù)，在確定性方法和可靠性分析之間建立了“橋梁”，但傳統(tǒng)的響應(yīng)面法在某些特殊情況下還存在收斂困難的問(wèn)題。后來(lái)，有學(xué)者將ANN法和SVM法應(yīng)用于邊坡可靠性分析中，然ANN法存在局部極小和“過(guò)擬合”問(wèn)題；SVM法的擬合精度受所選核函數(shù)參數(shù)取值的影響較大，而其參數(shù)是通過(guò)優(yōu)化方法得到，不同的參數(shù)優(yōu)化方法導(dǎo)致其擬合精度不同。因此，尋求合適的邊坡可靠度分析方法仍是一個(gè)亟待解決的問(wèn)題。

蝙蝠算法(Bat Algorithm，BA)是一種模擬蝙蝠覓食行為的新型元啟發(fā)示優(yōu)化算法[5]，已在工程設(shè)計(jì)、分類等領(lǐng)域得到應(yīng)用，研究表明，BA對(duì)高度非線性優(yōu)化問(wèn)題有著很好的解決能力?；虮磉_(dá)式編程(Gene Expression Programming，GEP)是Ferreira在生物基因表達(dá)的啟示下[6]，融合了GA和GP優(yōu)點(diǎn)的新函數(shù)挖掘方法。GEP方法具有很強(qiáng)的函數(shù)擬合能力，在函數(shù)擬合時(shí)不需要任何先驗(yàn)知識(shí)，結(jié)合多數(shù)據(jù)流之間的映射關(guān)系，是一種新型多數(shù)據(jù)流的擬合方法。因此本文提出將BA和GEP結(jié)合，應(yīng)用于邊坡可靠性分析中，通過(guò)GEP構(gòu)建顯式的極限狀態(tài)函數(shù)，利用BA進(jìn)行可靠度指標(biāo)計(jì)算。

1EDBA-GEP方法

1.1基本蝙蝠算法

蝙蝠在不同程度上都有回聲定位系統(tǒng)，因此有“活雷達(dá)”之稱。借助這一系統(tǒng)，它們能在完全黑暗，且存在大量干擾的環(huán)境中飛行和捕捉食物。蝙蝠能連續(xù)不斷地發(fā)出高頻率超聲波，如果碰到障礙物或飛舞的昆蟲(chóng)時(shí)，這些超聲波就能反射回來(lái)，然后由它們超凡的大耳廓所接收，使反饋的信息在它們微細(xì)的大腦中進(jìn)行分析。這種超聲波探測(cè)靈敏度和分辯力極高，使它們根據(jù)回聲不僅能判別方向，為自身飛行路線定位，還能辨別不同的昆蟲(chóng)或障礙物，進(jìn)行有效的回避或追捕。根據(jù)蝙蝠的覓食特性，Xin-She Yang于2010年提出了新的種群進(jìn)化算法——蝙蝠算法[7]。BA的尋優(yōu)過(guò)程同粒子群算法、果蠅優(yōu)化算法等類似，首先隨機(jī)生成初始種群，對(duì)種群內(nèi)每個(gè)個(gè)體計(jì)算相應(yīng)的適應(yīng)度值，然后其他個(gè)體都追隨當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體在空間中搜索即通過(guò)迭代找到最優(yōu)解。具體的實(shí)施過(guò)程如下所示：

(1) 設(shè)置相關(guān)參數(shù)：種群規(guī)模Sizepop、最大響度值A(chǔ)0、初始，搜索脈沖頻率范圍[fminfmax] ，音量的衰減系數(shù)α，搜索頻率的增強(qiáng)系數(shù)γ和最大迭代次數(shù)iterMax。

(2) 隨機(jī)初始化蝙蝠的位置xi，并根據(jù)適應(yīng)度值的優(yōu)劣尋找當(dāng)前最優(yōu)解x*。

(3) 蝙蝠的搜索脈沖頻率、速度和位置更新。種群在進(jìn)化過(guò)程中，每一代個(gè)體的搜索脈沖頻率、速度和位置按如下公式進(jìn)行變化：

fi=fmin+(fmax-fmin)β

(1)

(2)

(3)

式中：fmin和fmax分別為蝙蝠發(fā)出聲波的最小和最大頻率，β為[0,1]中的均勻隨機(jī)數(shù)。設(shè)置初始值時(shí)，每只蝙蝠發(fā)射聲波的頻率服從于[fmin,fmax]的均勻隨機(jī)分布。

(4) 生成隨機(jī)數(shù)rand1>ri，則從處在最佳位置的蝙蝠群體中選擇1個(gè)，對(duì)蝙蝠進(jìn)行隨機(jī)擾動(dòng)，用擾動(dòng)后的位置取代蝙蝠當(dāng)前的位置x*。

