向　玲,鄢小安,陳　濤（華北電力大學(xué)機(jī)械工程系，河北　保定071003）

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基于PolyMAX方法的懸臂梁振動(dòng)模態(tài)分析

向玲,鄢小安,陳濤
（華北電力大學(xué)機(jī)械工程系，河北保定071003）

摘要：為分析某懸臂梁的振動(dòng)模態(tài)，根據(jù)錘擊法模態(tài)測試流程，利用PolyMAX方法對(duì)懸臂梁的傳遞函數(shù)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)估計(jì)和識(shí)別。利用有限元軟件和歐拉梁理論仿真并計(jì)算該懸臂梁前五階固有頻率和振型。結(jié)果表明：對(duì)懸臂梁的實(shí)驗(yàn)分析結(jié)果和理論值、仿真值吻合良好，說明錘擊法的模態(tài)實(shí)驗(yàn)可靠，為以后分析相似結(jié)構(gòu)的模態(tài)提供參考。

關(guān)鍵詞：錘擊法；懸臂梁；模態(tài)分析；振型

河北省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（E2013502226）

0 引　言

模態(tài)分析是為識(shí)別系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動(dòng)特性分析、振動(dòng)故障診斷和預(yù)報(bào)以及結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供依據(jù)，在工程振動(dòng)領(lǐng)域中有重要應(yīng)用價(jià)值[1]。目前，Niels Saabye Ottosen等[2]討論了錘擊法對(duì)地基板和梁進(jìn)行模態(tài)分析中遇到的常見問題。周云等[3]在其基礎(chǔ)上利用PloyMAX方法對(duì)彈性地基板進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析，為地基參數(shù)識(shí)別和損失診斷提供了手段。劉軍等[4]利用自主開發(fā)的試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析系統(tǒng)對(duì)某跑車車身進(jìn)行了模態(tài)分析，對(duì)試驗(yàn)?zāi)B(tài)的改進(jìn)具有推動(dòng)作用。根據(jù)文獻(xiàn)[5]可知利用Euler梁模型的固有特性可以在一定程度上模擬和反映汽輪機(jī)葉片的固有特性。因此，研究懸臂梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析有重要意義。鑒于此特殊功能的關(guān)系，本文利用錘擊實(shí)驗(yàn)中的PloyMAX法對(duì)某懸臂梁進(jìn)行了模態(tài)分析，為反映實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性，用ANSYS軟件仿真了懸臂梁模型，并利用傳遞矩陣法對(duì)懸臂梁進(jìn)行了理論計(jì)算。

1 LMS Test.Lab中PloyMAX振動(dòng)模態(tài)分析

1.1 LMS中的PloyMAX模態(tài)識(shí)別方法

LMS公司最新推出LMS Test.Lab中的PolyMAX模態(tài)識(shí)別方法，也稱為多參考點(diǎn)最小二乘復(fù)頻域法。起初該方法只用來導(dǎo)出迭代法極大似然估計(jì)的最優(yōu)初值，這種估計(jì)也稱為公分母傳遞函數(shù)模型。LSCF法超越其他參數(shù)估計(jì)技術(shù)最突出的優(yōu)點(diǎn)是它可以得出非常清晰的穩(wěn)態(tài)圖，多參考法的主要好處是SVD這一步驟能避免分解留數(shù)，密集空間可以分離出來。

其識(shí)別步驟與當(dāng)前作為工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)的最小二乘復(fù)指數(shù)法（LSCE）很相似：

1）建立穩(wěn)態(tài)圖，以判定真實(shí)的模態(tài)頻率、阻尼和參預(yù)因子；其通過建立可以線性化的直交矩陣分式模型：

2）基于正則方程消去系數(shù)β0以縮減最小二乘問題：

由此得到壓縮了的正則方程：

其余的分母多項(xiàng)式系數(shù)可通過求解下列最小二乘問題來得出：

圖1 集總傳遞函數(shù)穩(wěn)態(tài)圖

它對(duì)模態(tài)重疊較嚴(yán)重的高階和大阻尼系統(tǒng)，或者綜合頻響函數(shù)（FRF）數(shù)據(jù)受到嚴(yán)重的噪聲污染情況，都能給出清晰的穩(wěn)態(tài)圖，因此可以識(shí)別高密度密集模態(tài)。該方法進(jìn)行傳遞函數(shù)的模態(tài)分析非常流行。

