侯小燕 薛文濤 張 晨

江蘇科技大學(xué)， 鎮(zhèn)江 212003

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基于浸入與不變的氣動彈性系統(tǒng)反演滑?？刂?

侯小燕 薛文濤 張 晨

江蘇科技大學(xué)， 鎮(zhèn)江 212003

針對外部擾動不確定的機翼氣動彈性顫振問題，提出一種基于系統(tǒng)浸入與流形不變的自適應(yīng)反演滑?？刂品椒āＪ紫冉⒘藥щp控面和不確定外部擾動的氣動彈性系統(tǒng)模型。然后結(jié)合反演和滑?？刂评碚撛O(shè)計了自適應(yīng)Super-twisting反演滑?？刂破?，其中自適應(yīng)擾動估計的設(shè)計采用浸入與不變方法，在系統(tǒng)整體自適應(yīng)律中加入額外補償項并建立擾動估計誤差流形，通過自適應(yīng)律的設(shè)計來保證誤差流形的不變及吸引，從而保證擾動估計誤差的收斂。最后對設(shè)計的控制系統(tǒng)進行了Lyapunov穩(wěn)定性證明和仿真。結(jié)果表明，利用該方法設(shè)計的控制器外部擾動估計準(zhǔn)確，翼段浮沉位移和俯仰角的控制優(yōu)于傳統(tǒng)的自適應(yīng)滑模控制，氣動彈性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自適應(yīng)性有所提高。 關(guān)鍵詞 氣動彈性機翼；浸入與不變；反演；自適應(yīng)；Super-twisting；滑?？刂?/p>

飛行器的氣動彈性問題是氣動力、彈性力和慣性力相互作用的結(jié)果，包括機翼顫振、操縱面嗡鳴及抖振等現(xiàn)象[1-3]。氣動彈性系統(tǒng)的非線性也可能導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象、極限環(huán)、模態(tài)交互和其它現(xiàn)象。顫振是一種復(fù)雜的非線性不穩(wěn)定現(xiàn)象，包括極限環(huán)振蕩、分岔和混沌運動等。顫振將嚴(yán)重影響飛行器的正常運行，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)疲勞甚至翼段損壞，由此可見，進行精確的非線性估計和相關(guān)的顫振主動抑制至關(guān)重要。

近年來，許多非線性氣動彈性顫振的分析和控制技術(shù)取得了較大進展。例如,反饋線性化、極點配置、滑模和自適應(yīng)方法等已嘗試應(yīng)用于機翼氣動彈性系統(tǒng)的控制，并取得了一定的成果[4-7]。文獻[8]采用反饋線性化策略對具有浮沉和俯仰角多項式的非線性二元機翼進行顫振抑制，并通過風(fēng)洞實驗驗證了其有效性。文獻[9]通過在線求解依賴于狀態(tài)變量的Riccati方程來確定控制器，從而解決了非線性氣動彈性模型的顫振問題。文獻[10]設(shè)計了一種自適應(yīng)模糊滑模解耦控制器，基于解耦系統(tǒng)的狀態(tài)變量設(shè)計了2個滑模面，采用2個單獨的輸入實現(xiàn)浮沉位移和俯仰角的同步控制。然而這些方法對存在外部擾動的氣動彈性系統(tǒng)自適應(yīng)能力較差，僅能在一定程度上削弱外部擾動對系統(tǒng)的影響。文獻[11]針對高音速顫振系統(tǒng)設(shè)計了一種自適應(yīng)模糊滑模主動控制器，采用模糊方法來估計系統(tǒng)的非線性動態(tài)特性，并設(shè)計了自適應(yīng)律和主動控制律來保證外部擾動下系統(tǒng)跟蹤誤差的快速收斂和其它信號的一致有界，該方法通過系統(tǒng)不確定估計提高了系統(tǒng)的魯棒性，但系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)速度和參數(shù)估計精度有待進一步提高。