Xnew=Xold+εAt,

(4)

(5) 生成隨機(jī)數(shù)rand2，如果rand2>Ai且f(xi)

(5)

(6)

(6) 依據(jù)適應(yīng)度值的大小對(duì)群體蝙蝠進(jìn)行排序，找到當(dāng)前最優(yōu)位置x*。

(7) 判斷是否滿足停止條件，若滿足，則結(jié)束算法并輸出最優(yōu)解，否則轉(zhuǎn)到步驟2。

1.2蝙蝠算法的改進(jìn)

1.2.1引入細(xì)菌遷徙因子

盡管BA具有很多其他算法不具有的優(yōu)點(diǎn)，但是由BA的原理可知，在整個(gè)迭代尋優(yōu)過(guò)程中，一旦選取出當(dāng)代最優(yōu)個(gè)體，所有的個(gè)體都是根據(jù)最優(yōu)個(gè)體的位置更新自身的速度，因此降低了種群的多樣性。假如最優(yōu)個(gè)體為局部最優(yōu)解，則整個(gè)進(jìn)化過(guò)程易發(fā)生“早熟”收斂現(xiàn)象，導(dǎo)致算法陷入局部最優(yōu)解。針對(duì)該問(wèn)題，本文將細(xì)菌覓食算法中的遷徙操作因子引入基本BA中，形成遷徙蝙蝠算法(Elimination Dispersal Bat algorithm，EDBA)[8-10]。新算法采用進(jìn)化停滯步數(shù)t作為執(zhí)行條件，假設(shè)細(xì)菌的遷徙概率為Ped，當(dāng)t≥T(最大進(jìn)化停滯步數(shù))時(shí)，對(duì)當(dāng)代種群中個(gè)體以一固定概率Ped(i)執(zhí)行遷徙操作，對(duì)于適應(yīng)度值高的，且靠近全局最優(yōu)的個(gè)體，執(zhí)行遷徙操作將會(huì)引起解的退化，因此，本文針對(duì)不同適應(yīng)度值個(gè)體賦予不同的遷徙概率Ped(i)，具體見(jiàn)式(7)。

(7)

1.2.2改變局部搜索策略

(8)

(9)

Xnew=(ω1·Xfitbest+ω2·Xmean)+εAt。

(10)

式中：Xfitbest指當(dāng)前最優(yōu)解；Xmean是最優(yōu)解集的平均值；ω1、ω2分別是Xfitbest和Xmean的權(quán)重，ω1+ω2=1，具體取值見(jiàn)式(9)。

1.3引入細(xì)菌遷徙因子的蝙蝠算法

引入細(xì)菌遷徙因子的蝙蝠算法(EDBA)以基本蝙蝠算法為依托，具體計(jì)算過(guò)程如下：

(1) 所需參數(shù)進(jìn)行初始化設(shè)置，即：種群規(guī)模(Sizepop)、最大進(jìn)化停滯步數(shù)限值T、脈沖發(fā)射的響度A0(i)、初始速率r0(i)，搜索脈沖頻率范圍[fmax,fmin]，音量的衰減系數(shù)α，最大迭代次數(shù)iterMax。

(2) 根據(jù)式(2)～(4)隨機(jī)產(chǎn)生初始種群。

(3) 依據(jù)適應(yīng)度值的大小對(duì)群體蝙蝠進(jìn)行排序，記錄最優(yōu)適應(yīng)度值fitnessbest和最差適應(yīng)度值fitnessworst，并記錄停滯步數(shù)t。

(4) 判斷是t≥T否成立，若成立，根據(jù)式(7)計(jì)算每個(gè)蝙蝠個(gè)體的遷徙概率，采用遺傳算法中的輪盤(pán)賭方式作為選擇機(jī)制，將被選擇個(gè)體重新分配到空間中進(jìn)行尋優(yōu)，未遷徙的個(gè)體保留。

(5) 對(duì)遷徙后的蝙蝠群體進(jìn)行評(píng)價(jià)，根據(jù)個(gè)體適應(yīng)度值的大小來(lái)更新最優(yōu)解和最優(yōu)值。

(6) 進(jìn)行局部搜索。根據(jù)式(8)和式(9)確定ω1、ω2的取值，采用式(10)更新新解的位置。

(7) 評(píng)價(jià)新解的結(jié)果，記錄當(dāng)前群體中的最優(yōu)位置和最優(yōu)值。若當(dāng)前最優(yōu)位置和最優(yōu)值優(yōu)于以前的最優(yōu)值和最優(yōu)位置，則用當(dāng)前最優(yōu)位置和最優(yōu)值替換以前的最優(yōu)值和最優(yōu)位置，否則保持以往的狀態(tài)。