1.2 PloyMAX法對(duì)懸臂梁振動(dòng)模態(tài)分析

對(duì)Euler懸臂梁進(jìn)行模態(tài)分析，梁的橫截面為圓截面，長度l=800 mm，直徑d=10 mm，將懸臂梁分為10段，每段80mm，測試過程中，采用逐步移位的多點(diǎn)激勵(lì)單點(diǎn)響應(yīng)法。拾振器使用一個(gè)加速度傳感器，固定于點(diǎn)3，激勵(lì)點(diǎn)從點(diǎn)1到點(diǎn)10逐步移動(dòng)，當(dāng)激勵(lì)1點(diǎn)（激勵(lì)信號(hào)）時(shí)，可測得一個(gè)響應(yīng)信號(hào)，依次類推，可得多個(gè)響應(yīng)，根據(jù)響應(yīng)可求出固有頻率，而實(shí)驗(yàn)中對(duì)每個(gè)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行多次平均，得到綜合頻響函數(shù)（FRF），然后通過LMS Test.Lab中模態(tài)分析系統(tǒng)對(duì)頻響函數(shù)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)估計(jì)。

錘擊法模態(tài)測試及分析流程[6]：

1）通道設(shè)置（Channel setup）。選擇Use Geometry來導(dǎo)入幾何建模中的Node name（幾何節(jié)點(diǎn)名稱Node 1～10），用來覆蓋通道設(shè)置中Point列中點(diǎn)的名字，分別對(duì)應(yīng)著懸臂梁的10個(gè)等間隔節(jié)點(diǎn)。然后將10節(jié)點(diǎn)連線，就建立了懸臂梁模型。

2）錘擊示波（Impact scope）。

3）錘擊設(shè)置（Impact setup），包括觸發(fā)級(jí)設(shè)置、帶寬設(shè)置、加窗設(shè)置、驅(qū)動(dòng)點(diǎn)設(shè)置等。

4）測量（Measure）。

5）數(shù)據(jù)驗(yàn)證（Validate）。

按照上述步驟進(jìn)行3次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，獲取較好的頻響函數(shù)（FRF）后，使用PloyMAX方法分析得到集總傳遞函數(shù)穩(wěn)態(tài)圖如圖1所示。選擇圖1中5個(gè)表現(xiàn)比較穩(wěn)定的S點(diǎn)標(biāo)識(shí)，其中S點(diǎn)標(biāo)識(shí)表示在這個(gè)位置出現(xiàn)了模態(tài)，然后利用PloyMAX方法對(duì)5個(gè)S點(diǎn)進(jìn)行模態(tài)識(shí)別，即可得到相應(yīng)的五階振型和固有頻率。得到的懸臂梁前五階固有頻率分別為10.980，67.720，190.319，372.229，614.474Hz，模態(tài)振型如圖2所示。

圖2 懸臂梁前五階振型圖

2 基于ANSYS的有限元計(jì)算模型

ANSYS分析選用了solid 20 node 186實(shí)體單元懸臂梁[7]，梁的橫截面為圓截面，長度l=800 mm，直徑d=10mm，彈性模量E=2.0×1011Pa，泊松比μ=0.3，密度ρ=7 800 kg/m3。按照上述懸臂梁參數(shù)，利用ANSYS對(duì)懸臂梁振動(dòng)頻率進(jìn)行求解，得到前五階頻率分別為11.060，69.278，193.830，379.030，626.180Hz。限于篇幅，只給出前3階模態(tài)振型，如圖3所示。

3 基于梁振動(dòng)理論的數(shù)值計(jì)算模型

3.1 建立歐拉伯努利梁模型

梁數(shù)值計(jì)算模型與上述ANSYS仿真模型選擇相同的參數(shù)，由于所選的懸臂梁質(zhì)量較輕，橫向振動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較小。另外，在分析前五階振型時(shí)，整個(gè)梁僅被節(jié)點(diǎn)平面分成有限的幾段，此時(shí)產(chǎn)生的剪切變形是可以忽略的。所以先不考慮梁剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，只考慮其彎曲變形，可利用傳遞矩陣法建立歐拉-伯努利梁力學(xué)分析模型。

