王艷杰，閆玥岑，鄧　雪，蘇亞坤*，

(1.渤海大學(xué) 大學(xué)基礎(chǔ)教研部，遼寧 錦州 121013； 2.渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，遼寧 錦州 121013；3.渤海大學(xué) 管理學(xué)院，遼寧 錦州 121013)

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時(shí)變時(shí)滯的隨機(jī)系統(tǒng)的L2-L∞濾波分析問題

王艷杰1，閆玥岑2，鄧雪3，蘇亞坤*，2

(1.渤海大學(xué) 大學(xué)基礎(chǔ)教研部，遼寧 錦州 121013； 2.渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，遼寧 錦州 121013；3.渤海大學(xué) 管理學(xué)院，遼寧 錦州 121013)

摘要：研究了帶有時(shí)變時(shí)滯的隨機(jī)系統(tǒng)的L2-L∞濾波設(shè)計(jì)問題.選取適當(dāng)?shù)腖yapunov 泛函，引用自由權(quán)矩陣的方法，基于線性矩陣不等式的可解性提出了時(shí)滯相關(guān)的濾波器設(shè)計(jì)的充分條件.

關(guān)鍵詞：L2-L∞濾波；線性矩陣不等式；隨機(jī)系統(tǒng)；時(shí)滯

0引言

近年來，L2-L∞濾波受到了越來越多學(xué)者的關(guān)注，并且取得了豐碩的研究成果〔1-5〕,如在文獻(xiàn)〔5〕中提到了通過建立適當(dāng)?shù)腖yapunov泛函,研究了帶有常時(shí)滯的隨機(jī)系統(tǒng)的L2-L∞濾波設(shè)計(jì)問題.

本文研究了帶有時(shí)變時(shí)滯的隨機(jī)系統(tǒng)的L2-L∞濾波設(shè)計(jì)問題.通過引用自由權(quán)矩陣，結(jié)合矩陣解耦及Schur補(bǔ)引理的方法，基于線性矩陣不等式的可解性提出了帶有時(shí)變時(shí)滯的隨機(jī)系統(tǒng)的L2-L∞濾波設(shè)計(jì)方法，使其應(yīng)用更廣泛.

1問題描述

考慮如下隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)：

(1)

其中x(t)∈Rn代表狀態(tài)向量；v(t)∈Rp代表擾動(dòng)輸入且v(t)∈L2[0,∞)；y(t) ∈Rm是測(cè)量輸出；z(t)∈Rq是可估信號(hào)；ω(t)是一維布朗運(yùn)動(dòng)，滿足

ε{dω(t)}=0,ε{dω(t)2}=dt

對(duì)(∑)系統(tǒng)，考慮下面的線性濾波器：

(2)

其中x(t)∈Rn是濾波狀態(tài)，Af,Bf,Cf是需要設(shè)計(jì)的具有適當(dāng)維數(shù)的濾波器矩陣.

令

綜合(1-2)，可得如下濾波誤差系統(tǒng)：

(3)

其中

2主要結(jié)果

這部分將為隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)與時(shí)滯相關(guān)的L2-L∞濾波器，為此，首先提出了以下的結(jié)果：

定理1考慮隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)(∑).對(duì)于給定的標(biāo)量γ>0，τ0>0，若存在矩陣P>0,Q>0,Z>0,M,H,使得下列線性矩陣不等式(4)成立，則稱濾波誤差系統(tǒng)(∑2)在任意的0≤τ(t)≤τ0下均方漸近穩(wěn)定，并且滿足L2-L∞濾波抑制條件：E{‖e‖∞}≤γ‖v‖2(γ>0,v∈L2〔0,∞)).

