谷勇霞　張玉玲　趙杰亮　閻紹澤

1.北京工商大學(xué)，北京，100048　　2.清華大學(xué)摩擦學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京，100084

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柔性機(jī)械臂動力學(xué)建模理論與實(shí)驗(yàn)研究進(jìn)展

谷勇霞1張玉玲1趙杰亮2閻紹澤2

1.北京工商大學(xué)，北京，1000482.清華大學(xué)摩擦學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京，100084

摘要：總結(jié)了國內(nèi)外學(xué)者在柔性機(jī)械臂建模理論及其相關(guān)實(shí)驗(yàn)等方面的最新研究進(jìn)展，系統(tǒng)地闡述了柔性機(jī)械臂的變形描述方法、關(guān)節(jié)動力學(xué)建模、柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的動力學(xué)建模方法、臂桿的剛化和軟化效應(yīng)、柔性機(jī)械臂實(shí)驗(yàn)方法等方面的研究現(xiàn)狀，提出了現(xiàn)階段機(jī)械臂動力學(xué)理論與實(shí)驗(yàn)研究存在的問題與不足，預(yù)測了柔性機(jī)械臂動力學(xué)研究的主要方向和核心技術(shù)，詳細(xì)分析了柔性機(jī)械臂最佳模態(tài)階數(shù)選取、基于動力學(xué)特性的柔性機(jī)械臂系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化、關(guān)節(jié)驅(qū)動規(guī)律的確定、柔性機(jī)械臂在高速運(yùn)轉(zhuǎn)下剛化與軟化效應(yīng)、柔性機(jī)械臂關(guān)節(jié)精細(xì)建模、空間柔性機(jī)械臂超低速運(yùn)行時(shí)爬行現(xiàn)象等待解決的關(guān)鍵技術(shù)問題。

關(guān)鍵詞：柔性機(jī)械臂；動力學(xué)建模；剛度變化；實(shí)驗(yàn)研究

0引言

柔性機(jī)械臂因具有質(zhì)量輕、能耗低、負(fù)載比高等優(yōu)點(diǎn)而受到航空航天領(lǐng)域的廣泛關(guān)注。但柔性機(jī)械臂由于臂桿和關(guān)節(jié)等具有柔性，故在運(yùn)動過程中會產(chǎn)生彈性變形和機(jī)械振動，使機(jī)械臂的分析和控制難度增加，這嚴(yán)重制約了機(jī)械臂執(zhí)行高精度任務(wù)的能力[1]。

關(guān)節(jié)一般包含電機(jī)、傳動裝置及傳感器等，主要實(shí)現(xiàn)動力的產(chǎn)生與傳遞、位置感知和機(jī)械連接等功能，對機(jī)械臂的動力學(xué)性能、位置精度及運(yùn)動平穩(wěn)性起決定性作用，是整個(gè)柔性機(jī)械臂的核心[2]。相比臂桿柔性，關(guān)節(jié)傳動裝置的柔性是造成系統(tǒng)諧振的主要因素，對機(jī)械臂性能的影響更為顯著，但研究者為了考慮臂桿柔性的影響，往往忽略了機(jī)械臂關(guān)節(jié)的動力學(xué)特性。另外機(jī)械臂在做大范圍的空間運(yùn)動時(shí)，臂桿變形與關(guān)節(jié)柔性相互耦合，導(dǎo)致機(jī)械臂在柔性變形中的振動頻率與傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的振動頻率不一致，即使在小變形條件下，機(jī)械臂的剛度也可能會發(fā)生顯著變化，影響其動力學(xué)性能。因此，柔性機(jī)械臂的動力學(xué)行為表現(xiàn)為復(fù)雜的剛?cè)狁詈犀F(xiàn)象，動力學(xué)方程呈現(xiàn)高度非線性、強(qiáng)耦合和時(shí)變性等特點(diǎn)，不易求解[3]。

本文結(jié)合柔性機(jī)械臂的特點(diǎn)，對柔性體的變形描述方法進(jìn)行了概述，對柔性機(jī)械臂動力學(xué)建模的主要方法進(jìn)行了分析對比，并介紹了機(jī)械臂關(guān)節(jié)動力學(xué)建模的研究現(xiàn)狀。對機(jī)械臂剛化和軟化效應(yīng)機(jī)理進(jìn)行了分析，總結(jié)了研究剛度變化問題的若干方法。最后對目前機(jī)械臂的實(shí)驗(yàn)研究現(xiàn)狀進(jìn)行了概述，并分析了影響機(jī)械臂動力學(xué)行為的關(guān)鍵技術(shù)問題，預(yù)測了今后機(jī)械臂動力學(xué)理論研究的方向。

