李歡歡，姜偕富，唐超超

(杭州電子科技大學(xué)自動化學(xué)院，浙江 杭州 310018)

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一類時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則

李歡歡，姜偕富，唐超超

(杭州電子科技大學(xué)自動化學(xué)院，浙江 杭州 310018)

摘要：研究了一類時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.采用積分不等式法和時(shí)滯分解法，充分利用時(shí)變時(shí)滯的上界和下界等信息，構(gòu)造一個(gè)新的Lyapunov-Krasovskii泛函，并使用不同的積分不等式對Lyapunov-Krasovskii泛函求導(dǎo)過程中所產(chǎn)生的積分項(xiàng)進(jìn)行處理，得到了一個(gè)保守性更小的穩(wěn)定性準(zhǔn)則.最后通過數(shù)值實(shí)例驗(yàn)證了該準(zhǔn)則的有效性.

關(guān)鍵詞：時(shí)變時(shí)滯；積分不等式；穩(wěn)定性準(zhǔn)則

0引言

時(shí)滯現(xiàn)象存在于許多系統(tǒng)中，如制造業(yè)、電信、化工等，對系統(tǒng)性能有不利影響[1].一般情況下，人們主要對常時(shí)滯和時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)進(jìn)行研究，但大多情況下，適用于常時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)并不一定適用于時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)，所以，眾多學(xué)者主要對時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)進(jìn)行研究.為了減少已有成果的保守性，解決系統(tǒng)的時(shí)滯問題，使系統(tǒng)更穩(wěn)定地工作，學(xué)者們提出了許多有效的方法，如文獻(xiàn)[2]為減小固定權(quán)矩陣產(chǎn)生的保守性，在對時(shí)滯系統(tǒng)分析時(shí)采用了自由權(quán)矩陣法；文獻(xiàn)[3]采用了時(shí)滯分解的方法，但過多的分割區(qū)間增加計(jì)算的復(fù)雜度和仿真時(shí)間，使系統(tǒng)的運(yùn)行效率降低；文獻(xiàn)[4]在構(gòu)造泛函時(shí)引入了三重積分項(xiàng)，加入該項(xiàng)后并沒有明顯減小所得結(jié)果的保守性.上述文獻(xiàn)的一個(gè)共同點(diǎn)是對泛函求導(dǎo)過程中產(chǎn)生的積分項(xiàng)進(jìn)行處理時(shí)都使用了Jensen不等式，雖然Jensen不等式使用方便、簡單，但存在一定的保守性.文獻(xiàn)[5]引入了Wirtinger型積分不等式，在不影響所得結(jié)果保守性的前提下使用的決策變量數(shù)較少.但該方法主要用于未對時(shí)滯進(jìn)行分解的情況，因此，嘗試著將時(shí)滯分解法與Wirtinger型積分不等式結(jié)合使用，以得到保守性更小的穩(wěn)定性準(zhǔn)則，是一個(gè)有意義的研究問題.

本文針對一類具有時(shí)變時(shí)滯的線性系統(tǒng)，將時(shí)滯τ(t)分解為τ1(t)和τ2(t)兩部分，充分利用時(shí)變時(shí)滯的信息構(gòu)造一個(gè)Lyapunov泛函，針對泛函求導(dǎo)過程中所產(chǎn)生的不同積分項(xiàng)，采用不同的積分不等式進(jìn)行處理，得到了一個(gè)保守性更小的穩(wěn)定性準(zhǔn)則.

1系統(tǒng)描述

本文中，考慮如下區(qū)間時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)：

(1)

式中：x(t)∈Rn為狀態(tài)向量，A和B為已知的適當(dāng)維數(shù)的系統(tǒng)矩陣，φ(t)∈Rn為系統(tǒng)的初始條件，τ(t)為系統(tǒng)狀態(tài)時(shí)滯.滿足0≤τm≤τ(t)≤τM，其中τm,τM為常數(shù).

為了得到時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)保守性較小的穩(wěn)定性準(zhǔn)則，充分利用時(shí)滯信息，假設(shè)τ(t)=τ1(t)+τ2(t).其中0<τ1m≤τ1(t)≤τ1M,0<τm≤τ(t)≤τM，顯然τ1m≤τm,τ1M≤τM.

