蘇亞坤，葉鳳彤

(渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 遼寧 錦州 121013)

?

帶有區(qū)間時(shí)滯隨機(jī)系統(tǒng)的非脆弱保成本控制器設(shè)計(jì)

蘇亞坤*，葉鳳彤

(渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 遼寧 錦州 121013)

摘要：研究一類(lèi)具有區(qū)間時(shí)滯的不確定隨機(jī)系統(tǒng)的保成本控制問(wèn)題.目的是設(shè)計(jì)一個(gè)非脆弱保成本控制率,進(jìn)而找到這個(gè)成本函數(shù)的上界，運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式的方法，找到保成本控制器設(shè)計(jì)的充分條件.最后通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明此方法的有效性.

關(guān)鍵詞：區(qū)間時(shí)滯；隨機(jī)系統(tǒng)；非脆弱保成本控制器

0引言

近年來(lái)，對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)的不穩(wěn)定性和差性能研究受到了廣大學(xué)者的廣泛關(guān)注〔1-5〕，魯棒控制理論成為研究時(shí)滯系統(tǒng)的一個(gè)重要方法.Chang 和 Peng最先介紹了保成本控制方法，這種方法的優(yōu)點(diǎn)是給出了一個(gè)系統(tǒng)性能指標(biāo)的上界.至今為止線性和非線性的隨機(jī)系統(tǒng)的保成本控制問(wèn)題已經(jīng)取得了很大的成就〔6-7，9-10〕，然而傳統(tǒng)的魯棒控制理論只考慮了系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，而忽略了控制器增益的不確定性，非脆弱控制問(wèn)題是設(shè)計(jì)一個(gè)對(duì)其自身微小變化非常敏感的控制器，因此它成為了控制領(lǐng)域的一個(gè)熱門(mén)話題〔4-5，9〕.

另一方面，依據(jù)時(shí)滯我們可以將隨機(jī)系統(tǒng)分為時(shí)滯相關(guān)系統(tǒng)〔3〕和時(shí)滯無(wú)關(guān)系統(tǒng)〔11〕，由于方法不同，當(dāng)時(shí)滯很小時(shí)，時(shí)滯相關(guān)系統(tǒng)的保守性較無(wú)時(shí)滯要小很多.區(qū)間時(shí)滯使得時(shí)滯在一個(gè)區(qū)間內(nèi)變化，并且這個(gè)時(shí)滯下限不局限為零，近年來(lái)對(duì)區(qū)間時(shí)滯的研究也比較多〔1，11〕.

然而，關(guān)于區(qū)間時(shí)滯的非脆弱保成本控制的報(bào)道還很少見(jiàn)，這激勵(lì)我們繼續(xù)研究，本文構(gòu)建Lyapunov函數(shù)，運(yùn)用線性矩陣不等式(LMI)方法，考慮到了時(shí)滯的上下界，設(shè)計(jì)了一個(gè)非脆弱保成本狀態(tài)反饋控制器，并且找到了性能函數(shù)的上界.通過(guò)實(shí)例說(shuō)明了該方法的有效性.

1問(wèn)題描述

考慮如下隨機(jī)系統(tǒng)

dx(t)=[(A+ΔA(t))x(t)+(Ad+ΔAd(t))x(t-τ(t))+B1u(t)]dt+

[(H+ΔH(t))x(t)+(Hd+ΔHd(t))x(t-τ(t))+B2u(t)]dω(t)

(1)

x(t)=φ(t),?t∈[-h2,0]

(2)

為了方便記憶，定義

A(t)=A+ΔA(t),Ad(t)=Ad+ΔAd(t),

H(t)=H+ΔH(t),Hd(t)=Hd+ΔHd(t).

(3)

D1,D2和E1,E2為具有恰當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣，F(xiàn)(t)是時(shí)滯不確定矩陣，滿足F(t)TF(t)≤I,?t.

引入系統(tǒng)(1)的成本函數(shù)：

(4)

Q,R是對(duì)稱(chēng)的正定常數(shù)矩陣.