(8) 進(jìn)入迭代尋優(yōu)，重復(fù)步驟(2)～(7)，直至達(dá)到最大進(jìn)化代數(shù)為止。

1.4GEP函數(shù)挖掘方法

GEP方法是在生物基因表達(dá)的啟示下，完美地融合了GA和GP方法的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)引入獨(dú)特的編解碼方式和頭部基因約束機(jī)制，保證染色體在各種遺傳操作下均能存活，增強(qiáng)了種群進(jìn)化能力和適應(yīng)能力。GEP方法同其他種群進(jìn)化方法類似，演繹了生物遺傳進(jìn)化的機(jī)理，首先隨機(jī)創(chuàng)建初始種群，按照獨(dú)特的染色體編解碼方式對(duì)初始種群進(jìn)行基因表達(dá)(染色體解碼)，依據(jù)所解決問(wèn)題設(shè)置相應(yīng)的適宜度函數(shù)，并對(duì)每個(gè)染色體進(jìn)行評(píng)估。當(dāng)評(píng)估結(jié)果滿足進(jìn)化條件，則輸出結(jié)果；若否，通過(guò)一定原則或方法(例如，輪盤(pán)賭方法)選擇最優(yōu)個(gè)體，對(duì)所選擇的最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行遺傳操作，產(chǎn)生新的子代個(gè)體，再評(píng)估。如此反復(fù)，直到得到最優(yōu)解或者滿足進(jìn)化條件停止。

1.5響應(yīng)面法

響應(yīng)面法是通過(guò)一系列確定性計(jì)算，用顯示的表達(dá)式來(lái)近似代替隱式極限狀態(tài)函數(shù)。通過(guò)合理地選取試驗(yàn)點(diǎn)和迭代策略，來(lái)保證顯示表達(dá)式函數(shù)能夠在失效概率上收斂于真實(shí)的隱式極限狀態(tài)函數(shù)的失效概率。響應(yīng)面法為功能函數(shù)為隱式表達(dá)式的邊坡可靠度計(jì)算問(wèn)題提供了一條有效途徑[11]，在確定性計(jì)算和隨機(jī)變量之間建立了“紐帶”。響應(yīng)面法在使用中應(yīng)注意三個(gè)問(wèn)題：①響應(yīng)面形式；②選擇確定響應(yīng)面的樣本點(diǎn)；③迭代策略，這三個(gè)問(wèn)題應(yīng)根據(jù)不同情況具體分析。

2可靠度計(jì)算模型

可靠度指標(biāo)β定義是：在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中，坐標(biāo)原點(diǎn)到極限狀態(tài)曲面的最短距離。顯然，不管極限狀函數(shù)的具體形式如何，只要具有相同的力學(xué)或物理含義，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中，所表示的都是同一曲面，曲面上與坐標(biāo)原點(diǎn)距離最近的點(diǎn)也只有一個(gè)，因此，可靠度指標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的幾何求解問(wèn)題。

設(shè)具有n個(gè)正態(tài)變量x1,x2,…,xn的極限狀態(tài)方程：

Z=G(x1,x2,x3,…,xn)=0。

(11)

或Z=Fs-1。

(12)

將式(11)中的變量x1,x2,…,xn標(biāo)準(zhǔn)化得：

(13)

式中：Yi為變量xi的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)化值，其含義為在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中，變量xi的取值；mxi和σxi是變量xi的均值和方差。因此可靠度計(jì)算模型為：

(14)

如果隨機(jī)變量服從一般分布F(xi)，則可以進(jìn)行高斯變換，將一般分布變換成正態(tài)分布。高斯變換如下：

Yi=φ-1(F(xi))。

(15)

3EDBA計(jì)算可靠度

由可靠度的幾何含義可知，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)坐標(biāo)系中，可靠度β是原點(diǎn)到極限狀態(tài)曲面的最短距離，而驗(yàn)算點(diǎn)就是極限狀態(tài)曲面上到原點(diǎn)距離最短的點(diǎn)。利用EDBA的全局搜索能力找出其到原點(diǎn)最短距離的點(diǎn)以及相應(yīng)的最短距離，即可靠度和驗(yàn)算點(diǎn)，具體步驟如下所示。

(1) 對(duì)所需參數(shù)進(jìn)行初始化設(shè)置，即：種群規(guī)模(Sizepop)、固定遷徙概率(Ped)最大進(jìn)化停滯步數(shù)T、音量的衰減系數(shù)α，最大迭代次數(shù)iterMax。

(2) 根據(jù)式(2)～(4)隨機(jī)產(chǎn)生初始種群。隨機(jī)初始化種群中各蝙蝠的位置，其中通常將各蝙蝠的位置設(shè)置在[-3σ，3σ]區(qū)間。

