劉超 謝紅英

摘 要：“負(fù)負(fù)得正”在數(shù)學(xué)上是一種規(guī)定，它具有超驗(yàn)性.基于有效現(xiàn)實(shí)情境和數(shù)學(xué)情景的整合使用，可以實(shí)現(xiàn)初中生對(duì)該法則的較高水平的認(rèn)知.對(duì)教師來(lái)說(shuō)，有必要知悉“負(fù)負(fù)得正”在數(shù)學(xué)歷史發(fā)展長(zhǎng)河中的“主要故事情節(jié)”，以便在教學(xué)中適時(shí)、適切地展示問(wèn)題提出與問(wèn)題解決的思維過(guò)程.

關(guān)鍵詞：負(fù)負(fù)得正；情景模型；數(shù)學(xué)模型；整數(shù)環(huán)公理系統(tǒng)；數(shù)學(xué)認(rèn)知

在有理數(shù)乘法教學(xué)中，“負(fù)負(fù)得正”的教學(xué)是一個(gè)難點(diǎn).調(diào)研發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)“負(fù)負(fù)得正”的認(rèn)識(shí)大都停留在“這是數(shù)學(xué)上的一個(gè)規(guī)定”的層次，并沒(méi)有理解其中的算理；教師對(duì)“負(fù)負(fù)得正”的理解主要是基于特定模型的解釋、驗(yàn)證，并沒(méi)有從數(shù)學(xué)的角度闡釋“負(fù)負(fù)得正”.負(fù)數(shù)從提出到被認(rèn)可經(jīng)歷了近兩千年的時(shí)間，“負(fù)負(fù)得正”要一下子理解確實(shí)也困難.我們的教科書用近乎半頁(yè)紙就把“負(fù)負(fù)得正”給“解決”了，總感覺(jué)有失妥當(dāng).基于此，我們需要反思，對(duì)于“負(fù)負(fù)得正”，教師應(yīng)該知道什么？鞏子坤教授指出：“從知識(shí)發(fā)生的角度看，負(fù)數(shù)的產(chǎn)生并不是演繹證明的結(jié)果.教學(xué)中適當(dāng)?shù)亟榻B相關(guān)材料，可以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)有理數(shù)乘法法則的由來(lái)和合理性，前提是教師先要知悉這些知識(shí).”[1]筆者認(rèn)為，為了滿足學(xué)生的好奇心抑或說(shuō)為了遵循數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知規(guī)律，至少是教師層面，有必要知悉“負(fù)負(fù)得正”在數(shù)學(xué)歷史發(fā)展長(zhǎng)河中的“主要故事情節(jié)”，以備在課堂教學(xué)中遇到學(xué)生提問(wèn)時(shí)，可以用略略數(shù)語(yǔ)給學(xué)生做出解釋和說(shuō)明，也不至于讓學(xué)生云里霧里地一臉茫然.結(jié)合已有研究及個(gè)人反思，我們從以下幾個(gè)方面探究“負(fù)負(fù)得正”教學(xué)的有關(guān)問(wèn)題.

