張曉東

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思想訓(xùn)練營/思想方法

二次根式的“怪現(xiàn)象”
——二次根式中常見的數(shù)學(xué)思想方法

張曉東

二次根式是蘇科版數(shù)學(xué)八年級下冊中的內(nèi)容，一些同學(xué)在進行二次根式的運算中經(jīng)常會碰到一些“怪招”，它實質(zhì)是考查二次根式背后所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法.在學(xué)習(xí)二次根式時，我們要注意認清這些“怪現(xiàn)象”，養(yǎng)成“見招拆招”的好習(xí)慣，真正提高數(shù)學(xué)解題能力、掌握數(shù)學(xué)思想方法、認識數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)及精髓.

一、借用整式和分式的性質(zhì)及運算法則——類比轉(zhuǎn)化思想

二次根式是在學(xué)習(xí)了整式、分式以后的第三種數(shù)式.在進行二次根式的運算時，我們往往要用到整式運算和分式運算中的某些性質(zhì)及法則進行解決，這也是數(shù)學(xué)中把未知解的問題轉(zhuǎn)化為在已有知識范圍內(nèi)可解問題的一種重要的思想方法——類比思想.

【分析】本題中所謂的化簡就是對式子進行分母有理化，把分母上的二次根式化去.可以采用兩種方法進行：

解法一：

解法二：

“類比轉(zhuǎn)化”是數(shù)學(xué)中的一種重要思想，即把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題.在初中數(shù)學(xué)中，轉(zhuǎn)化思想始終貫穿于整個學(xué)習(xí)過程.

二、計算時整體代入比單獨代入簡單——整體思想

【分析】本題是求代數(shù)式值的問題，常規(guī)方法是代入計算，但本題中所給兩字母是互為有理化因式，它們的和、差、積這些整體的值是比較簡單的數(shù)字，所以用整體代入要比單獨代入的方法更好.

∴a+b=-2，ab=-1.

∴a3b+ab3=ab（a2+b2）=ab［（a+b）2-2ab］=-1×（4+2）=-6.

整體思想是從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題整體結(jié)構(gòu)的分析，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進行有目的、有意識的整體處理.

三、二次根式計算與絕對值的聯(lián)系——分類討論思想

數(shù)學(xué)思想是人們對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認識，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對數(shù)學(xué)的認識過程中提煉升華的數(shù)學(xué)觀點，在人類認識活動中被反復(fù)運用，帶有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)模型和解決數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想.如果同學(xué)們能充分掌握數(shù)學(xué)思想，那么不僅能提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問題的能力，而且也能從題海中走出來，通過歸納總結(jié)真正掌握數(shù)學(xué)知識.

作者單位：（江蘇省太倉市沙溪實驗中學(xué)）