本文主要目的是設(shè)計(jì)一個(gè)非脆弱狀態(tài)反饋控制器

u(t)=K(t)x(t)=(K+ΔK(t))x(t)

(5)

其中K(t)=K+ΔK(t),K為控制器增益，ΔK(t)為增益攝動(dòng)，滿足ΔK(t)=D3F(t)E3，D3,E3為具有恰當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣.下面將控制器(5)代入隨機(jī)系統(tǒng)(1)得到閉環(huán)系統(tǒng)

(6)

首先介紹本文用到的概念和引理，

定義2對(duì)于隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)(1)和成本函數(shù)(4)，若存在一個(gè)非脆弱控制率u*(t)和一個(gè)正數(shù)J*，使得所有允許的不確定參數(shù)，閉環(huán)系統(tǒng)(6)均方漸近穩(wěn)定且系統(tǒng)的成本函數(shù)(4)滿足J≤J*,則J*稱(chēng)為該系統(tǒng)的非脆弱成本函數(shù)的一個(gè)上界，u*(t)稱(chēng)為該系統(tǒng)的一個(gè)非脆弱保成本控制率.

引理2對(duì)于給定滿足FTF≤0的矩陣D,E和F和一個(gè)常數(shù)ε>0，有下面的不等式成立：DEF+ETFDT≤εDDT+ε-1EET.

引理3對(duì)于任意常數(shù)矩陣M∈Rn×n,M=MT>0,常數(shù)γ>0，向量函數(shù)x(t):[a,b]→Rn構(gòu)成的一個(gè)積分式，有下面的不等式成立：

2主要結(jié)果

在這部分，運(yùn)用Lyapunov-Krasovskii理論和線性矩陣不等式的方法，設(shè)計(jì)了一個(gè)隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的非脆弱狀態(tài)反饋控制器.

首先，先介紹一些將要用到的零等式，

(7)

(8)

(9)

其中任意矩陣N,S和M具有恰當(dāng)維數(shù).

在矩陣中

在反饋控制(5)中K=RE-1, 則成本函數(shù)有下面上界

證明應(yīng)用舒爾補(bǔ)引理得到

令F=KE,得到

其中(1,1)=(ΔA(t)+B1ΔK(t))E+E(ΔA(t)+B1ΔK(t))T.

由引理2可知，對(duì)于給定的常數(shù)ε1>0，ε2>0，有下面的不等式成立

由等式

可知

因此，可以得到

其中

矩陣Π分別前乘后乘對(duì)角矩陣diag{E-1,E-1,E-1,E-1,I,I},得到

其中

Λ13=[S1-M1-N1-S1-M1]

Λ23=[S2-M2-N2-S2M2],

考慮如下形式的隨機(jī)Lyapunov-Krasovskii泛函：

(11)

取V(t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，有dV(t)=LV(t)d(t)+{2xT(t)E-1g(t)}dω(t)，

且

x(t-h1)-xT(t-h2)Q2x(t-h2)-(1-d)xT(t-τ(t))Q3x(t-τ(t))+

(12)

根據(jù)引理3很容易得到下面的不等式成立

(13)

(14)

(15)

將(7)-(9)和(13)-(15)代入到不等式(12)可以得到

LV(t)≤ζT(t)Π*ζ(t)+Γ(dω(t))

(16)

其中

因此，有

dV(t)≤-{xT(t)(Q+KT(t)RK(t))x(t)}dt+

Γ(dω(t))+{2xT(t)E-1g(t)}dω(t)

以上說(shuō)明閉環(huán)系統(tǒng)(6)是隨機(jī)均方漸近穩(wěn)定的.

對(duì)不等式(16)兩邊從0到T積分，然后取數(shù)學(xué)期望，于是得到不等式

因?yàn)殚]環(huán)系統(tǒng)(6)是隨機(jī)漸進(jìn)穩(wěn)定的，所以當(dāng)T→∞時(shí)，EV(T) →∞.

綜上，定理1證明完畢.

3數(shù)值例子

給出隨機(jī)系統(tǒng)(1)的參數(shù)矩陣

取初始函數(shù)x(t)=[0.5et-0.5et]T，t∈[-0.16,0].這篇文章最主要的目的是設(shè)計(jì)這個(gè)非脆弱保成本控制器，在這我們令成本函數(shù)中Q=I,R=0.5I,F(t)=I時(shí)滯h1=0.01,h2=0.16,然后用Matlab求解LIM(10)，我們得到下面的結(jié)果：

ε1=0.0153，ε2=0.0401.