建立歐拉-伯努利懸臂梁橫向自由振動(dòng)微分方程[8-9]為

式中：EI——梁的抗彎剛度；

m——線質(zhì)量密度，即m=ρA。

令y（x，t）=Y（x）eiωt，代入式（5）得：

其通解為

定義兩端點(diǎn)的狀態(tài)矢量為Z1，0和Z1，2，則總傳遞方程為

其中U為總傳遞矩陣。

邊界條件：

圖3 懸臂梁前三階振型圖

得特征方程：

步驟4：列車處理接收到信息，識(shí)別周圍的列車，判定自身是否處于危險(xiǎn)狀態(tài)，如果不處于危險(xiǎn)狀態(tài)，則判定周期是否結(jié)束；如果周期未結(jié)束，則判定本周期中本車是否已經(jīng)發(fā)送過信息；如果發(fā)送過信息，列車則將失敗計(jì)數(shù)清零并繼續(xù)接收信息，否則計(jì)算列車的優(yōu)先級(jí)并判斷是否為高優(yōu)先級(jí)。如果列車是高優(yōu)先級(jí)，則在下一個(gè)DZ到來時(shí)直接競爭資源。接著判定是否正處在限制競爭時(shí)期，如果不處于限制競爭時(shí)期或者限制時(shí)間已經(jīng)結(jié)束，則開始下一個(gè)DZ的流程。如果周期結(jié)束，則進(jìn)入下一個(gè)周期。

即

則固有頻率為

3.2 模型求解

結(jié)合Matlab軟件求解上述超越方程，并將梁的材料參數(shù)E，I等數(shù)值代入固有頻率方程，得到的結(jié)果如表1所示。

表1 固有頻率計(jì)算結(jié)果

利用Matlab軟件的plot命令畫出懸臂梁前二階振型，如圖4所示。

圖4 懸臂梁前二階振型圖

4 計(jì)算結(jié)果比較分析

ANSYS仿真值、理論計(jì)算解析值和錘擊法實(shí)驗(yàn)值的結(jié)果對(duì)比如表2所示。

表2 計(jì)算值、仿真值與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比

將上述懸臂梁理論解析值和前面各模型計(jì)算或分析值對(duì)比，并利用Matlab做成散點(diǎn)連線圖，見圖5?？梢悦黠@看出3種方法計(jì)算的結(jié)果擬合良好，誤差較小。

圖5 固有頻率散點(diǎn)連線圖

5 結(jié)束語

1）本文對(duì)懸臂梁結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行了多點(diǎn)激勵(lì)、單點(diǎn)響應(yīng)的模態(tài)實(shí)驗(yàn)，利用LMS Test. Lab軟件中PolyMAX方法對(duì)懸臂梁的傳遞函數(shù)進(jìn)行了模態(tài)參數(shù)估計(jì)和識(shí)別，并利用歐拉梁理論和有限元仿真模型測定了懸臂梁的低階固有頻率。通過3種結(jié)果的比較，可以看到三者具有很好的吻合性，證明該實(shí)驗(yàn)方法是成功的，為進(jìn)行其他相似結(jié)構(gòu)類型的模態(tài)分析提供了參考。

2）從本實(shí)驗(yàn)也可以看出振動(dòng)物體的約束對(duì)物體固有頻率有較大影響，在進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)應(yīng)多注意。

參考文獻(xiàn)

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（編輯：劉楊）

Vibration modal analysis of cantilevered beam based on PloyMAX method

XIANG Ling，YAN Xiaoan，CHEN Tao
（School of Mechanical Engineering，North China Electric Power University，Baoding 071003，China）

Abstract:In order to analyze the vibration modes of a cantilever beam，the PolyMAX method of software LMS Test. Lab is used to estimate and identify the modal parameters in the transfer functions of the cantilever beam according to the testing process of hammering method. Finite element software and Euler beam theory are used to simulate and calculate the first 5-order natural frequency and modal shape of the cantilever beam. The analytical results agree well with the theoretical value and the simulation value. This indicates that the modal experiment with hammering method is successful and can provide a reference for later model analysis of similar structures.

Keywords:hammer exciting method；cantilevered beams；modal analysis；modal shape

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1674-5124（2016）04-0132-04

doi：10.11857/j.issn.1674-5124.2016.04.028

收稿日期：2015-05-15；收到修改稿日期：2015-07-29

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11072078）

作者簡介：向玲（1971-），女，湖北隨州市人，教授，博士，研究方向?yàn)闄C(jī)械狀態(tài)檢測與故障診斷。