【摘 要】系統(tǒng)地討論了競(jìng)賽數(shù)學(xué)的幾種常用的解題理論、解題思維和方法。有助于解決競(jìng)賽數(shù)學(xué)中遇到的常見問(wèn)題。具有一定的可操作性。

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造法;反證法;數(shù)學(xué)歸納法;染色法;賦值法

隨著數(shù)學(xué)競(jìng)賽的發(fā)展，已逐步形成一個(gè)特殊的數(shù)學(xué)學(xué)科——競(jìng)賽數(shù)學(xué)。它涉及到數(shù)學(xué)競(jìng)賽的內(nèi)容、思想和方法;也涉及到數(shù)學(xué)競(jìng)賽教育和數(shù)學(xué)課外教育的本質(zhì)、方法、規(guī)律和途徑問(wèn)題。根據(jù)競(jìng)賽數(shù)學(xué)的題目特點(diǎn)，本文歸納出其中常見的幾種解題思維方法。

一、構(gòu)造法

解題通常在問(wèn)題給定的系統(tǒng)里由題設(shè)推出結(jié)論。但對(duì)某些問(wèn)題（例如存在性問(wèn)題，條件與結(jié)論相距較遠(yuǎn)的問(wèn)題等），直接推理有時(shí)不能順利進(jìn)行，因而不得不尋找某種中介工具溝通條件和結(jié)論的聯(lián)系，這種通過(guò)構(gòu)造題目本身所沒(méi)有的解題工具，去實(shí)現(xiàn)解題的方法，就是構(gòu)造法。

例1： 證明 對(duì)于和為1的正數(shù) ?不等式

成立。

證明： 設(shè)A是不等式的左邊，構(gòu)造

說(shuō)明B的構(gòu)造受下式啟發(fā)

=

下面求證：利用不等式即得

二、反證法

一個(gè)命題，當(dāng)我們不易或無(wú)法直接證明時(shí)，就應(yīng)當(dāng)想到用反證法嘗試。可以概括為：若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)出矛盾。

例2：試證 （1）如果正整數(shù)n使方程x3-3xy3+y3=n有一組解（x，y）那么這個(gè)方程至少有三組整數(shù)解。

（2）當(dāng)n=2891時(shí)，上述方程無(wú)整數(shù)解。

證明：（1）設(shè)（x0，y0）是方程的一個(gè)解，令x0=y0+y1，

則（y0+y1）3-3（y0+y1）y02+y03=n化簡(jiǎn)后得（-y0）3-3（-y0）y12+y13=n。

所以（x1，y1）=（-y0，x0-y0）也是方程的解，且（x1，y1）≠（x0，y0）。事實(shí)上 若x1=x0，y1=y0，則-y0=2y0，得y0=0，x0=0。代入原方程得n=0，這與n是自然數(shù)矛盾。

再令，代入已知方程，化簡(jiǎn)后得。

所以也是方程的一個(gè)解。類似上面局部反證，又證，，故方程有3組不同的解。

（2）假設(shè)有整數(shù)，

因?yàn)樗浴?/p>

這只有下列三種情形可行，，。

根據(jù)（1）所證同時(shí)為方程的解，故后兩種情況又歸結(jié)為第一種情況，令代入已知方程有

而2891≡2（mod9），方程兩邊對(duì)模9不同余，矛盾，故已知方程無(wú)整數(shù)解。

三、數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中最基本也是最重要的方法之一。它在數(shù)學(xué)各個(gè)分支都有廣泛應(yīng)用。其實(shí)質(zhì)在于：將一個(gè)無(wú)法（或很難）窮盡驗(yàn)證的命題轉(zhuǎn)化為證明兩個(gè)普通命題：“p（1）真”和“若p（k）真，則p（k+1）真”，從而達(dá)到證明目的。

例3：已知對(duì)任意，有，求證：。

證明：（1）當(dāng)時(shí)，由，命題成立。

（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立。即

當(dāng)因?yàn)?/p>

又

于是

因?yàn)椋?所以

又因?yàn)?，?/p>

解得 （舍去）.

所以時(shí)命題也成立。從而對(duì)，命題成立。

四、染色法

染色法，即是指根據(jù)問(wèn)題的情境，把問(wèn)題的對(duì)象適當(dāng)?shù)厝旧先舾煞N顏色，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為染色問(wèn)題而加以解決的一種解題思想方法。

用染色法解題，其關(guān)鍵是根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)娜旧椒▽?duì)問(wèn)題的對(duì)象進(jìn)行染色，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的或易于解決的問(wèn)題。

例4：有17位科學(xué)家，其中每一個(gè)人和其他所有的人通信。他們的通信中只討論三個(gè)題目。求證：至少有三個(gè)科學(xué)家相互之間討論同一個(gè)題目。

證明：用平面上無(wú)三點(diǎn)共線的17個(gè)點(diǎn)分別表示17位科學(xué)家。17點(diǎn)間兩兩連線。兩位科學(xué)家若討論第一個(gè)題目，則把對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)間連線染上紅色，若討論第二個(gè)題目，則把對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)間連線染上黃色，若討論第三個(gè)題目，則把對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)間連線染上藍(lán)色，于是只需證明這17個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中存在同色三角形。

考慮以為端點(diǎn)的線段。由抽屜原則知，這16條線段中至少有6條同色，不妨設(shè)為紅色，現(xiàn)考察連接的15條線段：若其中至少有一條紅色線段（如），則同色三角形已出現(xiàn)（紅色△）;若沒(méi)有紅色線段，則這15條線段只有黃色和藍(lán)色，所以一定存在同色三角形（黃色或藍(lán)色三角形）。問(wèn)題得證。

五、賦值法

對(duì)于某些數(shù)學(xué)競(jìng)賽問(wèn)題，若能根據(jù)問(wèn)題的具體情況，合理地、巧妙地對(duì)某些元素賦值，特別是賦予確定的特殊值（如+1或-1，0或1等），往往能使問(wèn)題數(shù)值化、直觀化、簡(jiǎn)單化，這就是賦值法。

例5： 有男孩、女孩共n個(gè)圍坐在一個(gè)圓周上（n≥3），若順序相鄰的3個(gè)人中恰有一個(gè)男孩的有a組，順序相鄰的3個(gè)人中恰有一個(gè)女孩的有b組，

求證：3|a-b ?。

證明：將n個(gè)孩子依次賦值：

，

，則相鄰三個(gè)值的和

，且。

設(shè)取值為3的Ai有c個(gè)，取值為-3的Ai有d。依題意，取值為1的Ai有b個(gè)，取值為-1的Ai有a個(gè)，則

故3|a-b ?。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳傳理.競(jìng)賽數(shù)學(xué)教程.北京：高等教育出版社，1996年第一版

[2]張同君.競(jìng)賽數(shù)學(xué)解題研究.北京：高等教育出版社，2000年第一版

作者簡(jiǎn)介：

錢曉平（1979～），助教，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，2003 年畢業(yè)于南昌大學(xué)數(shù)學(xué)系，現(xiàn)任教于新余學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院。