1柔性機(jī)械臂建模理論研究

1.1柔性機(jī)械臂的變形描述方法

柔性機(jī)械臂的變形描述是柔性機(jī)械臂建模的前提，同時(shí)與動力學(xué)方程的求解難易程度密切相關(guān)。目前柔性機(jī)械臂的變形描述方法主要有有限元法、有限段法、假設(shè)模態(tài)法和集中質(zhì)量法。王樹新等[4]對上述變形描述方法進(jìn)行了詳細(xì)研究，認(rèn)為采用有限元法所得到的動力學(xué)方程較為復(fù)雜、求解運(yùn)算量大、計(jì)算效率低，相比之下，假設(shè)模態(tài)法具有系統(tǒng)性和效率高的特點(diǎn)。通過進(jìn)一步調(diào)研發(fā)現(xiàn)[5]：有限元法對結(jié)構(gòu)均勻桿件的計(jì)算效率和精度均較高，而對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，動力學(xué)方程難以求解，不便于控制系統(tǒng)的建立。為得到含三個(gè)臂桿的柔性機(jī)械臂平面機(jī)構(gòu)模型，Piras等[6]采用Lagrange方程與有限元法結(jié)合，將非線性方程轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性常微分方程以降低求解難度。而基于假設(shè)模態(tài)法對機(jī)械臂進(jìn)行建?？梢源蟠蠼档拖到y(tǒng)的自由度數(shù)和方程數(shù)，并且有利于后續(xù)控制系統(tǒng)的建立[7]。與有限元法相似，有限段法的求解效率較低，為了克服這一缺點(diǎn)，許多學(xué)者對提高有限段法的精度進(jìn)行了研究。王樹新等[8]采用有限段法建立了柔性機(jī)械臂的離散模型并在求解過程中引入相對位移的模態(tài)以提高計(jì)算效率。李文龍等[9]在采用有限段法對做大范圍運(yùn)動的柔性航天器進(jìn)行建模時(shí)，提出將有限段法與空間算子代數(shù)理論結(jié)合的高效處理方法，有效解決了有限段法效率低的問題。集中質(zhì)量法條理清晰，適用于構(gòu)建形狀比較復(fù)雜的柔性體，但采用集中質(zhì)量法對機(jī)械臂建模時(shí)往往達(dá)不到精度要求[10]。因此，Ding等[11]將集中質(zhì)量法和Holzer法相結(jié)合提出了Ding-Holzer法，有效提高了模型精度。

對于不同的結(jié)構(gòu)可以選擇不同的變形描述方法，目前仍以有限元法和假設(shè)模態(tài)法應(yīng)用居多。

1.2柔性機(jī)械臂的動力學(xué)建模方法

對于柔性機(jī)械臂的建模，無論采用何種建模方式，都需要對柔性體的變形進(jìn)行描述以及選取參考坐標(biāo)等。目前主要有三類參考坐標(biāo)系：慣性坐標(biāo)系、隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系和浮動坐標(biāo)系[12]。

慣性坐標(biāo)系根據(jù)大變形非線性有限元及連續(xù)體力學(xué)原理，將所有單元的運(yùn)動都在慣性坐標(biāo)系下描述，不再對各體剛體運(yùn)動和彈性變形加以區(qū)分，適于大變形柔性建模。

隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系是在柔性體的每個(gè)獨(dú)立單元上建立參考坐標(biāo)系，并隨著每個(gè)獨(dú)立單元的運(yùn)動而運(yùn)動，用于大位移、大轉(zhuǎn)角和小應(yīng)變結(jié)構(gòu)的建模。

浮動坐標(biāo)系(圖1)由慣性坐標(biāo)系X0OY0和柔性體上的隨動坐標(biāo)系X1OY1組成，將隨動坐標(biāo)系相對于慣性坐標(biāo)系的大范圍運(yùn)動θ和相對于隨動坐標(biāo)系的彈性變形y(x,t)分開描述，浮動坐標(biāo)系將多剛體動力學(xué)與結(jié)構(gòu)動力學(xué)相結(jié)合，是目前應(yīng)用最廣泛的方法。Shabana[13]在對柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)研究中詳細(xì)闡述了浮動坐標(biāo)系的選取問題。隨著對大變形柔性體動力學(xué)問題的研究，出現(xiàn)了基于有限元與連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論的絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法,該方法在全局坐標(biāo)下定義單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，并將有限單元的節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角坐標(biāo)用斜率矢量代替[14]。

圖1　浮動坐標(biāo)系

隨著柔性機(jī)械臂建模理論的不斷成熟，建模方法也趨于多樣化，但仍然以Newton-Euler方程為代表的矢量力學(xué)法和以Lagrange方程為代表的分析力學(xué)法為主。另外，還有兼具矢量力學(xué)法和分析力學(xué)法的Kane方程、基于極小值性質(zhì)的高斯極值原理以及模型辨識法。王樹新等[4]和楊敏等[15]對基于Newton-Euler方程、Lagrange方程及Kane方程的柔性機(jī)械臂建模方法進(jìn)行了深入研究。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步調(diào)研發(fā)現(xiàn)：采用Newton-Euler方程建模時(shí)，由于難以消除方程中相鄰物體間的內(nèi)力項(xiàng)，對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)增加了建模的難度，求解效率降低。但Newton-Euler法是目前動力學(xué)分析用于實(shí)時(shí)控制的主要手段[16]。Lagrange方程形式簡單，適合計(jì)算機(jī)高速求解，并可應(yīng)用于控制系統(tǒng)。但建模過程中對動能和勢能的推導(dǎo)以及微分運(yùn)算復(fù)雜，廣義坐標(biāo)的選取也比較困難。目前Lagrange方程經(jīng)常結(jié)合假設(shè)模態(tài)法被應(yīng)用于柔性多體系統(tǒng)的動力學(xué)建模中[17]。采用Kane方程建模時(shí)不必考慮理想約束的約束反力，也無需進(jìn)行系統(tǒng)的動能、勢能及其偏導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，且推導(dǎo)過程較為系統(tǒng)化，因此在多體系統(tǒng)的建模方面得到廣泛應(yīng)用[18]。上述柔性機(jī)械臂建模方法均需建立動力學(xué)方程進(jìn)行動力學(xué)分析，而Gauss原理和模型辨識法可以不建立動力學(xué)方程就進(jìn)行動力學(xué)分析，現(xiàn)分述如下：