(3) 約束條件處理

由于可靠度計(jì)算模型為有約束的規(guī)劃模型,因此需要對(duì)約束條件進(jìn)行處理，這里采用罰函數(shù)法將約束求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束求解問(wèn)題。

(16)

式中：f(x1,x2,…,xn)為極限狀態(tài)函數(shù)，λ為懲罰因子。

(4) 計(jì)算每個(gè)蝙蝠個(gè)體的適應(yīng)度值，依據(jù)適應(yīng)度值的大小對(duì)群體蝙蝠進(jìn)行排序，記錄最優(yōu)適應(yīng)度值fitnessbest和最差適應(yīng)度值fitnessworst，并記錄停滯步數(shù)t。

(5) 判斷t≥T是否成立，若成立，根據(jù)式(7)計(jì)算每個(gè)蝙蝠個(gè)體的遷徙概率，按照遺傳算法中的輪盤(pán)賭方式選擇個(gè)體進(jìn)行遷徙操作，將選擇個(gè)體重新分配到空間中進(jìn)行尋優(yōu)，未執(zhí)行遷徙的個(gè)體保留。

(6) 對(duì)遷徙后的蝙蝠群體進(jìn)行評(píng)價(jià)，根據(jù)個(gè)體適應(yīng)度值的大小來(lái)更新最優(yōu)解和最優(yōu)值。

(7) 進(jìn)行局部搜索。根據(jù)式(8)和式(9)確定ω1，ω2的取值，采用式(10)更新新解的位置。

(8) 評(píng)價(jià)新解的結(jié)果，記錄當(dāng)前群體中的最優(yōu)位置和最優(yōu)值。若當(dāng)前最優(yōu)位置和最優(yōu)值優(yōu)于以前的最優(yōu)值和最優(yōu)位置，則用當(dāng)前最優(yōu)位置和最優(yōu)值替換以前的最優(yōu)值和最優(yōu)位置，否則保持以往的狀態(tài)。

(9) 進(jìn)入迭代尋優(yōu)，重復(fù)步驟(2)～(8)，直至達(dá)到最大進(jìn)化代數(shù)為止。

4EDBA-GEP方法計(jì)算邊坡可靠度

4.1選擇樣本點(diǎn)

響應(yīng)面法的計(jì)算精度受所選取樣本點(diǎn)的影響較大,因此采用合適的樣本選取方法尤為重要。統(tǒng)計(jì)學(xué)中，常用的取樣方法有很多，各種方法均有其最為適用的范圍，根據(jù)可靠度的計(jì)算特點(diǎn)，本文采用均勻設(shè)計(jì)法選取樣本點(diǎn)[12-13]。在第一次響應(yīng)面優(yōu)化迭代時(shí)，在[-3σ，3σ]選取樣本點(diǎn)，在后續(xù)迭代中，為了提高響應(yīng)面擬合精度，應(yīng)逐漸縮小選樣范圍。

4.2EDBA-GEP方法計(jì)算邊坡可靠度

本文采用GEP方法擬合安全系數(shù)與各隨機(jī)變量的顯示表達(dá)式，根據(jù)擬合的顯式表達(dá)式建立可靠度優(yōu)化計(jì)算模型，采用EDBA計(jì)算可靠度指標(biāo)及驗(yàn)算點(diǎn)。具體的實(shí)施步驟如下所示。

(1) 根據(jù)各隨機(jī)變量的具體分布，在其均值處采用均勻設(shè)計(jì)法選取樣本點(diǎn)，并通過(guò)確定性方法計(jì)算相應(yīng)的安全系數(shù)。

(2) 采用GEP方法擬合安全系數(shù)與各隨機(jī)變量的顯式表達(dá)式。在顯式表達(dá)式的基礎(chǔ)上，建立相應(yīng)的可靠度優(yōu)化計(jì)算模型。

(3) 利用EDBA計(jì)算可靠度指標(biāo)及相應(yīng)的驗(yàn)算點(diǎn)。

(4) 判斷是否滿足精度要求，若否，則以當(dāng)前驗(yàn)算點(diǎn)為中心點(diǎn)重新取樣計(jì)算。如此反復(fù)迭代，直至達(dá)到預(yù)設(shè)精度停止。

5工程算例

5.1算例1：秀茂坪邊坡

香港秀茂坪邊坡是一典型的巖質(zhì)邊坡[14-15]，其穩(wěn)定性主要受巖石的c，φ值影響，考慮地震和裂縫中水壓對(duì)邊坡的作用。剖面圖如圖1所示，由極限平衡條件，可得潛在滑動(dòng)面上的安全系數(shù)，安全系數(shù)等于總抗滑力和總滑動(dòng)力之比，隨機(jī)變量為c,φ,b,iw,α，各變量含義如圖1所示，采用EDBA計(jì)算該邊坡的可靠度。