一、為什么“負(fù)負(fù)得正”難理解？

“負(fù)負(fù)得正”之所以難以理解，是因?yàn)樨?fù)數(shù)及其運(yùn)算的相關(guān)知識(shí)具有超驗(yàn)性.鞏子坤教授指出，負(fù)數(shù)超越了日常經(jīng)驗(yàn)，而學(xué)生仍然習(xí)慣于用測(cè)量的結(jié)果來(lái)表征數(shù)字，不能運(yùn)用推理的方法理解負(fù)數(shù)[2]91.從負(fù)數(shù)知識(shí)的發(fā)展史來(lái)看，數(shù)學(xué)家對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)知?dú)v經(jīng)了兩個(gè)一千年.一是，數(shù)學(xué)家花了一千年才得到負(fù)數(shù)概念；二是，又花了近一千年才承認(rèn)負(fù)數(shù)的存在.這兩千年的跨度預(yù)示了學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)及其運(yùn)算會(huì)存在巨大的困難.一代代數(shù)學(xué)家前赴后繼的工作才讓人們逐漸認(rèn)可了負(fù)數(shù).學(xué)生在課堂上學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)、“負(fù)負(fù)得正”時(shí)也會(huì)經(jīng)歷類似的過(guò)程.在初中生的認(rèn)知層面上，學(xué)生對(duì)“負(fù)負(fù)得正”認(rèn)知的較高層次就是“為了保持?jǐn)?shù)系擴(kuò)充過(guò)程中相關(guān)運(yùn)算律的一種合乎邏輯的規(guī)定”，遵守這一規(guī)定，運(yùn)算就能夠順利進(jìn)行.再者，負(fù)數(shù)最早出現(xiàn)于我國(guó)的《九章算術(shù)》，由于在解方程組的消元過(guò)程中遇到了“不夠減”的情形，為了表示小數(shù)減大數(shù)的結(jié)果，所以引入了負(fù)數(shù).由于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家更多關(guān)注負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，所以并沒(méi)有像西方那樣對(duì)負(fù)數(shù)有著太多的誤解（西方數(shù)學(xué)家對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)知是從關(guān)注負(fù)數(shù)存在的合理性起始的）[3].這一認(rèn)識(shí)也使數(shù)學(xué)教師反思：在教學(xué)中盡可能地先從實(shí)用的角度（現(xiàn)實(shí)情境模型）引入超驗(yàn)性的數(shù)學(xué)知識(shí)也不失為一種好的辦法.因此，教師在教學(xué)中應(yīng)盡可能地聯(lián)系實(shí)際，給出有關(guān)“負(fù)負(fù)得正”的一些實(shí)例和有效問(wèn)題情境，這些現(xiàn)實(shí)模型在一定程度上會(huì)幫助學(xué)生加深對(duì)“負(fù)負(fù)得正”的理解和認(rèn)知.

二、“負(fù)負(fù)得正”該如何教？

田載今先生指出，“負(fù)負(fù)得正”這條法則不容易理解，編寫教材時(shí)，編者們也為說(shuō)明這條法則的道理想了很多，各版本初中數(shù)學(xué)教材都是借助實(shí)際問(wèn)題為背景來(lái)說(shuō)明[4].由此，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平和認(rèn)知特征，創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境模型或數(shù)學(xué)模型來(lái)驗(yàn)證“負(fù)負(fù)得正”，幫助學(xué)生達(dá)到對(duì)有理數(shù)乘法法則的直觀理解（能用語(yǔ)言表達(dá)或者用自制模型驗(yàn)證），而不僅僅局限于程序化的理解，就顯得相當(dāng)重要了.賈隨軍博士也指出，由于“負(fù)負(fù)得正”的超驗(yàn)性，基于有效現(xiàn)實(shí)情境的解釋可以確保初中數(shù)學(xué)課程對(duì)數(shù)學(xué)嚴(yán)密性及推理的強(qiáng)調(diào)沒(méi)有超出其應(yīng)有的邊界[5]79.實(shí)際上，國(guó)內(nèi)外的數(shù)學(xué)教材大都是這么做的.調(diào)研發(fā)現(xiàn)，各版本教材中的驗(yàn)證“負(fù)負(fù)得正”成立的模型主要有兩類：現(xiàn)實(shí)情境模型和數(shù)學(xué)模型.具體涉及歸納模型、分配律模型、相反數(shù)模型、兩組具有相反意義的量的模型數(shù)軸模型、數(shù)軸模型以及分配率模型等.

彭啟科老師指出，現(xiàn)有的“負(fù)負(fù)得正”理解模型均存在著各種不足與缺陷[6].如歸納模型，“兩個(gè)因數(shù)變小了，而乘積卻變大了”，這與學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)相矛盾.那么究竟什么樣的驗(yàn)證模型才是好模型？為了進(jìn)行比較分析，筆者調(diào)研了部分國(guó)外數(shù)學(xué)教科書中關(guān)于“負(fù)負(fù)得正”的驗(yàn)證模型的應(yīng)用情況.分析發(fā)現(xiàn)，國(guó)內(nèi)外教科書關(guān)于“負(fù)負(fù)得正”驗(yàn)證模型的使用區(qū)別主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

一是國(guó)外教科書更加強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)模型的使用.注重基于數(shù)學(xué)自身特征，基于數(shù)學(xué)的本質(zhì)，用數(shù)學(xué)的思維、方法解決問(wèn)題，現(xiàn)實(shí)生活情境只作為引入而已.相比之下，我國(guó)教科書應(yīng)用了較多的現(xiàn)實(shí)生活情境，基于學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)給出合理解釋，幫助學(xué)生理解法則的合理性.之所以出現(xiàn)這種差異，究其原因，首當(dāng)其沖的則是東西方的不同數(shù)學(xué)傳統(tǒng).以我國(guó)為代表的東方數(shù)學(xué)自古以來(lái)就重視辯證思維，注重應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)理論聯(lián)系實(shí)際；西方數(shù)學(xué)則重視數(shù)學(xué)抽象與形式邏輯，強(qiáng)調(diào)推理論證；再者，我國(guó)教科書對(duì)現(xiàn)實(shí)情境模型的較多應(yīng)用也與課改理念遙相呼應(yīng)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)知過(guò)程.