(1)

根據(jù)高斯原理可知，質(zhì)點(diǎn)系的真實(shí)運(yùn)動滿足

(2)

高斯原理在機(jī)器人的設(shè)計(jì)和分析中應(yīng)用廣泛，通過建立拘束函數(shù)的變分問題，可直接應(yīng)用優(yōu)化算法對機(jī)器人進(jìn)行動力學(xué)分析[19]。

(2)模型辨識法。根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來確定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，必須存在實(shí)際系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)。根據(jù)描述系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的不同，系統(tǒng)辨識一般可分為線性系統(tǒng)辨識、非線性系統(tǒng)辨識、集中參數(shù)系統(tǒng)辨識和分布參數(shù)系統(tǒng)辨識。各種方法的本質(zhì)都是根據(jù)輸入信號和響應(yīng)信號辨識出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，如圖2所示?；玖鞒潭际歉鶕?jù)辨識目的和先驗(yàn)知識設(shè)計(jì)相關(guān)實(shí)驗(yàn)，獲取實(shí)驗(yàn)結(jié)果對模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，進(jìn)而對模型進(jìn)行驗(yàn)證，獲得最終模型，其流程如圖3所示。模型辨識方法在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上獲取系統(tǒng)的運(yùn)動特征，拋開了經(jīng)典力學(xué)分析的思想，從而為復(fù)雜柔性機(jī)械臂的動力學(xué)建模提供了有力手段[20]。

圖2　系統(tǒng)辨識建模方法

圖3　系統(tǒng)辨識流程圖

雖然Gauss極值原理和模型辨識法可以避免動力學(xué)方程的建立，比較簡單，但仍有許多關(guān)鍵技術(shù)問題尚需完善。目前對柔性機(jī)械臂的建模仍以Lagrange方程應(yīng)用居多，其建模流程如圖4所示。

圖4　Lagrange方程建模流程圖

1.3柔性機(jī)械臂關(guān)節(jié)動力學(xué)建模方法

關(guān)節(jié)是柔性機(jī)械臂最關(guān)鍵的部件，其性能的好壞直接影響機(jī)械臂的工作性能，因此分析機(jī)械臂關(guān)節(jié)的動態(tài)特性對機(jī)械臂的控制至關(guān)重要，而建立精確的動力學(xué)模型是分析關(guān)節(jié)動態(tài)特性的前提。機(jī)械臂關(guān)節(jié)通常含有電機(jī)、行星齒輪或諧波齒輪減速器、位置傳感器、旋轉(zhuǎn)變壓器及控制電路等[21]，這些非線性部件會影響機(jī)械臂的動力學(xué)性能，導(dǎo)致機(jī)械臂關(guān)節(jié)模型的建立比較困難，需要同時(shí)考慮摩擦、阻尼、變形和間隙等因素。

早期的研究者往往忽略關(guān)節(jié)動力學(xué)特性的影響而重點(diǎn)考慮臂桿柔性，先后出現(xiàn)了鉸鏈模型、線性扭轉(zhuǎn)彈簧模型、彈簧-阻尼器模型等關(guān)節(jié)模型[22]。文獻(xiàn)[23]將關(guān)節(jié)視為理想鉸鏈，僅考慮臂桿柔性，建立了柔性機(jī)械臂的動力學(xué)模型并進(jìn)行主動控制。之后Korayem等[24]考慮了關(guān)節(jié)柔性，分別將關(guān)節(jié)簡化為線性扭轉(zhuǎn)彈簧模型和彈簧-阻尼器模型來研究機(jī)械臂的建模問題。但這些簡化模型都是基于剛性關(guān)節(jié)或關(guān)節(jié)小變形假設(shè)，不能體現(xiàn)關(guān)節(jié)的真實(shí)結(jié)構(gòu)，對剛性較高的關(guān)節(jié)比較適用。實(shí)際關(guān)節(jié)在運(yùn)動過程中會產(chǎn)生摩擦、阻尼、變形等影響機(jī)械臂動力學(xué)性能的非線性因素，上述簡化模型忽略了這些非線性因素的影響，無法反映出關(guān)節(jié)的特性。在此基礎(chǔ)上，許多學(xué)者對上述模型進(jìn)行了修正。何柏巖等[25]在鉸鏈模型的基礎(chǔ)上考慮了鉸鏈間隙，研究間隙對剛?cè)狁詈蠙C(jī)械臂動力學(xué)特性的影響。Erkaya[26]在非線性彈簧阻尼模型的基礎(chǔ)上考慮間隙的影響，建立了關(guān)節(jié)的接觸模型。