滑?？刂凭哂休^強的魯棒性[12-13]，其滑動模態(tài)可以自由設(shè)計且與對象參數(shù)和擾動無關(guān)，但傳統(tǒng)滑模由于控制量的不連續(xù)切換在實際應(yīng)用中受限，這種不理想切換將導(dǎo)致系統(tǒng)抖振。反演法[14-15]不存在抖振現(xiàn)象，是一種嚴(yán)格收斂和基于Lyapunov函數(shù)的反步遞推法，在增強系統(tǒng)的魯棒性方面具有較大的靈活性。本文將兩者結(jié)合進行氣動彈性系統(tǒng)控制器的設(shè)計。

此外，自適應(yīng)控制也常用于具有較多不確定因素和外部擾動的氣動彈性系統(tǒng)。文獻[16-17]提出了基于浸入與不變的自適應(yīng)控制方法和參數(shù)估計方法，在系統(tǒng)參數(shù)估計律中引入額外補償項來增加設(shè)計的自由度，對系統(tǒng)的未知參數(shù)進行估計，并使參數(shù)估計誤差一致穩(wěn)定收斂。浸入與不變通過保持流形的不變與吸引從而保證整個系統(tǒng)的穩(wěn)定，將該思想應(yīng)用于系統(tǒng)參數(shù)的估計上，相比傳統(tǒng)的基于等價原則的自適應(yīng)控制方法多出一額外補償項，使系統(tǒng)參數(shù)的估計由原來的積分作用轉(zhuǎn)化為比例積分作用，從而提高了參數(shù)估計的靈活性，改善了非線性自適應(yīng)系統(tǒng)的控制性能。

針對帶有不確定外部擾動的非線性氣動彈性系統(tǒng)，本文將浸入與不變和滑?？刂葡嘟Y(jié)合，提出一種基于浸入與不變的自適應(yīng)反演滑?？刂品椒?。利用浸入與不變方法進行未知擾動估計來削弱外部擾動對系統(tǒng)的影響，反演滑模則采用反步遞推設(shè)計了Super-twisting滑模控制器，克服了未知擾動估計偏差，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，最后對設(shè)計的控制系統(tǒng)進行了仿真分析。

1 氣動彈性系統(tǒng)建模

機翼氣動彈性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)[18]如圖1所示，根據(jù)氣動彈性系統(tǒng)理論，以前副翼偏轉(zhuǎn)角γ、后副翼偏轉(zhuǎn)角β為控制輸入，翼段浮沉位移h、俯仰角α為系統(tǒng)輸出，建立系統(tǒng)運動方程如式(1)所示。本文采用滑模主動控制，通過前后副翼偏轉(zhuǎn)角γ和β來控制翼段浮沉位移和俯仰角平穩(wěn)輸出，從而實現(xiàn)彈性機翼的顫振抑制。

圖1 機翼氣動彈性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

(1)

式中，b為機翼半弦長，mt為主翼和控制部分的總質(zhì)量，mw為主翼的質(zhì)量，Iα為機翼慣性矩，xα是質(zhì)心到彈性軸的無量綱距離，ch和cα分別為浮沉位移和俯仰角阻尼系數(shù)，kh和kα(α)分別為浮沉位移和俯仰角的彈簧剛度系數(shù)，L和M分別為氣動力和力矩。這里kα(α)用以下非線性多項式表示：

αkα(α)=k1α+k2α3

(2)

引入非定長氣動力和力矩公式[18]：

ρU2bclβspβ+ρU2bclγspγ

(3)

(4)

本實驗的模型在對稱機翼機構(gòu)條件下，cmα=0，適用于低頻、亞音速飛行條件。

為了方便起見，取c1=ρU2bsp，c2=ρU2b2sp，將式(3)改寫為如下形式：

c1clββ+c1clγγ

(5)

定義狀態(tài)變量和系統(tǒng)輸出：

y=[y1,y2]Τ=[x1,x2]Τ。

將式(3)代入式(1)，并改寫為狀態(tài)空間方程：

(6)

cαnon1=-mtk2,

c1mwxαbclα(1/2-a)b(1/U)-cαmt,

ch1=khmwxαb,

cαnon2=mwxαbk2,

c1Iαclα(1/2-a)b(1/U)+cαmwxαb,

ch2=-khIα,

2 基于浸入與不變的自適應(yīng)反演滑?？刂?/h2>

(7)

(8)