圖1　巖質(zhì)邊坡剖面圖

因?yàn)樵撨吰戮哂酗@式的安全系數(shù)表達(dá)式，因此本算例只采用EDBA計(jì)算可靠度值，并以該算例為基礎(chǔ)，對(duì)EDBA中主要控制參數(shù)的最優(yōu)組合取值進(jìn)行討論。EDBA的參數(shù)設(shè)置如下，種群規(guī)模Sizepop=40，最大進(jìn)化代數(shù)iterMax=1 000、音量的衰減系數(shù)α=0.9、搜索頻率的增強(qiáng)系數(shù)φ=0.9、固定遷徙概率Ped=0.3，最大停滯步數(shù)T=3。參數(shù)統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表1，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2，計(jì)算結(jié)果數(shù)據(jù)分析見(jiàn)表3。優(yōu)化過(guò)程見(jiàn)圖2。

圖2　EDBA和基本BA的優(yōu)化過(guò)程

(17)

式中：

A=(H-z)/sinΨp;

b=(H-z)cotΨp-Hcotψf

U=0.5γwZwA;

z=H-(b+Hcotψf)tanψp;

N=W(cosψp-αsinψp)-U-Vsinψp+Tcosθ;

H=60m,ψf=50°,ψp=35°,T=0,γw=1.0kN/m3;

γ=2.6kN/m3。

表1　隨機(jī)變量及其統(tǒng)計(jì)參數(shù)

表2　邊坡可靠度的計(jì)算結(jié)果

首先引入“尋優(yōu)成功率”概念，若|si-最優(yōu)值|/最優(yōu)值≤ξ，則稱第i次尋優(yōu)成功。si為算法第i次搜索到的最優(yōu)值，ξ為給定的閥值。定義尋優(yōu)成功率η=尋優(yōu)成功的次數(shù)/總尋優(yōu)次數(shù)，BA和EDBA程序分別運(yùn)行20次，對(duì)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。

文獻(xiàn)[14]中的計(jì)算結(jié)果為1.557，對(duì)應(yīng)的失效概率為5.97%，EDBA和基本BA的計(jì)算結(jié)果與其基本一致，蒙特卡洛計(jì)算10萬(wàn)的失效概率為6.01%。表明了EDBA的準(zhǔn)確性，可以作為可靠度計(jì)算的一種有效方法；從圖2可以看出，EDBA較基本BA的收斂速度快，計(jì)算精度比基本BA高；表3中計(jì)算統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明：EDBA較基本BA的穩(wěn)定性更好，搜索效率更高。

表3　BA和EDBA的計(jì)算結(jié)果統(tǒng)計(jì)

EDBA控制參數(shù)的不同選取，直接對(duì)方法的性能產(chǎn)生較大影響，控制參數(shù)主要包括最大進(jìn)化代數(shù)和音量衰減系數(shù)、搜索頻率的增強(qiáng)系數(shù)、固定遷徙概率和當(dāng)前最優(yōu)解權(quán)值。下面討論各控制參數(shù)對(duì)可靠度計(jì)算值的影響規(guī)律。由于方法具有一定的隨機(jī)性，為了減小隨機(jī)性導(dǎo)致的計(jì)算結(jié)果誤差，在同樣的參數(shù)情況下，程序均運(yùn)行50次，以平均值作為衡量依據(jù)。

5.2EDBA主要控制參數(shù)的討論

為了分析EDBA中各主要控制參數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，本文采用正交試驗(yàn)對(duì)其進(jìn)行極差分析和方差分析。下文主要對(duì)進(jìn)化代數(shù)iterMax、音量的衰減系數(shù)(α)、搜索頻率的增強(qiáng)系數(shù)(γ)、固定遷徙概率(Ped)和當(dāng)前最優(yōu)解權(quán)值(ω1)5個(gè)指標(biāo)進(jìn)行分析。這里只考慮當(dāng)前最優(yōu)值權(quán)重(ω1)，因?yàn)棣?+ω2=1。各控制參數(shù)分別設(shè)置：(500，1 000，2 000)，(0.1，0.5，0.9)，(0.1，0.5，0.9)，(0.1，0.3，0.5)，(0.5，0.7，0.9)。每組數(shù)據(jù)各運(yùn)行50次，ζ值取2%，統(tǒng)計(jì)其尋優(yōu)成功率。正交試驗(yàn)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4，極差分析結(jié)果見(jiàn)表5，方差分析結(jié)果見(jiàn)表6。