無論是理想關(guān)節(jié)模型，還是修正后的關(guān)節(jié)模型，由于未考慮摩擦等其他非線性因素，只適用于傳動較為簡單的關(guān)節(jié)，對于復(fù)雜傳動關(guān)節(jié)往往不能滿足精度要求，因此很多學(xué)者開始研究精細(xì)關(guān)節(jié)模型。于登云等[21]對細(xì)化關(guān)節(jié)模型進(jìn)行了詳細(xì)綜述。在此基礎(chǔ)上對機(jī)械臂關(guān)節(jié)的傳動機(jī)構(gòu)進(jìn)一步調(diào)研發(fā)現(xiàn)：現(xiàn)有柔性空間機(jī)械臂關(guān)節(jié)一般采用行星齒輪傳動或諧波齒輪傳動作為減速機(jī)構(gòu)[27]，行星齒輪傳動具有承載能力大、壽命長、可靠性高等優(yōu)點(diǎn)，但在機(jī)械臂運(yùn)行過程中，齒輪嚙合會產(chǎn)生噪聲和機(jī)械振動，影響機(jī)械臂動力學(xué)性能。研究表明，行星齒輪傳動過程中時(shí)變嚙合剛度、嚙合誤差和齒側(cè)間隙是其主要問題[28]。Yang等[29-30]建立了考慮齒側(cè)間隙、齒廓誤差和時(shí)變嚙合剛度的關(guān)節(jié)動力學(xué)模型并進(jìn)行了仿真，仿真結(jié)果表明，齒側(cè)間隙導(dǎo)致機(jī)械臂產(chǎn)生定位誤差，而齒廓誤差是影響加速度波動和嚙合力的主要因素。楊天夫等[31]基于考慮間隙的滾動軸承模型和非線性嚙合力的行星齒輪模型，建立了由四級行星齒輪減速器組成的大減速比精確機(jī)械臂關(guān)節(jié)模型。與行星齒輪傳動不同，諧波齒輪具有傳動比大、傳動平穩(wěn)等優(yōu)點(diǎn)，由于采用彈性變形傳遞運(yùn)動，故其關(guān)鍵問題在于摩擦和非線性剛度[32]，這些關(guān)鍵問題會導(dǎo)致運(yùn)行過程中產(chǎn)生動態(tài)誤差、柔性和滯后等現(xiàn)象。谷勇霞等[33]建立了考慮諧波滯后的機(jī)械臂的動力學(xué)模型，并分析了諧波滯后對動力學(xué)特性的影響。Gomes[34]在剛體關(guān)節(jié)動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，考慮了靜態(tài)摩擦和庫侖黏滯摩擦模型，并基于該模型設(shè)計(jì)了關(guān)節(jié)控制器，有效提高了模型動力學(xué)分析的精度。由此可知，隨著建模理論的成熟，機(jī)械臂關(guān)節(jié)模型也不斷得到完善。

2柔性機(jī)械臂的剛化和軟化效應(yīng)

柔性機(jī)械臂在運(yùn)行過程中因機(jī)械臂柔性產(chǎn)生的變形與大范圍的空間運(yùn)動相互耦合，導(dǎo)致機(jī)械臂在其柔性變形中的振動頻率與傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的振動頻率不一致，即使小變形條件下，也會產(chǎn)生剛化效應(yīng)[35]；同時(shí)機(jī)械臂在運(yùn)動過程中受到離心力作用，離心力導(dǎo)致機(jī)械臂變形，剛度減小，產(chǎn)生軟化效應(yīng)。兩者相互作用使機(jī)械臂的剛度發(fā)生變化，因此剛度是衡量柔性機(jī)械臂性能的重要指標(biāo)。傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動力學(xué)理論分析中剛度通常為常值，不計(jì)小變形，但結(jié)構(gòu)的大范圍運(yùn)動與小變形耦合以及本身變形導(dǎo)致的剛度變化，會對系統(tǒng)的動力學(xué)特性產(chǎn)生明顯的影響。

2.1剛度變化產(chǎn)生的機(jī)理

剛度變化是剛化效應(yīng)與軟化效應(yīng)相互作用的結(jié)果，以圖5所示的柔性臂桿單元為例分析其剛度變化產(chǎn)生的機(jī)理。

圖5　柔性機(jī)械臂變形示意圖

柔性機(jī)械臂在運(yùn)行過程中產(chǎn)生柔性變形，對柔性臂桿單元進(jìn)行受力分析，軸向力F提供了機(jī)械臂轉(zhuǎn)動的離心力，彎矩M產(chǎn)生彎曲變形，不考慮剪力Fs的影響。變形前，F(xiàn)對M沒有影響，但隨著機(jī)械臂的旋轉(zhuǎn)，其運(yùn)動和變形的耦合會導(dǎo)致F產(chǎn)生附加的彎矩M′。附加彎矩計(jì)算公式為

(3)

由式(3)可知[36]，當(dāng)F很大時(shí)，附加彎矩不可忽略，并且隨著轉(zhuǎn)速的增大，軸向力不斷增大，因此附加彎矩也隨之增大，于是產(chǎn)生變化的附加剛度，即剛化效應(yīng)，導(dǎo)致剛度增大，同時(shí)機(jī)械臂的柔性變形產(chǎn)生軟化效應(yīng)，使剛度減小，兩者共同作用使剛度發(fā)生變化。

2.2剛度變化的分析方法

主要教學(xué)內(nèi)容：針對某一具體裝配對象進(jìn)行系統(tǒng)研究，完成裝配流程設(shè)計(jì)、視頻采集、達(dá)寶易軟件分析、標(biāo)準(zhǔn)作業(yè)指導(dǎo)書制訂等，加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐應(yīng)用能力。教學(xué)地點(diǎn)：實(shí)驗(yàn)室；教學(xué)課時(shí)：1周。

