李太芳, 朱　進(jìn)

(1.渤海大學(xué) 工學(xué)院， 遼寧 錦州 121013; 2.渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 遼寧 錦州 121013)

?

具有混合變時滯的時變切換中立系統(tǒng)的魯棒指數(shù)穩(wěn)定性分析

李太芳*,1, 朱進(jìn)2

(1.渤海大學(xué) 工學(xué)院， 遼寧 錦州 121013; 2.渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 遼寧 錦州 121013)

摘要：研究了一類具有混合變時滯的時變切換中立系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性分析. 基于分段Lyapunov-Krasovskii泛函方法，引入自由權(quán)矩陣，給出了時變切換中立系統(tǒng)在滿足一定平均駐留時間切換條件下的指數(shù)穩(wěn)定判據(jù)條件.

關(guān)鍵詞：切換中立系統(tǒng)；時變時滯；指數(shù)穩(wěn)定

0引言

時滯往往是破壞動態(tài)系統(tǒng)性能的根源〔1〕. 近十幾年來，中立時滯系統(tǒng)(NDS)引起了眾多學(xué)者們的關(guān)注.NDS是一類特殊的時滯系統(tǒng)，其不僅在狀態(tài)中包含時滯，而且在狀態(tài)導(dǎo)數(shù)中也包含時滯. 因此，NDS也可被看作是更一般化的時滯系統(tǒng). 生產(chǎn)中，如鉆井系統(tǒng)、無損耗電路系統(tǒng)等都可以用NDS來建模. 對NDS理論性的研究屢見報道〔2-6〕. 另一方面，系統(tǒng)多模態(tài)的特性引發(fā)了眾多學(xué)者對切換系統(tǒng)的關(guān)注及研究.切換系統(tǒng)是由若干子系統(tǒng)及一個切換規(guī)則所構(gòu)成. 切換系統(tǒng)中連續(xù)動態(tài)與離散切換事件的并存使得對該系統(tǒng)的分析變得更加復(fù)雜. 近十幾年來，切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析及切換信號設(shè)計已成為控制領(lǐng)域的熱點問題之一〔7〕. 在切換技術(shù)中，由于慢切換的特性，平均駐留時間切換方法備受關(guān)注.

隨著對NDS及切換系統(tǒng)的深入研究，文獻(xiàn)〔8〕首次提出了切換中立系統(tǒng)(SNS)的概念，即一個切換系統(tǒng)的所有子系統(tǒng)均為NDS，并給出了SNS的穩(wěn)定性分析. 由于SNS中切換及時滯的共存為該系統(tǒng)的分析和設(shè)計增加了更大難度. 文獻(xiàn)〔9-11〕雖然都研究了SNS的穩(wěn)定性分析，然而他們只考慮了常時滯的情形. 現(xiàn)實中，變時滯更具有普遍性. 文獻(xiàn)〔12〕研究了變時滯SNS的穩(wěn)定性分析，但未考慮不確定性對系統(tǒng)性能的影響. 由于參數(shù)測量、數(shù)據(jù)輸入及一些不可預(yù)測性的誤差的存在，建模系統(tǒng)總會存在一定的不確定性. 即便是極小的不確定性也可能會導(dǎo)致整個系統(tǒng)的不穩(wěn)定.

基于以上分析，針對一類具有變時滯的時變SNS，分析了其在滿足一定平均駐留時間切換條件下的指數(shù)穩(wěn)定性. 首先，我們給出了時變SNS時滯相關(guān)的魯棒穩(wěn)定性判據(jù)條件，該條件不僅依賴于系統(tǒng)變時滯上界，同時也依賴于變時滯導(dǎo)數(shù)的上界; 其次，所獲得的結(jié)果包含了常時滯SNS穩(wěn)定性判據(jù)結(jié)果為特例; 最后，所獲得的指數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)條件同時也包含同類系統(tǒng)漸近穩(wěn)定條件為特例.

1問題描述

考慮一類具有混合變時滯的時變切換中立系統(tǒng)：

(1)

其中x(t)∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)，σ:[0,∞)→M={1,2,m}是系統(tǒng)的切換信號，τ(t)及h(t)分別表示離散變時滯和中立變時滯且滿足條件：

(2)

(3)

ΔAi(t)=DF(t)E1i,ΔBi(t)=DF(t)E2i

(4)

其中D,E1i,E2i是已知常值矩陣，F(xiàn)(t)滿足

F(t)FT(t)≤I

(5)

對應(yīng)切換信號σ, 存在一個切換序列{xt0:(i0,t0),…,(ik,tk)…|ik∈M，k=0,1,…}，該切換序列表明，當(dāng)t∈[tk,tk+1)時，子系統(tǒng)ik被激活.不失一般性，本文我們假設(shè)t0=0.

我們給出相關(guān)定義及引理.

定義1〔9〕對所有滿足條件(5)的矩陣F，如果存在常數(shù)k>0及λ>0滿足

‖x(t)‖≤k‖xt0‖c1e-λ(t-t0),?t≥t0

(6)

定義2〔7〕令Nσ(T1,T2)表示σ(t)在區(qū)間[T1,T2)內(nèi)的切換次數(shù). 對任意常數(shù)T2>T1≥0及給定的Ta>0，N0≥0，有Nσ(T1,T2)≤N0+(T2-T1)/Ta成立，則稱Ta為平均駐留時間.

引理1〔5〕對任意給定的適維矩陣Q=QT,H,E及所有滿足條件FTF≤I的矩陣F，Q+HFE+ETFTHT<0成立當(dāng)且僅當(dāng)存在標(biāo)量ε>0使得Q+εHHT+ε-1ETE<0.