表4　正交試驗(yàn)結(jié)果

從表5和表6中可以看出，EDBA中，對(duì)于平均最優(yōu)值來(lái)說(shuō)，音量衰減系數(shù)(α)對(duì)計(jì)算結(jié)果影響最大且靈敏性最高，其F值大于F0.05，說(shuō)明音量衰減系數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果影響顯著；其他四個(gè)控制參數(shù)的F值均小于F0.05，表明其對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響不顯著，有利于參數(shù)取值。從表6可以得到，最大進(jìn)化代數(shù)(iterMax)各個(gè)水平的平均最優(yōu)值比較接近，說(shuō)明EDBA的搜索速度較快，當(dāng)進(jìn)化代數(shù)大于500時(shí)，進(jìn)化代數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果影響較小。最大進(jìn)化代數(shù)為500時(shí)的最優(yōu)值優(yōu)于進(jìn)化代數(shù)為2 000時(shí)的最優(yōu)值，這主要是由算法隨機(jī)性誤差引起的，當(dāng)某參數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果影響較小時(shí)，相對(duì)放大了隨機(jī)性誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，綜合考慮進(jìn)化迭代時(shí)間，算法最大進(jìn)化代數(shù)通常設(shè)置為1 000。對(duì)于算法的尋優(yōu)成功率，這里以搜索到的最優(yōu)值1.551為標(biāo)準(zhǔn)，閥值ξ取2%,，從表6中可以看出，固定遷徙概率Ped的F值大于F0.05，表明其對(duì)尋優(yōu)成功率影響顯著，增強(qiáng)了算法的全局搜索能力且算法的穩(wěn)定性更好。音量衰減系數(shù)α的F值同樣大于F0.05，表明其對(duì)尋優(yōu)成功率的影響同樣顯著，其余依次為γ，ω1，iterMax，后三位參數(shù)在取值時(shí)，其約束條件相對(duì)寬松，便于參數(shù)取值。綜合以上分析，EDBA的主要控制參數(shù)的最佳取值組合應(yīng)為(1 000，0.9，0.9，0.3，0.9)。

表5　正交試驗(yàn)極差分析結(jié)果

*括號(hào)內(nèi)為分析尋優(yōu)成功率時(shí)的數(shù)據(jù)

表6　正交試驗(yàn)方差分析結(jié)果

*括號(hào)內(nèi)為分析尋優(yōu)成功率時(shí)的數(shù)據(jù)

由于正交試驗(yàn)法中，各參數(shù)的水平數(shù)選取有限，下面重點(diǎn)分析固定遷徙概率、音量的衰減系數(shù)(α)、搜索頻率的增強(qiáng)系數(shù)(γ)的具體取值。由表5和表6可得，分析“固定遷徙概率”時(shí)，音量的衰減系數(shù)(α)、搜索頻率的增強(qiáng)系數(shù)(γ)均取0.9，其他參數(shù)分別取最佳組合值。同樣參數(shù)設(shè)置下，程序運(yùn)行10次，取可靠度值的平均值作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

由圖3可見(jiàn)，當(dāng)固定遷徙概率從0.1～0.3逐漸增大時(shí)，可靠度值逐漸減小，但非常接近；當(dāng)固定遷徙概率從0.3～0.9逐漸增大時(shí)，可靠度值逐漸增大；當(dāng)可靠度值取0.3時(shí)，可靠度值最小，表明EDBA的全局搜索能力最強(qiáng)。從整個(gè)趨勢(shì)圖分析，可靠度值隨著遷徙概率的增大而逐漸增大，主要原因?yàn)椋寒?dāng)固定遷徙概率大于0.4時(shí)，由于遷徙概率過(guò)高，導(dǎo)致原優(yōu)秀蝙蝠個(gè)體的特性發(fā)生改變，造成解的退化，降低了方法的全局搜索能力。當(dāng)固定遷徙概率取0.1～0.3時(shí)，EDBA的搜索結(jié)果非常接近，由于算法具有一定的隨機(jī)性，因此0.1，0.2，0.3均可作為固定遷徙概率的取值。通常情況下，固定遷徙概率取0.3。

圖3　固定遷徙概率對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響

下面分析音量衰減系數(shù)(α)、搜索頻率增強(qiáng)系數(shù)(γ)的具體取值，其中固定遷徙概率取0.3，分析‘音量衰減系數(shù)’時(shí)，搜索頻率增強(qiáng)系數(shù)取0.9；分析‘搜索頻率增強(qiáng)系數(shù)’時(shí)，音量衰減系數(shù)取0.9。