剛度變化與轉(zhuǎn)速密切相關(guān)，目前在對機(jī)械臂建模時(shí)柔性體的變形描述一般采用假設(shè)模態(tài)法和有限元法，但這兩種方法只適用于低速情況，對于高速情況，上述方法會導(dǎo)致仿真數(shù)值的發(fā)散[37]。

當(dāng)前對剛化效應(yīng)的分析方法主要有非線性有限元法、附加剛度法、變形耦合法及子結(jié)構(gòu)法。非線性有限元法需采用隱式迭代算法，計(jì)算效率較低，早期主要用于簡單柔性梁的動力學(xué)分析[38]。隨著非線性有限元分析軟件的成熟，該方法得到廣泛應(yīng)用，deBorst等[39]對其原理及應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)的總結(jié)。附加剛度法和耦合變形法是目前剛化效應(yīng)分析的常用方法，但兩者的應(yīng)用也有很大的局限性。而幾何非線性法是采用附加剛度法解決剛化問題的典型方法，它保留了位移與應(yīng)變之間的非線性關(guān)系，所得剛度矩陣包含常值剛度陣和幾何非線性剛度陣，一般表示為[38]

K=K0+Ks

(4)

式中，K0為常值模態(tài)的剛度陣；Ks為幾何非線性剛度陣，即附加動剛度陣。

Sharf[40]認(rèn)為該剛度陣是變形廣義坐標(biāo)α的無窮級數(shù)，因此式(4)的剛度矩陣K可采用Taylor展開近似表達(dá)為

(5)

其中，KG為α的線性函數(shù)，KB為α的二次函數(shù)，而且得到了KG和KB的顯式表達(dá)式。許多學(xué)者對幾何非線性法的精度給予了高度重視，如陸念力等[41]基于靜力凝聚方法，建立了幾何非線性剛度矩陣的遞推公式，隨著遞推次數(shù)的增加，計(jì)算精度可以無限逼近精確解，但計(jì)算效率低。因此，需要進(jìn)一步研究幾何非線性法的精度問題。變形耦合法主要通過模態(tài)坐標(biāo)的二階小量來描述柔性體的變形場，形成精確到二階小量的運(yùn)動學(xué)描述以保留彈性變形的非線性特性。若取柔性體的前n階模態(tài)，則變形場可表示為

(6)

其中，a為模態(tài)坐標(biāo)，Nij為形函數(shù)，Nipj為耦合形函數(shù)。根據(jù)Lagrangian應(yīng)變張量和小變形假設(shè)，可得耦合形函數(shù)為

(7)

再結(jié)合Kane方法，將偏線速度和偏角速度中的模態(tài)坐標(biāo)進(jìn)行線性化處理，由此可得柔性體的動剛度矩陣。閻紹澤等[42]基于變形耦合方法，在解決柔性體大范圍運(yùn)動產(chǎn)生的幾何剛度方面作了深入研究。由于對于復(fù)雜形狀的柔性體，難以得到耦合形函數(shù)，因此該方法只適用于簡單形狀的柔性體。子結(jié)構(gòu)法與有限元法類似，但其子結(jié)構(gòu)為線性變形，集合后的整體結(jié)構(gòu)呈非線性。對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，該方法計(jì)算量較大，效率較低，且要根據(jù)約束方程保證變形的連續(xù)性，在高速計(jì)算中準(zhǔn)確性較好[43]。

雖然對剛化效應(yīng)的分析趨于成熟，但卻忽略了軟化效應(yīng)的影響。為了建立柔性機(jī)械臂的精細(xì)模型，研究者逐漸重視軟化效應(yīng)對柔性體的影響。吳勝寶等[44]對剛體-柔性梁系統(tǒng)的動力學(xué)特性進(jìn)行了研究，結(jié)果表明柔性梁中同時(shí)存在剛化效應(yīng)和軟化效應(yīng)，并影響梁的固有頻率。由于剛化效應(yīng)和軟化效應(yīng)結(jié)合使機(jī)械臂的剛度產(chǎn)生不確定的變化，影響機(jī)械臂的動力學(xué)特性，所以研究者提出了時(shí)變剛度模型[45]，進(jìn)一步細(xì)化了機(jī)械臂模型，但隨著機(jī)械臂復(fù)雜化和高精度化，機(jī)械臂的時(shí)變剛度模型仍有待進(jìn)一步研究。

3柔性機(jī)械臂實(shí)驗(yàn)的研究進(jìn)展

3.1柔性機(jī)械臂臂桿實(shí)驗(yàn)研究

最早的機(jī)械臂實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)為單連桿柔性機(jī)械臂，以DavidWang科研團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)(圖6)為代表[46]。該實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的機(jī)械臂末端處于自由狀態(tài)，并安裝LED燈，與安裝在基座處的CCD相機(jī)進(jìn)行振動位移的測量[46]。臂桿采用直流電機(jī)驅(qū)動，電機(jī)的位置由安裝在電機(jī)輪轂上的光電編碼器完成。

斯坦福大學(xué)空間機(jī)器人實(shí)驗(yàn)室為了研究太空失重環(huán)境下自由漂浮物體的抓取過程，研發(fā)了宏/微機(jī)械臂，整套系統(tǒng)(圖7)由兩條長1.5m的宏機(jī)械臂和一組微機(jī)械臂組成，并通過空氣軸承漂浮于花崗巖上[46]。

圖6　David Wang科研團(tuán)隊(duì)的單連桿柔性機(jī)械臂[46]

