李麗芳　杜娟　宋慶鳳（天津城建大學(xué) 理學(xué)院，天津 300384）

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微分中值定理的高階形式*

李麗芳杜娟宋慶鳳
（天津城建大學(xué) 理學(xué)院，天津 300384）

摘要：文章使用數(shù)值分析中多項(xiàng)式插值理論將微分中值定理推廣到更為廣泛的高階形式，打破了須已知函數(shù)在區(qū)間等分點(diǎn)上的函數(shù)值的限制，并用差商形式更為簡潔地表示出高階微分中值定理，給出了新的證明方法。

關(guān)鍵詞：微分中值定理；高階；插值；差商

引言

微分中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間的整體性質(zhì)與其在該區(qū)間內(nèi)部某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，是微分應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，在微積分理論中占有極其重要的地位，因而一直以來都是人們研究的熱門課題。文獻(xiàn)［1］利用數(shù)學(xué)歸納法將微分中值定理作了推廣；文獻(xiàn)［2］利用向量形式的微分中值定理，將微分中值定理推廣到了高階形式；文獻(xiàn)［3］給出了高階微分中值定理的一般形式；文獻(xiàn)［4-6］引用了高階微分中值定理的形式并對它們進(jìn)行了不同角度的探討。文章致力于使用多項(xiàng)式插值法理論將微分中值定理推廣到更為廣泛的高階形式，用差商表示出高階Lagrange中值定理與高階Cauchy中值定理，并給出新的證明方法。

首先，簡要介紹一下文章將涉及到的多項(xiàng)式插值理論［7］。

設(shè)已知函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b］上一系列互異節(jié)點(diǎn)a=x0＜x1＜…＜xn=b處的函數(shù)值f（xi），i=0，1…，n，則存在惟一n次多項(xiàng)式p（x）滿足：p（xi）=f（xi），i=0，1，…，n。

（2）取Nn（x）=f（x0）+（x-x0）f［x0，x1］+…+（x-x0）（x-x1）…（x-xn-1）f［x0，x1，…，xn］

其中f［x0，x1，…，xk］為f（x）關(guān)于節(jié)點(diǎn)x0，x1，…，xk的k階差商，則Nn（x）是n次多項(xiàng)式且滿足：Nn（xi）=f（xi），i=0，1…，n，稱Nn（x）為f（x）的Newton插值多項(xiàng)式。

差商性質(zhì)：f（x）的n階差商f［x0，x1，…，xn］可表示為f=（x0），f（x1），…，f（xn）的線性組合其中

一、高階Lagrange中值定理

定理1設(shè)f（x）∈cn-1［a，b］，f（n）（x）在（a，b）內(nèi)存在x0，x1，…，xn，是區(qū)間（a，b）上任意n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)，則存在ξ∈（a，b），使得f（n）（ξ）=n！f［x0，x1，…，xn］。

證明：設(shè)Nn（x）為f（x）的Newton插值多項(xiàng)式，即

Nn（x）=f（x0）+（x-x0）f［x0，x1］+…+（x-x0）（x-x1）…（x-xn-1）f［x0，x1，…，xn］

令φ（x）=f（x）-Nn（x），則φ（xi）=0，i=0，1…n，連續(xù)n次使用Rolle中值定理得，存在ξ∈（a，b），使得φ（n）（ξ）=f（n）（ξ）-Nn（n）（ξ）=0，而N（n）（x）= n！f［x0，x1，…，xn］，故f（n）（ξ）=n！f［x0，x1，…，xn］。

若僅取兩個(gè)節(jié)點(diǎn)x0=a，x1=b，則得Lagrange中值公式：f，因此，定理1是Lagrange中值定理的推廣。

由上述差商性質(zhì)立即可得下列推論1。

推論1設(shè)f（x）∈cn-1［a，b］，f（n）（x）在（a，b）內(nèi)存在，x0，x1，…，xn是區(qū)間［a，b］上任意n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)，則存在ξ∈（a，b）使得若取節(jié)點(diǎn)x0，x1，…，xn為區(qū)間［a，b］的等分點(diǎn)，即由推論1，于是可得下列推論2。

推論2設(shè)f（x）∈cn-1［a，b］，fn（x），在（a，b）內(nèi)存在，則存在ξ∈（a，b），使得

二、高階Cauchy中值定理

定理2設(shè)f（x），g（x）∈cn-1［a，b］，f（n）（x），g（n）（x）在（a，b）內(nèi)存在，且對任一x∈（a，b），g（n）（x）≠0，x0，x1，…，xn是區(qū)間［a，b］上任意n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)，則存在ξ∈（a，b）使得

證明：首先根據(jù)定理1，存在η∈（a，b），使得g［x0，x1，…，xn］=η！g（n）（η）≠0，故（*）式有意義。

設(shè)hi（x）（i=0，1，…n）是過點(diǎn)（xk，g（xk））（k=0，1，…，n且k≠i）的關(guān)于g（x）的n-1次Lagrange插值多項(xiàng)式，由上述多項(xiàng)式插值理論，

顯然對一切i，g（xi）-hi（xi）≠0且

連續(xù)n次使用Rolle中值定理得，存在ξ∈（a，b）使得F（n）（ξ）=0，即注意到hi（n）（ξ）=0，得，亦即

于是，

若僅取兩個(gè)節(jié)點(diǎn)x0=a，x1=b，則得Cauchy中值公式：

因此，定理2推廣了Cauchy中值定理。

推論3設(shè)f（x），g（x）∈cn-1［a，b］，f（n）（x），g（n）（x）在（a，b）內(nèi)存在，且對任一x∈（a，b），g（n）（x）≠0，則存在ξ∈（a，b）使得

文章推論2，推論3正是文獻(xiàn)［1-6］介紹的高階Lagrange中值定理與高階Cauchy中值定理。

參考文獻(xiàn)

［1］杜家祥.柯西中值定理與拉格朗日中值定理的高階形式［J］.淮北煤師院學(xué)報(bào)，2001，22（4）：68-70.

［2］洪勇.高階微分中值定理及其應(yīng)用［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1998，21（6）：620-623.

［3］匡繼昌.高階微分中值定理［J］.北京教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，9（3）：1-5.

［4］周曉中.動(dòng)態(tài)區(qū)間上高階Cauchy微分中值“中間點(diǎn)”的漸進(jìn)性［J］.商丘師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，21（2）：67-68.

［5］姜國晶，郝金彪.關(guān)于高階微分中值公式的幾點(diǎn)注記［J］.遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)，1992，15（1）：74-76.

［6］李文娟.柯西中值定理的逆問題及漸進(jìn)性［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2014，44（22）：293-298.

［7］熊洪允，曾紹標(biāo)，毛云英.應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第四版）下冊［M］.天津：天津大學(xué)出版社，2010.

中圖分類號：O174

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：2096-000X（2016）13-0259-02

*基金項(xiàng)目：天津城建大學(xué)教育教學(xué)改革與研究項(xiàng)目（JG-1321）

作者簡介：李麗芳（1979-），女，山西長治人，天津城建大學(xué)數(shù)學(xué)系，講師，碩士學(xué)位，研究方向：常微分方程。

Abstract：In this paper，the differentialmeanvaluetheoremisextendedtoawiderrange of higher order form by using the theory of polynomialinterpolationinnumericalanalysis.It has broken the limitation of the functionvalues known in theintervalbisectionpoint，andmoresuccinctlyexpressedhigherorderdifferentialmeanvaluetheoremusingthedifference quotient forms.Meanwhile，the new proofmethodispresented.

Keywords：differential mean value theorem；higher order；interpolation；difference quotient