從圖4可以看出，隨著音量衰減系數(shù)和搜索頻率增強(qiáng)系數(shù)的不斷增大，可靠度逐漸減小，表明算法的全局搜索能力得到提高。音量衰減系數(shù)當(dāng)音量衰減系數(shù)取0.9時(shí)，優(yōu)化結(jié)果最優(yōu)。搜索頻率增強(qiáng)系數(shù)取0.4～0.9時(shí)，計(jì)算結(jié)果非常接近，取0.9時(shí)結(jié)果最優(yōu)。從二者的趨勢(shì)圖可以看出，音量衰減系數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響較搜索頻率大，其取值應(yīng)慎重。通常情況下，音量衰減系數(shù)和搜索頻率增強(qiáng)系數(shù)均取0.9。

圖4　音量衰減系數(shù)和搜索頻率增強(qiáng)系數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響

由于EDBA在相同種群規(guī)模，不同進(jìn)化代數(shù)的情況下，搜索的全局最優(yōu)解不同，因此進(jìn)一步分析了“進(jìn)化代數(shù)”與“種群規(guī)?！钡南嗷リP(guān)系及其對(duì)EDBA優(yōu)化結(jié)果的影響，本文分別設(shè)定進(jìn)化代數(shù)為200，500，1 000，2 000，統(tǒng)計(jì)不同種群規(guī)模對(duì)應(yīng)的最優(yōu)結(jié)果，其他參數(shù)采用最優(yōu)組合值，同樣參數(shù)設(shè)置下，程序均運(yùn)行10次，以平均值作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)圖5。

圖5　種群規(guī)模對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響

由圖5可以得出，當(dāng)進(jìn)化代數(shù)一定時(shí)，隨著種群規(guī)模的增加，可靠度值不斷減小，表明EDBA的全局搜索能力提高。當(dāng)種群規(guī)模取10，20時(shí)，進(jìn)化代數(shù)2 000的收斂精度明顯優(yōu)于進(jìn)化代數(shù)200，500，1 000時(shí)的收斂精度。當(dāng)種群規(guī)模大于40時(shí)，進(jìn)化代數(shù)500，1 000，2 000的收斂精度非常接近。當(dāng)種群規(guī)模大于80時(shí)，不同進(jìn)化代數(shù)的收斂精度均十分接近，表明當(dāng)種群規(guī)模達(dá)到一定程度時(shí)，算法的收斂精度與種群規(guī)模大小無(wú)明顯關(guān)系。

綜合表5、表6、圖3、圖4和圖5分析，EDBA主要參數(shù)(最大進(jìn)化代數(shù)，種群規(guī)模、音量衰減系數(shù)、搜索頻率增強(qiáng)系數(shù)、固定遷徙概率)的最優(yōu)組合取值為(1 000，40，0.9，0.9，0.3)。

5.3算例2：Cannon壩

眾多學(xué)者對(duì)加拿大的Cannon壩的壩體穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行了研究[16]，斷面見(jiàn)圖6，表7所示為各土層參數(shù)，其中黏土層Ⅰ、Ⅱ的粘聚力c和內(nèi)摩擦角φ視為隨機(jī)變量，服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，見(jiàn)表8。

假定壩體在土層自重作用下發(fā)生破壞，隨機(jī)變量取均值，其他參數(shù)見(jiàn)表7，采用Bishop法計(jì)算壩體的安全系數(shù)為2.49。

圖6　Cannon 壩剖面圖

土層粘聚力c/kPa內(nèi)摩擦角φ/(°)重度/(kN/m3)黏土層Ⅰ/Ⅱ22濾砂器53522砂基礎(chǔ)51820填土53525石灰?guī)r2504626

表8　黏土層Ⅰ、Ⅱ的參數(shù)

該算例中，壩體的安全系數(shù)沒(méi)有顯示的功能函數(shù)，需要通過(guò)數(shù)值軟件進(jìn)行計(jì)算。在第一次迭代中，采用均勻設(shè)計(jì)法在[-3σ，3σ]選取15個(gè)樣本點(diǎn)。在后續(xù)迭代中，為了提高擬合精度，分別在[-σ，σ]和[-0.5σ，0.5σ]選取，GEP方法參數(shù)設(shè)置見(jiàn)表9，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表10。

表9　GEP方法參數(shù)設(shè)置表

表10　各方法計(jì)算邊坡可靠度結(jié)果對(duì)比

由表10可以看出，EDBA-GEP方法計(jì)算得到的可靠度指標(biāo)與ANN法的計(jì)算結(jié)果接近，誤差為2.63%，在允許的誤差范圍之內(nèi)；與SVM的誤差為6.97%，產(chǎn)生誤差的原因有：①計(jì)算安全系數(shù)所采用的方法不同；②計(jì)算可靠度的方法不同；③計(jì)算的模型尺寸略有差異。但對(duì)于邊坡工程來(lái)說(shuō)，這樣的誤差均在允許范圍之內(nèi)。