圖7　斯坦福大學(xué)的宏/微機(jī)械臂[46]

隨著對多自由度機(jī)械臂的研究，雙連桿機(jī)械臂的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)趨于成熟。余躍慶科研團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)的兩自由度機(jī)械臂實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)(圖8)以應(yīng)變片作為傳感器，PZT-5型壓電陶瓷作為致動器，實(shí)現(xiàn)了模糊PID融合控制下的臂桿末端軌跡跟蹤和柔性臂桿的殘余振動控制[47]。

圖8　余躍慶科研團(tuán)隊(duì)的雙連桿柔性機(jī)械臂[47]

閻紹澤等[48]設(shè)計(jì)了雙連桿機(jī)械臂主動控制實(shí)驗(yàn)平臺(圖9)，該實(shí)驗(yàn)平臺采用光電編碼器、加速度計(jì)和應(yīng)變片分別檢測機(jī)械臂的大范圍運(yùn)動、末端振動位移和驅(qū)動力矩，實(shí)現(xiàn)了對機(jī)械臂結(jié)構(gòu)-控制耦合特性的研究。另外，張令波等[49]提出了基于云模型的柔性機(jī)械臂關(guān)節(jié)軌跡跟蹤和末端振動抑制的云控制器的設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)了一套基于位置敏感探測器(PSD)的雙連桿柔性機(jī)械臂實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，并驗(yàn)證了控制器的實(shí)用性能，有效改善了測量精度。

圖9　閻紹澤科研團(tuán)隊(duì)的雙連桿柔性機(jī)械臂[48]

3.2柔性機(jī)械臂關(guān)節(jié)性能實(shí)驗(yàn)研究

圖10　MSS關(guān)節(jié)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

國際空間站使用的移動服務(wù)系統(tǒng)(MSS)在空間站的服務(wù)中占據(jù)重要位置，可以完成精密裝配、軌道裝置之間的分離和對接以協(xié)助宇航員進(jìn)行艙外活動等。加拿大航天局為了研究每個(gè)關(guān)節(jié)的性能，設(shè)計(jì)了測試MSS關(guān)節(jié)的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)如圖10所示[50]。該實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)主要用于測試關(guān)節(jié)輸出力矩的相關(guān)特性、扭轉(zhuǎn)剛度及彎曲剛度等性能參數(shù)，含有待測關(guān)節(jié)、在軌可更換單元、高剛度的適配器、行星齒輪增速器、制動器、加載用擺桿、緊急致停單元、傳遞力的彎曲箱、5個(gè)加載用的螺旋起重器，剛體結(jié)構(gòu)臺等。其中加載用擺桿通過在擺桿末端添加質(zhì)量塊來進(jìn)行加載，關(guān)節(jié)軸向通過改變擺桿的長度和改變質(zhì)量塊的質(zhì)量來調(diào)節(jié)關(guān)節(jié)的負(fù)載，關(guān)節(jié)徑向通過螺旋起重器來改變負(fù)載。周留栓等[51]設(shè)計(jì)了基于虛擬儀器的模塊化關(guān)節(jié)綜合性能測試實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)(圖11)，主要為了研究模塊化關(guān)節(jié)的動靜態(tài)參數(shù)及性能評定。該實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)包括待測關(guān)節(jié)、圓光柵、扭矩傳感器、磁粉制動器以及主結(jié)構(gòu)支架等。

圖11　模塊化關(guān)節(jié)綜合性能測試實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

北京郵電大學(xué)與合肥智能化研究所聯(lián)合研制的空間機(jī)械臂原理樣機(jī)如圖12所示，其關(guān)節(jié)由直流無刷電機(jī)、諧波減速器、掉電制動器、旋轉(zhuǎn)變壓器等組成，結(jié)構(gòu)緊湊、集成度高[52]。李成等[53]基于模塊化設(shè)計(jì)思想，設(shè)計(jì)了具有行走和操作能力的空間機(jī)械臂(圖13)，并利用吊絲配重的方法抵消重力的影響來模擬太空環(huán)境。

圖12　空間機(jī)械臂原理樣機(jī)[52]

圖13　機(jī)械臂關(guān)節(jié)[53]

4機(jī)械臂動力學(xué)研究若干關(guān)鍵技術(shù)問題

通過調(diào)研國內(nèi)外學(xué)者對柔性機(jī)械臂動力學(xué)的相關(guān)研究發(fā)現(xiàn)，柔性機(jī)械臂動力學(xué)研究主要存在以下一些關(guān)鍵技術(shù)問題。

(1)柔性機(jī)械臂最佳模態(tài)階數(shù)選取。柔性機(jī)械臂的動力學(xué)模型是連續(xù)無限維的，需要采用離散化方法對其變形進(jìn)行描述，而求解結(jié)果的精度取決于模態(tài)階數(shù)的選擇，一般階數(shù)越多結(jié)果越精確，但運(yùn)算量也較大，而且實(shí)際也不必要。因此，如何選取模態(tài)階數(shù)對柔性機(jī)械臂的動力學(xué)建模與分析至關(guān)重要。Skelton等[54]提出了基于分量價(jià)值分析的模態(tài)價(jià)值分析準(zhǔn)則，其思想是根據(jù)各階模態(tài)的模態(tài)價(jià)值對系統(tǒng)價(jià)值函數(shù)的貢獻(xiàn)來決定對模態(tài)的取舍，保留那些對系統(tǒng)價(jià)值貢獻(xiàn)較高的模態(tài)。模態(tài)價(jià)值分析準(zhǔn)則直接將模態(tài)選擇與控制目標(biāo)聯(lián)系起來，因而得到廣泛的應(yīng)用。目前也有學(xué)者研究基于實(shí)驗(yàn)研究的結(jié)構(gòu)模態(tài)階數(shù)選取。唐國潮等[55]等分別截取柔性機(jī)械臂的前四階模態(tài)進(jìn)行仿真，結(jié)果表明截取前三階模態(tài)即可滿足精度要求。一般針對不同的模型需要截取不同的階數(shù)，如何選取最佳模態(tài)階數(shù)值得深入研究。

