卜兵　趙瑛（吉林化工學院 理學院，吉林 吉林 132022）

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兩種求多元復合函數(shù)偏導數(shù)方法的分析比較*

卜兵趙瑛
（吉林化工學院 理學院，吉林 吉林 132022）

摘要：針對用傳統(tǒng)方法在求解多元復合函數(shù)偏導數(shù)比較繁瑣的情況，將代數(shù)學中的矩陣知識與多元復合函數(shù)求偏導有機結(jié)合，提高了運算效率。

關(guān)鍵詞：偏導數(shù)；鏈式法則；雅克比矩陣

多元復合函數(shù)求偏導在數(shù)學分析課程的教學中既是重點又是難點［1］，也是歷年研究生入學考試里的常考知識點。眾多學者對該問題進行了研究［2-6］。我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學、信息與計算科學兩個數(shù)學專業(yè)的學生在該知識點的學習和應(yīng)用中，對較抽象及結(jié)構(gòu)復雜的多元復合函數(shù)進行求偏導數(shù)時，容易因遺漏某些連鎖環(huán)節(jié)而出錯。

針對以上問題，我們嘗試從多角度去講解該知識點，將高等代數(shù)中的矩陣理論引入到實際教學環(huán)節(jié)中，分析比較傳統(tǒng)做法和新方法的不同之處，教學效果得到顯著提升，切實做到了在課程教學中培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力［7，8］，促進了數(shù)學分析省優(yōu)課的課程建設(shè)。下面就從求多元復合函數(shù)的一階、二階偏導數(shù)的傳統(tǒng)方法和矩陣方法兩個角度分析比較。

一、多元復合函數(shù)一階偏導數(shù)的兩種求法

在數(shù)學分析教材中關(guān)于復合函數(shù)求偏導數(shù)有以下結(jié)論，即“鏈式法則”：

定理1［9］：若函數(shù)x=φ（s，t），y=Ψ（s，t）在點（s，t）∈D可微，z=f （x，y）在點（x，y）=（φ（s，t），Ψ（s，t））可微，則復合函數(shù)z=f（φ（s，t），Ψ（s，t））在點（s，t）可微，且它關(guān)于s與t的偏導數(shù)分別為

該定理是求解多元復合函數(shù)偏導數(shù)的理論依據(jù)。

例1.復合函數(shù)u（s，t）由u=f（x，y，z，t）x=φ（z，s），y=Ψ（x，s，t），z=w（s，t），復合而成，且f，φ，Ψ，w為可微函數(shù)，求

該函數(shù)的復合關(guān)系比較復雜，由四次復合運算得到：

第一步，將y=Ψ（x，s，t）代入得u=f（x，Ψ（x，s，t）z，t，

第二步，將x=φ（z，s）代入得u=f（φ（z，s），Ψ（φ（z，s），s，t），z，t），

第三步，將z=w（s，t）代入得u=f（φ（w（s，t），s），Ψ（φ（w（s，t），s），s，t），w（s，t），t）從而畫出“路徑圖”如圖1。

圖1

由這個結(jié)構(gòu)圖，可以看出，復合過程共有四個層次，第一層有四個中間變量x，y，z，t，它們通過f與u相關(guān)聯(lián)；第二層有四個中間變量x，z，s，t，它們通過x=x，Ψ，z=z，t=t與x，y，z，t相關(guān)聯(lián)；第三層有三個中間變量z，s，t，它們通過φ，z=z，s=s，t=t分別與x，z，s，t相關(guān)聯(lián)；第四層有兩個自變量s，t，它們通過w，s=s，t=t分別與z，s，t相關(guān)聯(lián)。

方法一：鏈式法則。

1.先找出圖中u到s的所有軌道（6條）：

圖1

2.寫出每條軌道所對應(yīng)偏導數(shù)分量：

3.將上面所有分量相加便得到

軌道法的優(yōu)點是條理清楚。注意不要漏數(shù)軌道數(shù)，習慣上看從起點u終點s有多少條通道即是軌道數(shù)。類似地可以求出

方法二：矩陣法。

寫出相鄰兩層變量之間的關(guān)系矩陣，即它們之間的雅克比矩陣，再將這些矩陣依次相乘，即得到偏導數(shù)的矩陣表示。這種方法的好處是可以一下子求出所有偏導數(shù)，并且可以用代數(shù)的方法對偏導數(shù)進行計算與討論，而不必每次去數(shù)軌道的個數(shù)。本例中的關(guān)聯(lián)矩陣依次為：

由此即得

利用矩陣乘積求得

比較上面兩種方法，第一種方法完全按照“鏈式法則”求解得到，學生在求解時容易數(shù)錯軌道數(shù)導致計算錯誤，而且在求兩個偏導數(shù)的過程中要分開算，步驟重復；第二種方法利用關(guān)聯(lián)矩陣處理思路清晰，結(jié)構(gòu)簡潔，能一次求得兩個偏導數(shù)。

二、多元復合函數(shù)二階偏導數(shù)的兩種求法

方法一：鏈式法則。

圖2

先求得兩個一階偏導數(shù)

接著求二階偏導數(shù)

先求

在計算過程中應(yīng)當注意到f1'，f2'，f3'是以u，v，w為中間變量的復合函數(shù)，再次利用軌道法求，畫出“路徑圖”如圖3。

圖3

類似的算出

在計算過程中應(yīng)當注意到f1'，f2'，f3'是以u，v，w為中間變量的復合函數(shù)，再次利用軌道法求，利用圖3。

類似地算出

方法二：矩陣法。

寫出f關(guān)于u，v，w的黑塞矩陣Hf，關(guān)于u，v，w，z的黑塞矩陣Hu，Hv，Hw，Hz，u，v，w關(guān)于x，y的雅克比矩陣A分別是：

從而由公式［10］

展開得

比較上面兩種方法，第一種方法多次使用“鏈式法則”，計算過程重復；第二種方法利用代數(shù)方法來處理復合函數(shù)的二階偏導數(shù)顯得更為簡潔。

三、結(jié)束語

在求多元復合函數(shù)偏導數(shù)時，利用“鏈式法則”能將復雜的復合結(jié)構(gòu)清晰的呈現(xiàn)出來，層次感非常直觀，學生容易接受，但是在處理多次復合時容易出錯；利用矩陣來處理該類問題則相對快捷高效。在教學過程中注重將數(shù)學分析和高等代數(shù)兩大基礎(chǔ)課之間建立聯(lián)系，是我們在教學過程中注重培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識的體現(xiàn)，為了更好地教好數(shù)學分析這門課程，我們?nèi)握n教師任重而道遠。

參考文獻

［1］王錦森，馬知恩.工科數(shù)學分析基礎(chǔ)（第2版）［M］.北京：高等教育出版社，2006.

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［9］華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（第4版）［M］.北京：高等教育出版社，2010.

［10］毛羽輝，韓士安，吳畏.數(shù)學分析（第四版）學習指導書［M］.北京：高等教育出版社，2012.

中圖分類號：O174

文獻標志碼：A

文章編號：2096-000X（2016）13-0092-03

*基金項目：吉林化工學院2014年校級教研項目

作者簡介：卜兵（1982-），男，江蘇省泰興市人，吉林化工學院助教，碩士，主要從事數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學方面的研究工作。

Abstract：According to the situation that partial derivative is complicated in solving complex function in the traditional method，matrix and multiple function in algebra knowledge is combined in the partial derivative organic，which improves the efficiency of operations.

Keywords：partial derivative；chain rule；Jacobian matrix