柳國(guó)麗 薛新蓮

摘 要：針對(duì)學(xué)生反應(yīng)的電動(dòng)力學(xué)中的數(shù)學(xué)困難問題做了以下改革。首先，由物理專職教師有側(cè)重性地集中講解數(shù)學(xué)問題；疏清知識(shí)點(diǎn)，穿插在習(xí)題講解中；最后利用一些類比來理解數(shù)學(xué)中抽象的概念。

關(guān)鍵詞：電動(dòng)力學(xué)；數(shù)學(xué)；教學(xué)改革

中圖分類號(hào)：G642文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：2095-9214（2016）07-0103-02

一、目前現(xiàn)狀及存在問題

電動(dòng)力學(xué)是大學(xué)物理類本科生的必修課程之一，是學(xué)生進(jìn)行基礎(chǔ)物理學(xué)理論知識(shí)訓(xùn)練的核心課程，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)更高等的基礎(chǔ)課和各類專業(yè)課必不可少的準(zhǔn)備專業(yè)課程。它包括宏觀經(jīng)典電磁場(chǎng)理論和狹義相對(duì)論的理論，這都是需要學(xué)生熟練掌握的內(nèi)容。大學(xué)生對(duì)于該課程的學(xué)習(xí)是本科生教育中至關(guān)重要的一環(huán)。但是目前理工科本科學(xué)生普遍感到電動(dòng)力學(xué)難學(xué)。其中一個(gè)重要原因就在于：學(xué)生往往不能快速有效地掌握并熟練應(yīng)用電磁場(chǎng)理論所依賴的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)——微積分方程。因?yàn)橐牒芎玫伛{馭電動(dòng)力學(xué)中微積分計(jì)算，不僅要有較好的物理思想，而且要有好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。這樣，初學(xué)者常常從一開始就感到電動(dòng)力學(xué)課程枯燥無(wú)味、難以上手；上課聽講似懂非懂、云里霧里，下課做題更無(wú)從下手。

數(shù)學(xué)方面的困難主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：首先，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差。這主要是兩方面原因造成的。其一，很多大學(xué)中物理專業(yè)的數(shù)學(xué)課程大多是由數(shù)學(xué)專業(yè)的老師講授的，數(shù)學(xué)專業(yè)老師在物理專業(yè)知識(shí)方面的欠缺往往不能講解數(shù)學(xué)方程所包含的物理內(nèi)涵，這使得數(shù)學(xué)的講解不能偏向物理專業(yè)的課程需要。其二，很多知識(shí)點(diǎn)講解比較空乏，比較靠后的、在課程最后提到的某些知識(shí)，老師講解的時(shí)候往往一帶而過甚至不講理，學(xué)生必然似懂非懂，這就欠了很多帳，而這往往恰恰是我們物理中所要用到的。比如著名的斯托克斯定理，大多數(shù)學(xué)生都不能深入理解并熟練運(yùn)用，不能理解它在物理領(lǐng)域中的重要內(nèi)涵和應(yīng)用。因此，還需要在電動(dòng)力學(xué)的教學(xué)中補(bǔ)足這些相關(guān)知識(shí)的教授并輔以必要的練習(xí)。

其次，數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)較多，而且引入了比較抽象的概念，這造成學(xué)生普遍不能熟悉這些知識(shí)點(diǎn)。即使勉強(qiáng)記住也不能領(lǐng)會(huì)其意義，更不用說應(yīng)用了。電動(dòng)力學(xué)中常常用到的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)如梯度，散度，旋度，點(diǎn)積，矢積，并積，各種正交坐標(biāo)系，張量等等，學(xué)生往往學(xué)了后面忘了前面的，更不用說熟練地進(jìn)行相關(guān)應(yīng)用和推導(dǎo)。

最后，不能將抽象的數(shù)學(xué)與它的物理意義聯(lián)系起來。學(xué)生往往對(duì)物理概念不清楚。比如，散度和旋度是學(xué)習(xí)電動(dòng)力學(xué)首先接觸到的兩個(gè)概念，他們的數(shù)學(xué)與物理之間的對(duì)應(yīng)是眾多學(xué)生深感困惑和頭疼的難題。于是他們就在學(xué)習(xí)最初就對(duì)這門課程產(chǎn)生畏難情緒，一直到最后。甚至有學(xué)生學(xué)完后問我：“老師，電動(dòng)力學(xué)里面為什么有那么多的數(shù)學(xué)？”