由此，我們解決了非脆弱保成本控制問(wèn)題，這個(gè)控制器如下

4結(jié)論

研究了帶有時(shí)滯的不確定隨機(jī)系統(tǒng)的非脆弱保成本控制，構(gòu)建相應(yīng)的Lyapunov-Krasovskii函數(shù)，運(yùn)用了Lyapunov理論和LMI方法找到了非脆弱保成本控制器存在的一個(gè)充分條件，這使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，并且找到了系統(tǒng)成本函數(shù)的一個(gè)上界.最后數(shù)值例子也證明了該方法的有效性.

參考文獻(xiàn):

〔1〕代慧娟.帶有區(qū)間時(shí)滯的線性系統(tǒng)的魯棒控制〔J〕． 渤海大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)， 2012, 33(1): 11-15．

〔2〕李同濤,鄧麗,費(fèi)敏銳,等.一類(lèi)帶有隨機(jī),有界時(shí)滯網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的脈沖控制〔J〕.控制與決策, 2013, 28(2): 294-298.

〔3〕張冬梅,俞立.線性時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析綜述〔J〕.控制與決策, 2008, 23(8): 841-849.

〔4〕宮亞梅,顏鵬,游春霞.基于LMI的時(shí)滯隨機(jī)系統(tǒng)非脆弱保成本控制〔J〕.火力與指揮控制, 2010, 35(10): 114-117.

〔5〕沈浩,徐勝元,趙環(huán)宇,等.隨機(jī)切換時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒非脆弱保成本控制〔J〕. 南京理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2009, 33(3): 293-296.

〔6〕ZHANGJ,SHIP,QIUJ.Non-fragileguaranteedcostcontrolforuncertainstochasticnonlineartime-delaysystems〔J〕.JournaloftheFranklinInstitute, 2009, 346(7): 676-690.

〔7〕CHENH,ZHUC.Delay-dependentexponentialstabilityforuncertainneutralstochasticlinearsystemswithintervaltime-varyingdelay〔J〕.IETControlTheory&Applications, 2012, 6(15): 2409-2418.

〔8〕QIUJ,ZHUX,SUL.Non-fragileguaranteedcostcontrollerdesignofuncertainnon-linearstochasticneutralsystemswithdistributeddelays〔J〕.ProceedingsoftheInstitutionofMechanicalEngineers,PartI:JournalofSystemsandControlEngineering, 2010, 224(8): 904-917.

〔9〕SUL,ZHUX,QIUJ.Non-Fragileguaranteedcostcontrolforanon-linearstochasticsystemwithbothdistributeddelaysandinputdelays〔J〕.Circuits,Systems,andSignalProcessing, 2011, 30(6): 1503-1520.

〔10〕SENTHILKUMART,BALASUBRAMANIAMP.Delay-dependentrobuststabilizationandcontrolfornonlinearstochasticsystemswithMarkovianjumpparametersandintervaltime-varyingdelays〔J〕.JournalofOptimizationTheoryandApplications, 2011, 151(1): 100-120.

〔11〕CHANGSSL,PENGT.Adaptiveguaranteedcostcontrolofsystemswithuncertainparameters〔J〕.AutomaticControl,IEEETransactionson, 1972, 17(4): 474-483.

Non-fragileguaranteedcostcontrolforstochasticsystemswithdelay-range-dependent

SUYa-kun,YEFeng-tong

(CollegeofMathematicsandphysics,BohaiUniversity,Jinzhou121013,China)

Abstract：Theproblemofnon-fragileguaranteedcostcontrolforaclassofstochasticuncertainsystemswithdelay-range-dependentisconsidered.Thetimedelayisassumedtobeofintervaltype.TheaimistodesignaNon-fragileguaranteedcostcontrollawandtoobtaintheupperboundofthequadraticcostfunction.ArobuststabilizationconditionispresentedintermoftheLyapunovstabilitytheoryandthelinearmatrixinequalities(LMIs)approach.Furthermore,asufficientconditionfortheexistenceoftheguaranteedcostcontrollerisconstructed.Finally,anumericalexampleisprovidedtodemonstratetheapplicationoftheproposeddesignmethod.

Keywords：delay-range;stochasticsystems;non-fragileguaranteedcostcontrol

收稿日期：2015-11-15.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(No:61403043); 遼寧省教育廳項(xiàng)目(No:L20144046); 遼寧省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(No:2015020060).

作者簡(jiǎn)介：蘇亞坤(1977-)，女，博士，副教授，主要從事非線性系統(tǒng)控制和濾波設(shè)計(jì)方面的研究.

通訊作者：yasuyifan@163.com.

中圖分類(lèi)號(hào)：

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1673-0569(2016)01-0062-08