董　亮,王春艷，馬　媛

(渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 遼寧 錦州 121013)

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Horave引力理論中Park黑洞有質(zhì)量標(biāo)量場的似正規(guī)模

董亮,王春艷*，馬媛

(渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 遼寧 錦州 121013)

摘要：利用三階WKB近似方法，計算了Horave引力理論中Park黑洞的有質(zhì)量標(biāo)量場擾動下的似正規(guī)模頻率．當(dāng)其它參數(shù)確定時，隨著標(biāo)量場質(zhì)量的增加，似正規(guī)模頻率的實部也增加，而虛部的絕對值則減?。摬亢蛯嵅渴请S著標(biāo)量場的質(zhì)量做線性變化的．這些結(jié)論將有助于我們加深理解Horave引力理論．

關(guān)鍵詞：Horave引力， Park 黑洞， 似正規(guī)模，WKB近似

0引言

在Hifshitz模型的啟發(fā)下，Horave提出了一個新的四維引力理論模型〔1-3〕，該引力理論是一個可以冪次重整化的理論.在Horave引力理論中引入了高階空間曲率項，使得在高能領(lǐng)域中洛侖茲對稱性遭到了破壞，從而該引力避免了廣義相對論重整化的困難．而在低能領(lǐng)域，該理論會自動流向廣義相對論．這一理論自提出之日起就引起了廣大物理學(xué)者的興趣，該理論在宇宙學(xué)方面的應(yīng)用〔3-8〕已被廣泛研究，一些球?qū)ΨQ黑洞解已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)〔9-12〕，并且這些黑洞的熱力學(xué)性質(zhì)也被廣泛研究〔13-16〕.

黑洞的似正規(guī)模是微擾場在黑洞時空中演化的第二個階段，此時波的頻率是復(fù)數(shù)且與初始的擾動無關(guān)，只與背景時空的基本參數(shù)有關(guān).因此，它能夠為判斷黑洞是否存在提供理論依據(jù).似正規(guī)模還涉及到黑洞的穩(wěn)定性判斷和黑洞量子化等問題〔17〕.鑒于此，對各種典型黑洞的似正規(guī)模的研究一直是學(xué)者們熱衷的話題〔18-22〕.

本文將利用三階WKB近似方法，討論Horave引力理論中Park黑洞有質(zhì)量標(biāo)量場的似正規(guī)模頻率.

1度規(guī)和有質(zhì)量標(biāo)量場的似正規(guī)模

對一般的四維黑洞進(jìn)行(3+1)維(或ADM)分解，可以得到〔23〕

(1)

其中N≡(-g00)-1/2叫做時移，Ni≡g0i叫做位移，gij是度規(guī)系數(shù)，i,j分別取0，1，2，3.

在Horave引力理論中，引入一個修正因子μ4R，則相應(yīng)的作用量可以寫成

(2)

其中Kij是外曲率張量，Cij是克頓張量，ΛW是任意宇宙學(xué)參數(shù)，κ,υ,λ,μ,ω分別是常參數(shù)．作用量中的最后一項代表弱破缺細(xì)致平衡條件〔1〕．

當(dāng)ΛW=0時，Kehagias 和Sfetsos給出了靜態(tài)球?qū)ΨQ漸進(jìn)平直黑洞解〔11〕，而Mu-In Park 給出了參數(shù)ΛW取任意值時的一般解〔12〕．當(dāng)考慮ΛW>0和w<0時，漸進(jìn)de sitter Park黑洞解的度規(guī)線元為

(3)

其中度規(guī)系數(shù)

(4)

有質(zhì)量標(biāo)量場滿足的Klein-Gordon 方程為

(5)

(6)

其中r*是烏龜坐標(biāo)．有效勢V(r)為

(7)

有效勢在烏龜坐標(biāo)的視界處指數(shù)地衰減為零．從上式可以看出有效勢與r，微擾場的角量子數(shù)l，宇宙學(xué)常數(shù)ΛW，標(biāo)量場的質(zhì)量u以及參數(shù)ω有關(guān)，但本文只討論標(biāo)量場的質(zhì)量u對似正規(guī)模的影響．我們令黑洞的質(zhì)量為M=1．

圖1描繪了有效勢V(r)隨著標(biāo)量場質(zhì)量u的變化情況．從圖中我們可以看出，有效勢以勢壘的形式存在．當(dāng)其它參數(shù)取確定值時，勢壘的峰值隨著標(biāo)量場質(zhì)量的增加而增大，而且峰值所在的位置rp沿著橫軸向右移動．

2有質(zhì)量標(biāo)量場的似正規(guī)模

WKB近似方法最初是被用來處理量子力學(xué)中的粒子勢壘貫穿問題.由于黑洞時空中微擾場的有效勢相當(dāng)于量子力學(xué)中一個有限高勢壘，且微擾方程的形式與Schr?dinger方程形式相似，Schutz 和Will利用該半經(jīng)典近似法來計算黑洞時空的低階似正規(guī)模頻率〔24〕. 后來，Iyer 和Will把該方法發(fā)展到三階〔25〕，大大提高了計算結(jié)果的精度.在三階WKB 近似方法中，計算黑洞似正規(guī)模頻率的公式為

(8)

其中

(9)

(10)

把勢函數(shù)式(7)帶入到三階WKB近似公式(8-10)中，我們就可以得到Horave引力理論中Park黑洞在有質(zhì)量標(biāo)量場似正規(guī)模頻率，圖2和圖3描繪了似正規(guī)模頻率的實部和虛部絕對值隨標(biāo)量場質(zhì)量的變化關(guān)系．

3結(jié)論

本文利用三階WKB近似方法計算了Horave引力理論中Park黑洞在有質(zhì)量標(biāo)量場擾動下的似正規(guī)模頻率．從所得數(shù)值結(jié)果及圖像分析可知，似正規(guī)模頻率的實部隨著標(biāo)量場質(zhì)量的增加而增加，而似正規(guī)模頻率虛部的絕對值隨著標(biāo)量場質(zhì)量的增加而減少，這一現(xiàn)象說明標(biāo)量場的質(zhì)量減緩了似正規(guī)模的衰減，卻增加了它的振蕩頻率．另外，從圖中可以看到似正規(guī)模頻率是隨著標(biāo)量場質(zhì)量做線性變化的．

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QuasinormalmodesofmassivescalarfieldofParkblackholeinHoravagravity

DONGLiang，WANGChun-yan,MAYuan

(CollegeofMathematicsandPhysics,BohaiUniversity,Jinzhou121013,China)

Abstract：Usingthethird-orderWKBapproximation.WeevaluatethequasinormalfrequenciesofmassivescalarfieldperturbationaroundParkblackinHoravagravity.Wefindthatasthescalarfieldmassincreasewhentheotherparametersarefixed,sodotherealpartsandthemagnitudesoftheimaginarypartsofthequasinormalsfrequenciesdecrease.Theimaginarypartsarealmostlinearlyrelatedtotherealparts.TheseinformationwillhelpusunderstandmoreabouttheHoravagravity.

Keywords：Horavagravity;Parkblackhole;quasinormalmodes;WKBapproximation

收稿日期：2015-02-05.

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目(No：11271055).

作者簡介：董亮(1991-)，男，渤海大學(xué)碩士研究生，主要從事黑洞物理方面的研究.

通訊作者：loveyan-zi@126.com.

中圖分類號：P145. 8

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1673-0569(2016)01-0019-05