(2)基于動力學(xué)特性的柔性機(jī)械臂系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化。雖然機(jī)械臂臂桿和關(guān)節(jié)柔性等對機(jī)械臂動力學(xué)性能的影響占主要地位，但機(jī)械臂系統(tǒng)參數(shù)，如結(jié)構(gòu)參數(shù)、物理參數(shù)、阻尼參數(shù)、關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動慣量、末端附加質(zhì)量的大小及位置對機(jī)械臂動力學(xué)性能的影響也至關(guān)重要。通過改變機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)參數(shù)(如截面寬度、高度、長度)和物理參數(shù)(如密度、彈性模量)，研究其對機(jī)械臂動力學(xué)輸出特性的影響，進(jìn)而選擇對動力學(xué)特性影響較小的臂桿截面和材料，可以為機(jī)械臂的振動抑制提供方法。郭振峰等[56]改變?nèi)嵝詸C(jī)械臂的結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)并進(jìn)行了仿真，結(jié)果表明，在截面面積相等時(shí)，圓形截面和矩形截面的振動頻率分別為最低和最高，而末端變形正好相反，因此選擇矩形截面可以減小變形；密度變化對柔性機(jī)械臂的變形程度影響不大，而彈性模量越大，振動頻率越高，末端變形越小。滕悠優(yōu)[57]分別針對機(jī)械臂大范圍運(yùn)動已知和未知的情況，對其末端附加質(zhì)量位置及阻尼進(jìn)行了研究。結(jié)果表明，在運(yùn)動已知的情況下，機(jī)械臂末端的響應(yīng)頻率較低，阻尼影響很小；而在運(yùn)動未知的情況下，在機(jī)械臂末端附加質(zhì)量時(shí)，引起振幅變大，而響應(yīng)頻率降低，阻尼也對機(jī)械臂的振幅有所影響。因此，機(jī)械臂的系統(tǒng)參數(shù)對其動力學(xué)行為產(chǎn)生一定的影響，合理設(shè)計(jì)機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)及選擇材料可以改善機(jī)械臂的工作性能，同時(shí)為機(jī)械臂系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)布置和主動抑振提供實(shí)驗(yàn)依據(jù)。

(3)關(guān)節(jié)驅(qū)動規(guī)律的確定。柔性機(jī)械臂的驅(qū)動力矩是機(jī)電轉(zhuǎn)換的橋梁，為整個(gè)機(jī)械臂系統(tǒng)提供動力，機(jī)械臂在工作過程中，關(guān)節(jié)電機(jī)不斷輸出關(guān)節(jié)力矩，驅(qū)動關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動到指定位置。由于機(jī)械臂關(guān)節(jié)驅(qū)動電機(jī)的大小、尺寸、質(zhì)量等是有限的，因而產(chǎn)生的輸出力矩也是有限的，而目前大部分研究是建立在驅(qū)動輸入可以無限大的條件下來設(shè)計(jì)控制器的。對整個(gè)機(jī)械臂系統(tǒng)而言，過小的關(guān)節(jié)力矩不能保證關(guān)節(jié)運(yùn)動，可能無法完成指定任務(wù)；而過大的關(guān)節(jié)力矩使轉(zhuǎn)速過高，導(dǎo)致機(jī)械臂失穩(wěn)、失控，甚至損壞電機(jī)。因此，合理選擇關(guān)節(jié)力矩的范圍，對提高機(jī)械臂的動力學(xué)性能、延長機(jī)械臂系統(tǒng)的壽命具有重要意義。

(4)柔性機(jī)械臂在高速運(yùn)轉(zhuǎn)下剛化與軟化效應(yīng)的分析。目前對柔性機(jī)械臂剛度變化問題的研究比較普遍，但往往忽略軟化效應(yīng)。綜合考慮剛化效應(yīng)和軟化效應(yīng)的影響，研究機(jī)械臂的剛度變化對其動力學(xué)特性的影響、建立時(shí)變剛度模型具有重要的理論價(jià)值。

(5)柔性機(jī)械臂關(guān)節(jié)精細(xì)建模。關(guān)節(jié)減速器包括行星齒輪減速器和諧波齒輪減速器，行星減速器的齒輪副間借助間隙發(fā)生相互作用，隨著間隙的增大，機(jī)械臂的振動加劇，同時(shí)在運(yùn)動過程中伴隨著摩擦，影響機(jī)械臂的傳動精度。而諧波減速器在傳動過程中通過柔輪的可控變形傳遞扭矩，在大負(fù)載條件下，柔輪變形為非線性，柔輪與剛輪接觸產(chǎn)生摩擦，嚴(yán)重影響機(jī)械臂的傳動精度。機(jī)械臂在運(yùn)動過程中，間隙和摩擦等非線性因素的影響復(fù)雜而不確定，研究其對機(jī)械臂傳動精度的影響，建立較為精確的動力學(xué)模型，是振動主動抑制的關(guān)鍵，也是目前機(jī)械臂研究的重點(diǎn)與熱點(diǎn)。