(4)

其中

(5)

證明在定理的條件下，首先證明誤差系統(tǒng)的隨機(jī)漸近穩(wěn)定性，為此，我們考慮當(dāng)v(t)=0時(shí)，

(6)

構(gòu)造如下Lyapunov-Krasovskii泛函：

(7)

其中

(8)

通過伊藤微分公式，得

(9)

其中

(10)

記

ηT(t,α)=[ζT(t)ζT(t-τ(t))KTφT(α)KT]T

可以得到

其中

注意到

(11)

通過(9-11)可推出

通過(4)得到

通過Schur補(bǔ)引理給出

意味著

(12)

應(yīng)用Schur補(bǔ)引理，得到

Ψ<0

(13)

下一步，考慮濾波誤差系統(tǒng)L2-L∞性能指標(biāo)，為此，在零初始條件下很容易看出

同樣構(gòu)造如(7)的Lyapunov-Krasovskii泛函并定義

其中t>0，可以得到

其中

φ(α)=Ax(α)+A1x(α-τ(t))+A2v(α)

對(duì)(4)應(yīng)用Schur補(bǔ)引理，可以得到

J(t)<0

這意味著

通過Schur補(bǔ)引理，可以看出(5)滿足

因此

由此說明不等式(5)成立，則濾波誤差系統(tǒng)(∑2)滿足L2-L∞性能指標(biāo).

現(xiàn)在，利用文獻(xiàn)〔5〕類似的方法，給出L2-L∞濾波器時(shí)滯相關(guān)的充分條件.

定理2給定一個(gè)標(biāo)量γ>0和隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)(∑).如果存在矩陣R>0,Q>0,Z>0,X>0.R1,R2,M,V,H滿足以下線性矩陣不等式，則稱L2-L∞濾波問題是可以解決的.

(14)

(15)

其中：

Δ1=RA+ATR+Q-M-MT

Δ2=RA+ATX+CTVT+R1+Q-M-MT

Δ3=XA+VC+ATX+CTVT+Q-M-MT

在此情況下，形如(2)的濾波器參數(shù)設(shè)計(jì)為

(16)

其中X1,Y1是任意的非奇異矩陣，滿足

(17)

3結(jié)論

研究了帶有時(shí)變時(shí)滯的L2-L∞濾波設(shè)計(jì)問題，通過構(gòu)建適當(dāng)?shù)腖yapunov泛函，運(yùn)用線性矩陣不等式，Schur引理，自由權(quán)矩陣以及矩陣解耦的方法，基于線性矩陣不等式得到了時(shí)滯相關(guān)的濾波器設(shè)計(jì)的充分條件.

參考文獻(xiàn)：

〔1〕ZHANG B,LI Y.Exponential L2-L∞filtering for distributed delay systems with Markovian jumping parameters〔J〕.Signal Processing,2013,93(1): 206-216.

〔2〕KCHAOU,MOURAD,MANSOUR S,et al.Delay‐dependent stability and robust L2-L∞control for a class of fuzzy descriptor systems with time‐varying delay〔J〕.International Journal of Robust and Nonlinear Control，2013，23(3): 284-304.

〔3〕HUANG J,SHI Y,HUANG H,et al.L2-L∞filtering for multirate nonlinear sampled-data systems using TS fuzzy models〔J〕.Digital Signal Processing,2013,23(1): 418-426.

〔4〕CUI Y.L2-L∞Consensus control for high‐order multi‐agent systems with nonuniform time‐varying Delays〔J〕.Asian Journal of Control,2014,16(6): 1751-1759.

〔5〕XIA J,XU S,SONG B.Delay-dependent L2-L∞filter design for stochastic time-delay systems〔J〕.Systems & Control Letters,2007,56(9): 579-587.

L2-L∞filter design for stochastic system with time-varying delay

WANG Yan-jie1,YAN Yue-cen2,DENG Xue3,SU Ya-kun2

(1.Department of basic teaching,Bohai University,Jinzhou 121013,China;2.College of Mathematics and Physics,Bohai University,Jinzhou 121013,China;3.School of Management ,Bohai University,Jinzhou 121013,China;)

Abstract：The problem of L2-L∞filter design for stochastic system with time-varying delay is discussed in this paper.By adopting a suitable Lyapunov functional and introducing free-weighting matrix,a sufficient condition of delay-dependent L2-L∞filter design was given by linear matrix inequality(LMI).

Key words：L2-L∞filter； linear matrix inequality(LMI)； stochastic system; delay

收稿日期：2015-01-18.

基金項(xiàng)目：教育部人文社會(huì)科學(xué)規(guī)劃基金項(xiàng)目(No:12YJA630023).

作者簡(jiǎn)介：王艷杰(1979-)，女，講師，主要從事最優(yōu)化理論及算法方面的研究.

通訊作者：380594753@qq.com.

中圖分類號(hào)：TP13

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1673-0569(2016)02-0160-06