2穩(wěn)定性分析

首先，我們給出系統(tǒng)(1)的指數(shù)穩(wěn)定判據(jù)條件.

(7)

則系統(tǒng)(1)在平均駐留時間滿足

(8)

的任意切換信號下是指數(shù)穩(wěn)定的，且系統(tǒng)狀態(tài)的衰減估計為

(9)

其中μ≥1滿足

(10)

(11)

證明定義分段Lyapunov-Krasovskii泛函

(12)

當(dāng)t∈[tk,tk+1)，沿著系統(tǒng)(1)的軌跡對Vi(xt)求導(dǎo)得：

(13)

其中

由蘇爾補引理及引理1可知，不等式

Vi(xt)≤eα(t-tk)Vi(xtk)

(14)

在切換時刻tk，由(10)式及(14)式得

(15)

令l=Nσ(t-t0)≤(t-t0)/T0，由(14)式及(15)式知

(16)

由(12)式得

(17)

由(16)式及(17)式得

(18)

則

由此可知，系統(tǒng)(1)指數(shù)穩(wěn)定.

考慮具有中立常時滯的切換中立系統(tǒng)：

(19)

考慮具有中立常時滯及離散常時滯的切換中立系統(tǒng)：

(20)

如果(7)式成立，則系統(tǒng)(20)在切換信號滿足(8)條件下是指數(shù)穩(wěn)定的，系統(tǒng)狀態(tài)的衰減估計為

3結(jié)論

本文給出了一類具有混合變時滯的時變切換中立系統(tǒng)在滿足一定平均駐留時間切換下的魯棒指數(shù)穩(wěn)定判據(jù)條件，并獲得系統(tǒng)的狀態(tài)衰減估計. 此外，研究結(jié)果包含了常時滯切換中立系統(tǒng)的情況為特例. 利用本文的研究方法，可以進(jìn)一步對變時滯切換中立系統(tǒng)的其他性能進(jìn)行展開研究.

參考文獻(xiàn):

〔1〕HALE J, LUNEL S. Introduction to functional differential equations〔M〕. New York: Springer-Verlag, 1993.

〔2〕CHEN W, ZHENG W. Delay-dependent robust stabilization for uncertain neutral systems with distributed delays〔J〕. Automatica, 2007, 43(1): 95-104.

〔3〕CHEN Y, XUE A, LU R, et al. On robustly exponential stability of uncertain neutral systems with time-varying delays and nonlinear perturbations〔J〕. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 2008, 68(8): 2464- 2470.

〔4〕ZHANG J, PENG S, QIU J. Robust stability criteria for uncertain neutral system with time delay and nonlinear uncertainties〔J〕. Chaos, Solitons & Fractals, 2008, 38(1): 160-167.

〔5〕QIU F, CUI B, JI Y. Further results on robust stability of neutral system with mixed time-varying delays and nonlinear perturbations〔J〕. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2010, 11(2): 895-906.

〔6〕蘇亞坤, 熱貝嘉措. 帶有時變時滯的中立型隨機系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定和H無窮控制〔J〕. 渤海大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2015， 36(1)： 24-31.

〔7〕LIBERZON D. Switching in Systems and Control〔M〕. Boston: Birkhauser, 2003.

〔8〕孫希明,付俊,孫洪飛，等. 一類切換線性中立時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析〔J〕. 中國電機工程學(xué)報, 2005, 25(23): 42-46.

〔9〕LIU D, ZHONG S, LIU X, et al. Delay-dependent robust stability and control synthesis for uncertain switched neutral systems with mixed delays〔J〕. Applied Mathematics and Computation, 2008, 202(2): 828-839.

〔10〕ZHANG Y, LIU X, ZHU H, et al. Stability analysis and control synthesis for a class of switched neutral systems〔J〕. Applied Mathematics and Computation, 2007, 190(2): 1258-1266.

〔11〕XIONG L, ZHONG S, YE M, et al. New stability and stabilization for switched neutral control systems〔J〕. Chaos, Solitons & Fractals, 2009, 42(3): 1800-1811.

〔12〕LI T, ZHAO J, DIMIROVSKI G. Stability and L2-gain analysis for switched neutral systems with mixed time- varying delays〔J〕, Journal of the Franklin Institute, 2011, 348(9): 2237-2256.

Robustexponentialstabilityanalysisforswitchedneutralsystemswithmixedtime-varyingdelays

LITai-fang1,ZHUJin2

(1.CollegeofEngineering,BohaiUniversity,Jinzhou121013,China;2.CollegeofMathematicsandPhysics,BohaiUniversity,Jinzhou121013,China)

Abstract：Thispaperfocusesonanalyzingrobuststabilityforaclassofswitchedneutralsystemswithmixedtime-varyingdelays.Firstly,basedonapiecewiseLyapunov-Krasovskiifunctionalapproach,byintroducingfree-weightingmatrices,asufficientconditionforexponentialstabilityisdevelopedforanarbitraryswitchingsignalsatisfyinganaveragedwelltimecondition.Thisconditionisgivenintermsoflinearmatrixinequalities,whichdependsonnotonlytheupperboundsofthetime-varyingdelaysbutalsotheupperboundsofthederivativesofthetime-varyingdelays.Last,wepointoutthattheresultproposedinthispaperincludingtheresultofswitcheddelaysystemsasaspecialcase.

Keywords：switchedneutralsystems;time-varyingdelay;exponentialstability

收稿日期：2015-11-18.

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目(No:61503041).

作者簡介：李太芳(1982-)，女，講師，主要從事切換系統(tǒng)理論方面的研究.

通訊作者：xiaofang0412@163.com.

中圖分類號：O231.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1673-0569(2016)01-0081-07