二、針對(duì)這幾個(gè)問題的對(duì)策

因?yàn)閿?shù)學(xué)如此重要，以至于它決定了我們是否能夠進(jìn)入這門課程的學(xué)習(xí)，所以我們決定不要怕在數(shù)學(xué)上費(fèi)時(shí)間，而專門多花些時(shí)間在數(shù)學(xué)方面，抓住學(xué)習(xí)電動(dòng)力學(xué)的敲門磚。

針對(duì)以上這幾方面的問題，我們有的放矢，做出了以下幾個(gè)方面的舉措，取得了一定的成績(jī)。秉承適合學(xué)生的就是最好的教學(xué)方法、教無(wú)定法的原則，我們?cè)诮虒W(xué)中摸索以下關(guān)于數(shù)學(xué)方面的對(duì)策。

1.先不惜余力地強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)對(duì)于物理學(xué)習(xí)的重要性并集中補(bǔ)充數(shù)學(xué)知識(shí)，精心挑選典型例題，結(jié)合例題講解某個(gè)或某幾個(gè)數(shù)學(xué)定理的運(yùn)用

我們?cè)谡n程伊始，就隆重告訴學(xué)生物理的精髓的載體就是數(shù)學(xué)公式，物理之美的體現(xiàn)也往往是用簡(jiǎn)潔漂亮的數(shù)學(xué)公式來表達(dá)。因此我們學(xué)習(xí)的第一步是要掌握好數(shù)學(xué)工具，具有從數(shù)學(xué)公式中鑒賞物理之美的能力，我們才能在萬(wàn)物之理的海洋里暢游無(wú)阻。引導(dǎo)學(xué)生以輕松愉快的心情帶著物理思想去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，才有可能在以后明白數(shù)學(xué)式子所包含的物理意義。這是學(xué)好數(shù)學(xué)的第一步，重在防止學(xué)生心理的不重視而造成態(tài)度上的不認(rèn)真，從而浪費(fèi)掉入門的恰當(dāng)時(shí)機(jī)。

集中講解，讓學(xué)生對(duì)我們將要用到的數(shù)學(xué)有直觀感受；仔細(xì)選擇例題，使得例題涵蓋比較難的數(shù)學(xué)式子的應(yīng)用，使學(xué)生能力在處理具體問題的過程得到提高。我們還把教師講解與學(xué)生積極參與有機(jī)地結(jié)合起來，引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)各種公式的學(xué)習(xí)和領(lǐng)會(huì)，并體會(huì)它的物理意義，從而產(chǎn)生鉆研本課程內(nèi)容的興趣。通過我們的嘗試，取得了一定的效果。

2.我們將盡可能地把數(shù)學(xué)公式與物理真實(shí)對(duì)應(yīng)起來

由于數(shù)學(xué)專業(yè)的老師講課往往不能側(cè)重于物理知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，那么我們?cè)谡n程前二到三次時(shí)間里集中將式子引入物理真實(shí)，將物理中用到的數(shù)學(xué)式子單獨(dú)摘出來，重點(diǎn)講解，并且重點(diǎn)偏向于應(yīng)用。至于證明，給學(xué)生指定權(quán)威的參考文獻(xiàn)，以供學(xué)有余力的學(xué)生查閱。

3.針對(duì)物理中用到的知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)講解；并布置習(xí)題，讓學(xué)生分組完成

一般教師會(huì)在第一次講解后留一些比較難而且典型的習(xí)題，讓學(xué)生分組完成。這種看似浪費(fèi)時(shí)間的行為將在以后整個(gè)課程學(xué)習(xí)和教學(xué)中大大受益。

現(xiàn)在物理專業(yè)的課程學(xué)時(shí)一般都很緊張，需要老師不停地講解，往往抽不出時(shí)間來做其他課外的師生交流。但是恰恰是四大力學(xué)之一的電動(dòng)力學(xué)，即使課時(shí)緊張，也要抽出時(shí)間來解決數(shù)學(xué)問題。

分組就是其中一個(gè)解決辦法。分組的好處在于：學(xué)生的程度不同，著眼點(diǎn)不同，分組討論時(shí)，可以相互碰撞出火花；另外，也有利于先進(jìn)帶動(dòng)、促進(jìn)后進(jìn)，無(wú)形中減輕了教師的壓力。