相比傳統(tǒng)自適應(yīng)控制，在自適應(yīng)律中加入了額外補償函數(shù)β1(x1,x3)和β2(x2,x4)，它的引入將使整體擾動估計由積分轉(zhuǎn)換為比例積分，從而增加了擾動估計律設(shè)計的靈活性。整體自適應(yīng)律不僅受擾動估計自適應(yīng)率影響，也與額外補償項β1(x1,x3),β2(x2,x4)有關(guān)。

設(shè)計Lyapunov函數(shù)：

(9)

(10)

設(shè)計滑動面：

(11)

(12)

根據(jù)滑模理論設(shè)計包含Super-twisting項的二階滑?？刂破鳎?/p>

(13)

現(xiàn)在只需設(shè)計擾動估計自適應(yīng)律w1,w2及額外補償項β1(x1,x3),β2(x2,x4)，使流形保持不變和吸引。對擾動誤差式(8)求導(dǎo)得：

(14)

選取擾動估計自適應(yīng)律w1,w2如下：

(15)

將其代入擾動估計誤差導(dǎo)數(shù)式(14)得：

(16)

對于式(16)，取Lyapunov函數(shù)：

(17)

(18)

取?β1(x1,x3)/?x3=γ1，?β2(x2,x4)/?x4=γ2，自適應(yīng)增益γ1，γ2為常數(shù)。則β1(x1,x3)=γ1x3，β2(x2,x4)=γ2x4，至此基于I&I的自適應(yīng)反演滑模控制律設(shè)計完畢。

下面分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性,整理式(12)和(16)得：

(19)

定義如下Lyapunov函數(shù)：

(20)

對于式(16)取Lyapunov函數(shù)：

(21)

其中，ks1,ks2,η1,η2,λ1,λ2,ε1,ε2均為正數(shù)。

3 仿真分析

為驗證所設(shè)計控制器的有效性，對給出的非線性系統(tǒng)(6)在控制器(13)作用下的響應(yīng)進行仿真，并將結(jié)果與傳統(tǒng)自適應(yīng)反演滑?？刂芠19]在相同初始條件下的仿真結(jié)果進行比較。相較于文獻[19]，本文的自適應(yīng)控制器采用浸入與不變方法設(shè)計，在傳統(tǒng)自適應(yīng)律中加入了額外補償函數(shù)，將整體擾動估計由積分轉(zhuǎn)換為比例積分，提高了擾動估計的靈活性，且本文設(shè)計的控制器為Super-twisting二階反演滑?？刂破?，與式(19)設(shè)計過程不同，Super-twisting控制項的引入同樣可以簡化控制器的設(shè)計，提高控制精度[20]。

系統(tǒng)方程中變量參數(shù)取值如下：

a=-0.6719,mt=15.57kg,mw=4.34kg,

ρ=1.225kg/m3,b=0.1905m,sp=0.5945m,

kα(α)=12.77+1003α2,xα=-(0.0998+a),

kh=2844.4N/m,ch=27.43kg/s,cα=0.036kg·m2/s,

clα=6.757,clβ=3.358,clγ=-0.1566,cmα=0,

cmβ=-0.6719。

圖2為2種控制方法下氣動彈性系統(tǒng)的仿真對比。其中，圖(a)和(b)為浮沉位移和俯仰角的時間響應(yīng)，圖(c)和(d)為控制輸入u1和u2，圖(e)和(f)為滑動面s1和s2，圖(g)和(h)為浮沉位移和俯仰角的相平面軌跡，圖(m)和(n)為外部擾動估計d1和d2。