2穩(wěn)定性準(zhǔn)則

針對具有時(shí)變時(shí)滯的線性系統(tǒng)(1)，給出以下穩(wěn)定性準(zhǔn)則：

定理對于給定的τ1m,τ1M,τm,τM，若存在具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣P>0，Qi>0(i=1,2,3),Zj>0(j=1,2),Si(i=1,2),Xij,Yij,Zij,(1≤i≤j≤3)使得如下線性矩陣不等式成立，則式(1)所表示的系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.

(2)

(3)

(4)

Ω=δ12Z1+δ2Z2+τ1mX33+τMY33+τmZ33,δ1=τ1M-τ1m,δ=τM-τm

證明選取如下所示的Lyapunov-Krasovskii泛函：

(5)

將該泛函沿式(1)所示系統(tǒng)對時(shí)間t求導(dǎo)，得：

(6)

(7)

(8)

對式(6)中以下積分項(xiàng)采用文獻(xiàn)[7]的方法來處理，由引理2得：

(9)

(10)

(11)

綜上所述，如果定理1成立，則系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的.證畢.

為了充分利用時(shí)滯信息，本文將時(shí)滯區(qū)間劃分成非均勻的兩部分，從而更準(zhǔn)確地估計(jì)積分區(qū)間的上下界，這樣定義的泛函所得結(jié)果具有更小的保守性.對泛函求導(dǎo)過程中產(chǎn)生的交叉項(xiàng)進(jìn)行處理時(shí)，為了減少使用Jensen不等式帶來的保守性，本文采用了新的積分不等式進(jìn)行處理，從而得到一個(gè)較好的結(jié)果.

3數(shù)例

表1　3種方法得到的最大允許時(shí)滯上界比較

表2　2種方法得到的最大允許時(shí)滯上界比較

文獻(xiàn)[3]沒有對時(shí)滯τ(t)進(jìn)行分解，文獻(xiàn)[8]對積分項(xiàng)的處理采用與本文不同的不等式，但未使用時(shí)滯分解法.而本文對時(shí)滯τ(t)進(jìn)行了分解，同時(shí)使用新的積分不等式對泛函求導(dǎo)過程中產(chǎn)生的積分項(xiàng)進(jìn)行處理.由表1、2可以看出，本文將時(shí)滯分解法和不等式法結(jié)合起來使用后得到的穩(wěn)定性準(zhǔn)則保守性更小，從而說明了本文方法的有效性.

4結(jié)束語

本文研究了一類時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性問題.首先分析了先前文獻(xiàn)中存在的問題，然后針對這些問題，將不等式法和時(shí)滯分解法結(jié)合起來使用，并在處理積分項(xiàng)時(shí)使用不同的引理，以線性矩陣不等式形式得到一個(gè)新的穩(wěn)定性準(zhǔn)則.比較先前部分文獻(xiàn)，所得的穩(wěn)定性準(zhǔn)則具有更小的保守性，最后通過例子驗(yàn)證了該穩(wěn)定性準(zhǔn)則的有效性.

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A Stability Criterion for a Class of Systems with Time-varying Delay

LI Huanhuan, JIANG Xiefu, TANG Chaochao

(SchoolofAutomation,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

Abstract：This paper investigates a problem of time-varying delay stability criterion. By using integral inequality approach, a new Lyapunov-Krasovskii functional is established based on the information of the upper and lower bounds of time-varying delay. Different integral inequalities are adopted to deal with the integral terms of the Lyapunov-Krasovskii functional derivation and a less conservative stability criterion is obtained. Finally, a numerical example is given to examining the effectiveness of the stability criterion.

Key words：time-varying delay; integral inequality; stability criterion

DOI：10.13954/j.cnki.hdu.2016.04.011

收稿日期：2016-01-07

基金項(xiàng)目：浙江省自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(LZ13F030001)

作者簡介：李歡歡(1991-)，女，河南新鄉(xiāng)人，碩士研究生，控制科學(xué)與工程.通信作者：姜偕富教授,E-mail：jiangxf@hdu.edu.cn.

中圖分類號：TP273

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1001-9146(2016)04-0052-05