分組采取的形式一般為：（1）在第一次課結(jié)束后，學(xué)生找時(shí)間進(jìn)行第一次討論。針對(duì)老師留下的難處理的問題給出初稿，然后老師參加第二次討論，針對(duì)學(xué)生的初稿指出不足。（2）搜集學(xué)生第一次討論后的認(rèn)為的難點(diǎn)、容易混淆的點(diǎn)，讓學(xué)生每個(gè)組寫出自己的心得體會(huì)和解決方法。群策群力，學(xué)生一般會(huì)在這種解決問題中提高自己的認(rèn)識(shí)，鍛煉了自己的能力。

經(jīng)過這樣的分組討論和梳理思路，學(xué)生已經(jīng)對(duì)學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)有了初步的應(yīng)用能力。

4.借助于一些較不那么抽象的概念或者實(shí)物來理解抽象的數(shù)學(xué)公式和概念

散度和旋度是我們首先接觸并且貫穿始終的兩個(gè)物理量，一定要把它的意義吃透。在定義的基礎(chǔ)上，首先形象給學(xué)生說明：從一個(gè)點(diǎn)向外發(fā)射“射線”，穿過緊緊包圍著這個(gè)點(diǎn)的一個(gè)小球面，散度是那穿過小球面的射線的通量；而一個(gè)量繞著一個(gè)很小的圓環(huán)，而這個(gè)量的旋度就是垂直穿過這個(gè)小圓環(huán)的量，方向用右手判斷，四指沿圓環(huán)的給定方向，拇指豎起，就是該旋度方向。

如果學(xué)生還表示不理解，那么我們可以借助水流把上面說明中的散度和旋度具體化。設(shè)想水從一個(gè)源頭流出，不同大小、不同水流量的源頭在不同時(shí)間內(nèi)流出的水體積不同，為了表征這種不同，引入了散度的概念。注意這里散度是點(diǎn)量，因?yàn)樗奈锢硪饬x是在單位時(shí)間內(nèi)單位體積內(nèi)流水的體積。水流量是積分量，它的物理意義是就是單位時(shí)間內(nèi)流出的水量。這樣流水量就可類比于通量。散度是有正負(fù)的，有水涌出的源就有正的散度，有水涌入的源散度就為負(fù)。

在這種水流情況下，可以根據(jù)水中的渦旋旋轉(zhuǎn)的快慢不同，我們引入水流的旋度來描述渦旋旋轉(zhuǎn)的快慢。無(wú)旋就是沒有漩渦源。

我們還可以想象：有一條河，如果河水不流走，也沒有其他水源、泉水加入，那么散度就是零。進(jìn)多少，出多少。你撒一大把黑白相間的小球進(jìn)入河流，如果小球都不旋轉(zhuǎn)，旋度就是零。轉(zhuǎn)得多，旋度大。

概括說來，我們可以通過流水來形象地理解散度和旋度：有水流出或流入的地方即為有散度；而旋度是因?yàn)橛袦u旋，有旋渦就有旋度。也就是說散度對(duì)應(yīng)源來說，旋度對(duì)應(yīng)旋而言。

總之，為了掃除數(shù)學(xué)這個(gè)障礙，我們需要在課程伊始就下大工夫，為我們以后學(xué)習(xí)、征服最終享受物理打好基礎(chǔ)，并使數(shù)學(xué)成為我們得心應(yīng)手的工具。

三、結(jié)論

電動(dòng)力學(xué)對(duì)于物理學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說是非常重要的課程，是進(jìn)一步進(jìn)入很多科學(xué)研究領(lǐng)域的基礎(chǔ)課程，但在學(xué)習(xí)伊始，就有很多同學(xué)因?yàn)閿?shù)學(xué)問題欠賬而對(duì)這門課的學(xué)習(xí)痛苦不堪。所以，我們針對(duì)電動(dòng)力學(xué)中的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行了自己的探索和改革，讓學(xué)生能夠積極主動(dòng)投入到這門課程的學(xué)習(xí)之中。同時(shí)由于學(xué)習(xí)的相通性，這種能力的提高必然在后續(xù)物理知識(shí)的學(xué)習(xí)上讓學(xué)生受益無(wú)窮。

（作者單位：鄭州大學(xué)物理工程學(xué)院）

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