為檢驗(yàn)GEP方法對(duì)功能函數(shù)的擬合精度，在[-3σ，3σ]隨機(jī)取出20組數(shù)據(jù)，利用GEP方法在第一次迭代中擬合的函數(shù)，對(duì)這20組數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并與計(jì)算值進(jìn)行比較，結(jié)果見(jiàn)圖7。從圖7可以看出，在[-3σ，3σ]范圍內(nèi)，GEP方法的預(yù)測(cè)值較為精確，預(yù)測(cè)值較計(jì)算值的誤差均在8%以內(nèi)，最低0.79%；以驗(yàn)算點(diǎn)為中心，[-0.5σ，0.5σ]范圍內(nèi)隨機(jī)取出20組數(shù)據(jù)，利用GEP方法在最后一次迭代中的擬合函數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并與計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比，見(jiàn)圖8。從圖8可以看出，在驗(yàn)算點(diǎn)附近，GEP方法的擬合精度較[-3σ，3σ]內(nèi)有明顯提高，與計(jì)算值的誤差均在1%以內(nèi)。

圖7　GEP方法在全局范圍內(nèi)的擬合精度

圖8　驗(yàn)算點(diǎn)附近GEP方法擬合精度

6結(jié)論

(1)借鑒細(xì)菌覓食優(yōu)化算法中的遷徙操作，將其引入基本蝙蝠算法中，當(dāng)滿足操作條件時(shí)，隨機(jī)選擇一定數(shù)量的個(gè)體進(jìn)行遷徙操作，重新分配到尋優(yōu)空間中，該方法改善了蝙蝠算法的全局搜索能力，提高了方法的收斂速度、計(jì)算精度和穩(wěn)定性。

(2)利用GEP方法的函數(shù)擬合功能，和響應(yīng)面方法相結(jié)合，擬合邊坡極限狀態(tài)曲面，將隱式的功能函數(shù)顯式化，解決了傳統(tǒng)響應(yīng)面方法可能不收斂的問(wèn)題。

(3)EDBA-GEP方法結(jié)合了EDBA和GEP方法的各自優(yōu)點(diǎn)，對(duì)功能函數(shù)為顯式和隱式的邊坡可靠度計(jì)算問(wèn)題均能很好地解決，為邊坡可靠性分析提供了一種新方法。

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*收稿日期：2016-01-12修回日期：2016-03-12

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金應(yīng)急管理項(xiàng)目(41440021)；西部礦產(chǎn)資源與地質(zhì)工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金項(xiàng)目(310826151137); 陜西省科技計(jì)劃項(xiàng)目(s2012sF3082)

第一作者簡(jiǎn)介：賀子光(1987-)，男，河南焦作人，博士研究生，主要從事巖土工程計(jì)算與分析方面的研究.E-mail:hzg198762@163.com

中圖分類號(hào)：X43；P64；Tu457

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1000-811X(2016)03-0031-09

doi:10.3969/j.issn.1000-811X.2016.03.006

The Application of Bat Algorithm in Analysis of Slope Reliability

HEZiguang1,WUBo1,ZHAOFasuo1,CHENGZhenquan1,WANGBanqiao1andDUANZhao2

(1. College of Geology Engineering and Geomatics, Chang’an University, Xi’an 710054, China;2. College of Geology and Environment, Xi’an University of Science and Technique, Xi’an 710054, China)

Abstract:Based on geometrical character of reliability, we put forward using Bat Algorithm (BA) to calculate reliability of slope. In allusion to premature and low convergence precision of basic bat algorithm, by introducing elimination disperse operation in Bacterial Foraging Optimization Algorithm (BFOA) to the basic Bat Algorithm, it forms a Elimination Dispersal Bat Algorithm (EDBA), which can improve the global searching ability and convergence rate. The first example shows that EDBA has higher precision and fast convergence speed than basic BA and is good to solve the reliability analysis problem with complex, nonlinear performance function. For explicit performance function, this paper presents to use a new method comparing Bat Algorithm (BA) and gene expression programming (GEP) to calculate reliability of slope. It adopts GEP method to fit the limit state function of slope, structuring response surface methodology, and uses BA algorithm to solve reliability index and corresponding design points. Results of the second example show that, this method has good adapt ability to solve the reliability analysis problem with implicit performance function, and it is scientific and feasible and has a good application prospect.

Key words:gene expression programming (GEP); bat algorithm (BA); migration; response surface method (RSM); slope; reliabilit

賀子光，吳博，趙法鎖，等. 蝙蝠優(yōu)化算法在邊坡可靠性分析中的應(yīng)用[J]. 災(zāi)害學(xué)，2016，31(3)：31-38,53. [HE Ziguang, WU Bo, ZHAO Fasuo, et al.The Application of Bat Algorithm in Analysis of Slope Reliability[J].Journal of Catastrophology，2016，31(3)：31-38,53.]