圖2 兩種控制方法的仿真對比

可以看出在給定輸出參考軌跡情況下，盡管存在不確定外部擾動，由于擾動估計自適應(yīng)律的引入，2種控制器均能穩(wěn)定跟蹤給定狀態(tài)，實現(xiàn)氣動彈性機翼顫振的主動抑制，但基于I&I的反演自適應(yīng)二階滑?？刂茖ν獠繑_動估計更準(zhǔn)確，且由于控制器中Super-twisting項的引入，加快了浮沉位移和俯仰角的收斂速度。由圖(a)和(b)可以看出I&I ABSMC控制的機翼系統(tǒng)的浮沉位移和俯仰角過渡時間更短，收斂過程較平穩(wěn)，消除了機翼系統(tǒng)的顫振和傳統(tǒng)滑模的抖振。由圖(c)～(f)可知在2種控制方法下，控制輸入u1和u2和滑動面s1和s2最終都隨系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定收斂至0，且收斂過程不存在抖振，但I&IABSMC控制下的控制輸入和滑動面收斂速度更快。由圖(g)和(h)可知，I&IABSMC控制下的浮沉位移和俯仰角相平面軌跡顯然更平滑、穩(wěn)定。圖(m)和(n)表明基于I&I的擾動估計可以快速達到真實值，比傳統(tǒng)的自適應(yīng)估計更為準(zhǔn)確。本文提出的I&IABSMC控制策略能有效控制機翼氣動彈性系統(tǒng)運行在期望的狀態(tài)，系統(tǒng)在存在未知外部擾動情況下仍具有較好的動靜態(tài)性能。

4 結(jié) 論

針對外部擾動不確定氣動彈性系統(tǒng)，將浸入與不變方法應(yīng)用于不確定擾動的估計，并使用反演法設(shè)計了自適應(yīng)Super-twisting滑?？刂破鳌&I在外部擾動估計時不遵循傳統(tǒng)自適應(yīng)控制的等價性原理，其穩(wěn)定性由擾動估計誤差的漸進收斂來保證?？刂坡傻脑O(shè)計中，將反步遞推和二階滑?？刂葡嘟Y(jié)合，設(shè)計了包含Super-twisting控制項的連續(xù)二階滑?？刂破鳎ＷC了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自適應(yīng)性。仿真結(jié)果表明：基于I&I對擾動估計的準(zhǔn)確性，翼段浮沉位移和俯仰角輸出的穩(wěn)定性得到提高。同時設(shè)計的連續(xù)滑?？刂坡梢蚕嘶？刂频亩墩?，加快了系統(tǒng)狀態(tài)的收斂。

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Backstepping Sliding Mode Control of Aeroelastic System Based on Immersion and Invariance

Hou Xiaoyan, Xue Wentao, Zhang Chen

Jiangsu University of Science and Technology, Zhenjiang 212003, China

Inviewoftheaeroelasticflutterproblemofairfoilwithuncertainexternaldisturbances,amethodofadaptivebacksteppingslidingmodecontrol(SMC)basedonsystemimmersionandmanifoldinvariant(I&I)foraeroelasticitysystemisproposed.Firstly,themodelofaeroelasticsystemcontrolledbydoublecontrolsurfacesisestablishedwithuncertainexternaldisturbances.Thentheadaptivesuper-twistingbacksteppingslidingmodecontrollerisdesigned,whichisbasedonbacksteppingandslidingmodecontroltheories,theI&Imethodisusedtodesigntheadaptivedisturbanceestimation,andtheadditionalcompensationitemisinvolvedintothewholeadaptivelawandthedisturbanceestimationerrormanifoldisestablishedbyusingthedesignedadaptivelawtoensuretheinvariantandattractiveoferrormanifold.Therefore,theconvergenceofdisturbanceestimationerrorcanbeguaranteed.Finally,theLyapunovstabilityisprovedforthedesignedcontrolledsystem.Thesimulationresultsshowthatthedesignedcontrollercanaccuratelyestimatetheexternaldisturbanceandthecontroleffectofplungedisplacementandpitchangleissuperiortotheclas-

sicaladaptiveslidingmodecontrol.Thus,thestabilityandadaptivityofaeroelasticsystemareimproved.

Aeroelasticairfoil;Immersionandinvariant;Backstepping;Adaptive;Super-twisting;Slidingmodecontrol

*國家自然科學(xué)基金(61203024)

2015-05-11

侯小燕(1990-),女,晉中人,碩士研究生,主要研究方向為先進控制理論與應(yīng)用等；薛文濤(1974-)，男，鄭州人，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向為免疫算法、進化計算和智能控制等；張 晨(1989-)，男，南京人，碩士研究生,主要研究方向為先進控制與智能控制等。

TP316.2

A

1006-3242(2016)04-0003-07