(6)空間柔性機(jī)械臂超低速運(yùn)行時(shí)爬行現(xiàn)象的分析。摩擦力在機(jī)械臂中普遍存在，其對運(yùn)動的影響大小不僅與動靜摩擦因數(shù)有關(guān)，還與關(guān)節(jié)的傳動剛度和傳動速度密切相關(guān)。機(jī)械臂在超低速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，很容易出現(xiàn)爬行現(xiàn)象。爬行現(xiàn)象是一種很復(fù)雜的自激振現(xiàn)象，其主要原因是系統(tǒng)摩擦因數(shù)的變化和傳動機(jī)構(gòu)的剛度不足。爬行現(xiàn)象導(dǎo)致運(yùn)行不穩(wěn)定，嚴(yán)重影響機(jī)械臂的定位精度，甚至損壞傳動系統(tǒng)，還會產(chǎn)生噪聲。研究機(jī)械臂低速運(yùn)轉(zhuǎn)的爬行現(xiàn)象，考慮導(dǎo)致爬行的各種因素，是提高機(jī)械臂動力學(xué)性能的重要手段。柔性機(jī)械臂是集機(jī)、電、熱一體化的系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，而且因?qū)C(jī)械臂工作性能的要求越來越高，影響其動力學(xué)性能的因素也趨于多樣化和復(fù)雜化。上述只是影響機(jī)械臂動力學(xué)行為的一些關(guān)鍵問題，要提高機(jī)械臂的動力學(xué)性能，還需要對機(jī)械臂系統(tǒng)進(jìn)一步深入研究。另外，機(jī)械臂系統(tǒng)各部分關(guān)系密切，因此研究多種因素的耦合作用對機(jī)械臂動力學(xué)特性的影響也具有重要的意義。

5結(jié)論

雖然國內(nèi)外對空間機(jī)械臂的研究取得了一定的進(jìn)展，但仍有很多深層次的理論與技術(shù)問題有待進(jìn)一步解決。

(1)在柔性機(jī)械臂動力學(xué)建模方面，如何確定機(jī)械臂的模態(tài)參數(shù)進(jìn)而將其離散化是一個(gè)非常值得關(guān)注和研究的問題。另外，當(dāng)前對機(jī)械臂的建模以單臂和雙臂居多，對更多自由度機(jī)械臂系統(tǒng)的動力學(xué)模型研究相對較少，且很不完善。即使對單自由度機(jī)械臂進(jìn)行建模，常常忽略關(guān)節(jié)非線性因素的影響，未整體考慮各部分因素的影響。

(2)在柔性機(jī)械臂剛度變化方面，建立時(shí)變剛度模型是今后研究的一個(gè)熱點(diǎn)。

(3)在空間機(jī)械臂實(shí)驗(yàn)研究方面，機(jī)械臂是一個(gè)復(fù)雜的不確定系統(tǒng)，機(jī)械臂在運(yùn)行過程中，各因素相互作用，因此考慮各種因素的綜合影響是研究的一個(gè)重點(diǎn)。另外，實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)與機(jī)械臂的實(shí)際工況仍有一定的差距，因此完善機(jī)械臂的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，提高測量精度，對研究機(jī)械臂具有重要意義。

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(編輯袁興玲)

收稿日期：2016-01-05

基金項(xiàng)目：高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(20120002110070)；國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11272171)

中圖分類號：TP24

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.12.024

作者簡介：谷勇霞，女，1968年生。北京工商大學(xué)材料與機(jī)械工程學(xué)院副教授。主要研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計(jì)及機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué)。張玉玲，女，1989年生。北京工商大學(xué)材料與機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。趙杰亮，男，1989年生。清華大學(xué)摩擦學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室博士研究生。閻紹澤，男，1964年生。清華大學(xué)摩擦學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室教授、博士研究生導(dǎo)師。

AdvancesonDynamicsModelingandExperimentalStudiesforFlexibleManipulators

GuYongxia1ZhangYuling1ZhaoJieliang2YanShaoze2

1.BeijingTechnologyandBusinessUniversity,Beijing，100048 2.StateKeyLaboratoryofTribology,TsinghuaUniversity,Beijing，100084

Abstract：This paper summarized the latest advances on the flexible manipulator modeling theories and relevant experiments of scholars at home and abroad, systematically expounded the study status of the methods to describe the flexible manipulator deformations, the joint dynamics modeling, the dynamic modeling methods of flexible manipulator systems, the stiffening and softening effects of the arms and the experimental methods. Then this paper proposed the present problems and shortcomings of manipulator dynamics theory and experimental study, predicted the main direction and core technology of the flexible manipulator dynamics research and analyzed key technical problems about the optimal mode order selection of flexible manipulators in detail. The system parameter optimization based on the dynamic characteristics of flexible manipulators, the determination of joint driving laws, the stiffening and softening effects of manipulator arms under high speed, the fine modeling of flexible manipulator joints and the crawling phenomenon in the super low speed of space flexible manipulators were presented.

Key words:flexible manipulator; dynamics modeling; stiffness change; experimental study