○課外測試○

高一數(shù)學(xué)測試

一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分)

1.2sin15°cos15°=______.

2.若x是1和5的等差中項,則x=______.

3.等比數(shù)列{an}中a5=1,a8=8,則公比q=______.

4.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,異面直線A1C1與BC所成角的大小為______.

5.已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和,若a1=1,公比q=2,Sn=511,則n=______.

6.已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S3=3,S9=21,則S6=______.

8.一個蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飛出去找回3個伙伴;第2天,4只蜜蜂飛出去,各自找回了3個伙伴.如果該過程繼續(xù)下去,第n天(n∈N*) 所有的蜜蜂都?xì)w巢后,蜂巢中蜜蜂的只數(shù)為______.

10.已知數(shù)列{an}中，a1=1,an+1=an+2n+1(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項公式an=______.

11.已知等差數(shù)列{an}中,a1>0,公差d<0,Sn是其前n項和，S3=S19,使得Sn取最大值時，n的值為______.

12.已知數(shù)列{an}的通項公式是an=-n2+12n-32,其前n項和是Sn,則對任意的n>m(其中m,n∈N*),Sn-Sm的最大值是______.

二、解答題(本大題共6小題，共90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

15.(本小題滿分14分)?ABC中,A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且2bcosB=acosC+ccosA.

(1)求B的大小;

16.(本小題滿分14分)如圖,四棱錐P-ABCD中,ABCD是平行四邊形.

(1)求證:AB∥平面PCD;

(2)E是線段PC上一點,且PE=2EC,設(shè)平面ABE與直線PD的交點為F,求PF∶FD的值.

17.(本小題滿分15分)已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0,a2,a4,a8依次成等比數(shù)列,a6=24,數(shù)列{an}的前n項和為Sn.

(1)求an,Sn;

(1)求cos 2α的值;

(2)求2α-β的值.

方案1：擴大為一個等腰直角三角形DEF,其中斜邊DE過點B,且與AC平行,DF過點A,EF過點C;

方案2：擴大為一個等邊三角形DEF,其中DE過點B,DF過點A,EF過點C.

(1)求方案1中?DEF面積S1的值;

(2)在方案2中,設(shè)∠DBA=θ,用θ表示?DEF的邊長f(θ)，并求出?DEF面積S2的最大值.

(1)當(dāng)m=12時,求a2 016的值;

(3)是否存在m,使S128m+3≥2 016成立,若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.

參考答案

一、填空題

5. 9;6.9;7.兩解;8.4n;

二、解答題

15.(1)∵2bcosB=acosC+ccosA,

∴2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,

∴2sinBcosB=sin(A+C)

=sin(π-B)=sinB.

∵B∈(0,π)，∴sinB>0,

(2)∵b2=a2+c2-2accosB,

∴a2+c2-ac=4.

①

∴(a+c)2=a2+c2+2ac=10.

②

由①②，得ac=2.

16.(1)∵ABCD是平行四邊形,

∴AB∥CD,

又∵AB?平面PCD,CD?平面PCD,

∴AB∥平面PCD.

(2)∵平面ABE與直線PD的交點為F,

∴EF?平面ABE.

∵AB∥平面PCD,

平面ABE∩平面PCD=EF,

∴AB∥EF. ∵AB∥CD,

∴EF∥CD,∴PF∶FD=PE∶EC=2.

17.(1)∵a2,a4,a8依次成等比數(shù)列,

即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),

整理,得a1d=d2.

∵d≠0,∴a1=d.

又∵a6=a1+5d=24,

∴a1=d=4,

∴an=4n,Sn=2n2+2n.

18.(1)解法1因為tanα=2,所以

又sin2α+cos2α=1,

解法2cos 2α=cos2α-sin2α

(2)解法1因為α∈(0,π),且tanα=2,

所以sin(2α-β)=sin 2αcosβ-cos 2αsinβ

解法2因為α∈(0,π),且tanα=2,

則等邊三角形的邊長

20.(1)an+24=an,所以a2 016=a24,

2km+m+7=(2k+1)m+7=52,

即(2k+1)m=45，

其中m≥7,m∈N,k∈N.

當(dāng)k=0時,m=45,成立;

當(dāng)k=1時,m=15,成立;

當(dāng)k=2時,m=9成立;

所以m可取9，15，45.

同理由a65=2,m可取30,15,10,6.

綜上得m=15.

(3)S128m+3=64S2m+a1+a2+a3

≥2 016,

由于m是整數(shù),左邊最大值是30,不等式不可能成立,所以不存在這樣的m.