柏黎平

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知識學(xué)習(xí)園/概念透析

解讀二次根式

柏黎平

根據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，二次根式屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，是對“實數(shù)”“代數(shù)式”等內(nèi)容的延伸和補充.此部分內(nèi)容是同學(xué)們后續(xù)學(xué)習(xí)的理論基礎(chǔ)，在初中數(shù)學(xué)中占有重要地位.二次根式的主要概念包括：二次根式的定義、什么是最簡二次根式和同類二次根式.數(shù)學(xué)概念是我們平時解題的基礎(chǔ)，建議同學(xué)們結(jié)合實例來理解這些概念.

1.二次根式

【解讀】二次根式與我們之前學(xué)習(xí)的代數(shù)式不一樣，不能簡單地把它理解為帶根號的式子或者開平方運算，這里的a可以是一個數(shù)或字母，也可以是一個代數(shù)式.解題時要有整體的思想，要特別注意概念中的隱含條件：被開方數(shù)和二次根式本身都具有非負(fù)性.

解：由題意可得x+3≥0，解得x≥-3.

考慮到二次根式的非負(fù)性，

∴x2-y2=（-1）2-42=-15.

【說明】利用二次根式概念解決問題時，關(guān)鍵在于對概念中兩個非負(fù)性的理解，將問題轉(zhuǎn)化為列方程（不等式組）是常見的思路.

2.最簡二次根式

一般地，化簡二次根式就是使二次根式：

（1）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；

（2）被開方數(shù)中不含分母.

這樣化簡后得到的二次根式叫做最簡二次根式.

【解讀】第（1）條指被開方數(shù)中的每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都要小于根指數(shù)2，如果被開方數(shù)是多項式，要先因式分解，再進行判斷；第（2）條指被開方數(shù)中必須是整數(shù)或整式，需要指出的是當(dāng)被開方數(shù)是小數(shù)時要將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)再進行化簡.另外當(dāng)分母上出現(xiàn)根號時，也要將分母中的根號化去，教材第8頁和第9頁中給出了具體的化簡方法.在進行二次根式的運算時，一定要檢查結(jié)果，直至得到最簡二次根式為止.

例3化簡：

3.同類二次根式

經(jīng)過化簡后，被開方數(shù)相同的二次根式，叫做同類二次根式.

【解讀】同類二次根式可以類比同類項的知識學(xué)習(xí)，但前提是要將二次根式化為最簡二次根式.二次根式加減運算的實質(zhì)就是合并同類二次根式 （類似于合并同類項），同學(xué)們在具體運算時一定要先化簡，找到同類二次根式再進行加減運算.

解：由題意得3a-8=17-2a，解得：a=5.

經(jīng)檢驗符合題意，∴a=5.

【說明】例5中，前提是最簡二次根式且可以合并，所以被開方數(shù)應(yīng)該相同.解完后求出的a值要代入兩個二次根式檢驗被開方數(shù)是否非負(fù).

作者單位：（江蘇省太倉市雙鳳中學(xué)）