高豐平

(湖北省孝昌縣第二高級中學，432900)

由一道聯(lián)考題看極坐標的應用

高豐平

(湖北省孝昌縣第二高級中學，432900)

本文先給出2016年3月湖北省七市(州)高三聯(lián)合考試理科第20題：

題目已知圓心為H的圓x2+y2+2x-15=0和定點A(1,0),B是圓上任意一點,線段AB的中垂線l和直線BH相交于點M,當點B在圓上運動時,點M的軌跡記為曲線C.

(1)求C的方程;

解法1(直角坐標法)

(2)由直線EF與直線PQ垂直,可得

(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,

=(1+k2)[xP·xQ-(xP+xQ)+1]

令1+k2=t,則t>1,上式成為

解法2(1)同上.

評注比較可見，相對于解法1,用極坐標有更少的代數(shù)運算,討論也更加簡單,其可操作性也更強.下面再舉兩例.

過點O作OH⊥MN,H為垂足,在直角三角形MON中,根據(jù)勾股定理，有

評注本例沒有用圓錐曲線的極坐標方程,但極坐標與參數(shù)方程的應用結合在一起，體現(xiàn)了極坐標在解題過程中的靈活性.

(1)求橢圓的方程;

(2)設A,B是橢圓上位于x軸上方的兩點,且直線AF1與直線BF2平行,AF2與BF1交于點P.

(ii)求證:PF1+PF2是定值.

所以PF1+PF2=2a-ep

綜上可見，正確地使用極坐標,可以避免復雜的計算,避免復雜的分類討論.在處理焦點弦的問題中,應用極坐標,會使這方面的問題變得簡單,也能夠提高解題的能力,通過類似的總結和探究,同學們學習圓錐曲線的興趣必將大大增加.