張超　　陶婷　　王丹

(1．中國建筑設(shè)計咨詢有限公司，北京　100011;　2．蘇州海格納仿真科技有限公司，江蘇蘇州　215000)

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基于繞軸矩陣算法的超高層彈塑性動力時程分析

張超1陶婷2王丹2

(1．中國建筑設(shè)計咨詢有限公司，北京100011;2．蘇州海格納仿真科技有限公司，江蘇蘇州215000)

摘要:通過繞軸矩陣，創(chuàng)建荷載步的單元轉(zhuǎn)換張量，對超高層建筑進行了彈塑性動力時程分析，指出繞軸矩陣算法大幅度提高了計算效率，且計算精度可滿足大型超高層工程彈塑性時程分析的要求。

關(guān)鍵詞:繞軸矩陣，地震響應(yīng)，彈塑性損傷模型，應(yīng)力

0　引言

罕遇地震作用下的超高層建筑結(jié)構(gòu)往往進入非線性狀態(tài)，存在剛度損傷，同時由于變形對結(jié)構(gòu)剛度的影響較為顯著，這類問題可表征為材料非線性和幾何非線性，其中幾何非線性對剛度的影響主要通過瞬時應(yīng)力剛度矩陣和初位移剛度矩陣控制，由于大量采用梁單元模擬超高層建筑中的構(gòu)件，考慮在參考構(gòu)型中集成總剛度，單元剛度受到坐標方位變化的影響，表征單元物理量的。國內(nèi)外學(xué)者對超高層彈塑性時程分析中的幾何非線性問題研究較為投入，Klaus-Jūrgen Bathe和Said Bolourchi［1］推導(dǎo)了全積分方案的空間梁單元幾何非線性迭代算法。O Esmaili，S Epackachi和R Mirghaderi等［2］基于FEMA-356中的梁彎曲、剪切破壞函數(shù)模型和單軸混凝土材料三折線應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，分析一幢56層超高層居民樓的地震響應(yīng)，指出梁構(gòu)件屈服時間與整體結(jié)構(gòu)延性增長率的關(guān)系。陳政清［3］詳述了梁單元幾何非線性問題UL增量列式方法的詳細算法流程。

1　本構(gòu)關(guān)系

為提高計算效率，對梁單元采用基于截面積分點的單軸滯回本構(gòu)材料模型，對殼單元采用連續(xù)介質(zhì)彈塑性損傷本構(gòu)關(guān)系。

1．1Yassin模型

Yassin單軸本構(gòu)模型對混凝土受壓區(qū)的骨架曲線采用式(1)表達:

混凝土在受拉區(qū)的骨架曲線采用雙折線，下降段代表材料受拉軟化，加卸載方式與OpenSees中的Concrete01模型算法相同。

1．2彈塑性損傷模型

鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)在較大往復(fù)動力荷載作用下，主要表現(xiàn)出拉壓差異較大、受拉軟化、受壓軟化前強化、裂縫的開裂與閉合等非線性行為，本文采用標量損傷理論框架內(nèi)的彈塑性本構(gòu)積分模型，描述混凝土壓碎與拉斷損傷機制引起的剛度退化。由于有效應(yīng)力代表應(yīng)力張量的作用平面為損傷后的有效平面，故基于有效應(yīng)力描述的塑性狀態(tài)判斷更能準確反映受損材料的塑性行為。

Cauchy應(yīng)力張量與有效應(yīng)力張量的轉(zhuǎn)化關(guān)系如式(2)所示:

其中，d為標量形式的剛度退化變量，由一組硬化參數(shù)和有效應(yīng)力張量控制:

d滿足(1－d)=(1－stdc)(1－scdt)，0≤st，sc≤1。受拉與受壓退化變量分別由受拉時和受壓時的等效塑性應(yīng)變控制，將等效塑性應(yīng)變作為硬化變量，其演化方程為:

2　有限元數(shù)值模型

2．1遞推迭代格式

采用完全拉格朗日模型(TL)和Newmark隱式時間積分格式構(gòu)造平衡遞推關(guān)系式:

α——時間積分參數(shù);

M——質(zhì)量矩陣;

Δu(l)——第l迭代步的位移增量向量;

t+ΔtQ——t+Δt時刻的外力向量;

t+Δtu(l)——t+Δt時刻第l迭代步的總位移向量;

tu——t時刻的總位移向量;

v——速度向量;

a——加速度向量。

超高層結(jié)構(gòu)模型中的梁柱構(gòu)件均采用梁單元模擬，其局部坐標系隨構(gòu)型變化對單元剛度的影響通過式(6)考慮:

式中的α，β和γ均為梁單元旋轉(zhuǎn)時的Euler角，分別為:

上式均通過初始構(gòu)型單元坐標系與整體坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣以及t時刻參考于整體坐標系的位移向量進行計算，由于求解t+ Δt時刻的Euler角時，t時刻的整體系位移向量是已知的，故在下一時刻求解前迅速得到上述Euler角的數(shù)值，進而得到轉(zhuǎn)換矩陣t珔R，并應(yīng)用于調(diào)整梁單元幾何剛度。

式(4)的迭代收斂判據(jù)采用下式:

其中，F(xiàn)E－FT為由式(5)右端項計算的每個時間步迭代時的系統(tǒng)外力向量與內(nèi)力向量差值，通過內(nèi)力向量FT在迭代過程中不斷更新;ΔQ為由式(5)右端項計算的每個時間步迭代之前的系統(tǒng)外力向量與內(nèi)力向量差值;Norm2為向量的L2范數(shù)，δcrt為殘差判據(jù)值，取1×10－6。

結(jié)構(gòu)模型網(wǎng)格見圖1。

圖1　結(jié)構(gòu)模型網(wǎng)絡(luò)

2．2單元與材料參數(shù)

考慮Rayleigh阻尼模式中的質(zhì)量阻尼系數(shù)和剛度阻尼系數(shù)分別為1．087和0．000 205。梁單元混凝土材料骨架曲線上的峰值拉應(yīng)變?nèi)?．000 1，峰值拉應(yīng)力取2 600 kPa，殘余抗拉強度起始應(yīng)變?nèi)?．001，殘余抗拉強度取100 kPa，受壓區(qū)骨架曲線上第一個直線上升段末端壓應(yīng)變?nèi)?．001，對應(yīng)的壓應(yīng)力取22 800 kPa，受壓區(qū)峰值壓應(yīng)變和壓應(yīng)力分別取值0．002 77和32 700 kPa;筒體部分則通過完全積分殼單元進行模擬，殼單元材料采用1．2中的彈塑性損傷模型。超高層模型基底節(jié)點施加兩個水平方向的地震加速度，均采用CPC_TOPANGA CANYON_16_nor地震波，持續(xù)時間48．558 s，如圖2和圖3所示。

3　計算結(jié)果和分析

圖2　CPC_TOPANGA CANYON_16_nor地震波

圖3　CPC_TOPANGA CANYON_16_nor功率譜密度

圖5　第10 s的剪力墻受拉損云圖

圖4是梁柱混凝土材料壓縮模量云圖，底層剛度損傷幅度較大，經(jīng)過48 s的強震作用后，最大損傷幅度達到92．6%，底層靠近筒體的框架柱混凝土破壞最為嚴重。

圖5是筒體部分的混凝土剛度退化分布，損傷較大區(qū)域位于底層，由于在底部區(qū)域采取了加強措施，故加強區(qū)域的上層出現(xiàn)損傷，與實際情況相符。該算例模型沿豎向剛度分布較為均勻，證明本文基于繞軸矩陣算法的數(shù)值模型可以較好的反映強震作用下超高層模型的損傷分布。

參考文獻:

［1］Klaus-Jūrgen Bathe，Said Bolourchi．Large displacement analysis of three-dimensional beam structures［J］．International journal for numerical methods in engineering，1979(14):961-986．

［2］O Esmaili，S Epackachi，R Mirghaderi，et al．Rehabilitation of a high-rise coupled shear wall system in a 56-storey residential reinforced concrete building(Tehran Tower)，based on nonlinear dynamic time-history analyses［J］．Structural Design of Tall ＆Special Buildings，2011，20(8):1035-1047．

［3］陳政清．梁桿結(jié)構(gòu)幾何非線性有限元的數(shù)值實現(xiàn)方法［J］．工程力學(xué)，2014，31(6):42-52．

中圖分類號:TU313

文獻標識碼:A

文章編號:1009-6825(2016)17-0032-02

收稿日期:2016-04-16

作者簡介:張超(1982-)，男，碩士，工程師

Elasto-plastic time history analysis of super high-rise structure based on axis rotation matrix algorithm

Zhang Chao1Tao Ting2Wang Dan2
(1．China Building Design Consultants Co．，Ltd，Beijing 100011，China; 2．Suzhou Highgurnill Simulation Science＆Techonolgy Co．，Ltd，Suzhou 215000，China)

Abstract:The paper sets up the unit conversion tensor of the load step by the rotation matrix，undertakes the elasto-plastic time-history analysis of super high-rise structures，and points out the calculation efficiency was greaty improved by the matrix algorithm，the computational accuracy can meet the demands of the elasto-plastic time-history analysis of super high-rise structures．

Key words:axis rotation matrix algorithm，seismic response，elasto-plastic damage model，stress