二是與國(guó)內(nèi)教科書相比，國(guó)外教科書側(cè)重同時(shí)選用兩種模型進(jìn)行解釋說(shuō)明.如“新加坡版（原）（1982版）”“美國(guó)加州3版（2008版）”都選用“歸納模型”和“相反數(shù)模型”兩種模型.“新加坡版（原）”先用“歸納模型”得到猜想，再用“相反數(shù)模型”進(jìn)行驗(yàn)證；“美國(guó)加州3版”先用“相反數(shù)模型”得到猜想，再用歸納模型進(jìn)行驗(yàn)證[7].由此，我們不禁要反思：第一，究竟什么樣的“解釋模型”或者“數(shù)學(xué)模型”是驗(yàn)證或解釋“負(fù)負(fù)得正”的好模型？第二，借鑒國(guó)外教科書，數(shù)學(xué)模型和現(xiàn)實(shí)情境模型的整合使用是否有必要？若有必要，應(yīng)如何選用、搭配？

三是我國(guó)和美國(guó)的各版本教科書在表述“負(fù)負(fù)得正”時(shí)只用文字語(yǔ)言，而新加坡版本（1982版、2007版）的教材則用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言（In general， where a and b represent positive integer）. 實(shí)際上，《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中的相關(guān)論述——“經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和圖形描述現(xiàn)實(shí)世界的過(guò)程，建立初步的數(shù)感和符號(hào)感，發(fā)展抽象思維”[8]，就是要求讓學(xué)生應(yīng)用字母或代數(shù)式等數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)表征抽象的數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律，逐步發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感和抽象思維能力.從這一層面來(lái)看，新加坡的數(shù)學(xué)教科書更加重視培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)感和抽象能力.因此，建議教科書中對(duì)“負(fù)負(fù)得正”的論述應(yīng)同時(shí)使用文字論述和代數(shù)符號(hào)表征.

三、幾點(diǎn)反思

如上，我們結(jié)合國(guó)內(nèi)眾多專家學(xué)者的研究，從幾個(gè)不同的角度分析了“負(fù)負(fù)得正”的相關(guān)內(nèi)容，關(guān)于“負(fù)負(fù)得正”的認(rèn)知與教學(xué)，我們給出如下幾點(diǎn)建議.

1.教學(xué)中不能為了“創(chuàng)設(shè)情境”而創(chuàng)設(shè)情境，如果選擇的“負(fù)負(fù)得正”生活情境學(xué)生不易理解，那就應(yīng)該考慮從數(shù)學(xué)本身出發(fā)，尋求直接的、更接近數(shù)學(xué)本質(zhì)的方法解決問(wèn)題.例如，兩組具有相反意義的量的現(xiàn)實(shí)模型，雖然直觀，但由于涉及其中的幾個(gè)變量關(guān)系極為復(fù)雜，學(xué)生理解起來(lái)比較困難，更不可能從中歸納概括出有理數(shù)乘法法則.原人教實(shí)驗(yàn)版教材的“蝸牛爬行問(wèn)題”背景就是由于涉及時(shí)間和方向的相反量，導(dǎo)致學(xué)生理解起來(lái)有不小的難度，所以修訂版教材就以“觀察數(shù)值變化規(guī)律”取代之.

2.根據(jù)顧泠沅先生的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平分層，學(xué)生對(duì)“負(fù)負(fù)得正”法則的認(rèn)知有以下四個(gè)層次：只記住“負(fù)負(fù)得正”；通過(guò)模型的解釋，學(xué)生能夠接受“負(fù)負(fù)得正”；通過(guò)模型的解釋，學(xué)生能夠接受“負(fù)負(fù)得正”，并能用自己的語(yǔ)言進(jìn)行表征；學(xué)生理解算理，并能自主構(gòu)建適當(dāng)?shù)哪Ｐ瓦M(jìn)行表征和闡釋.其中，后兩個(gè)方面的認(rèn)知為高水平認(rèn)知.因此，在使用模型解釋“負(fù)負(fù)得正”時(shí)，要結(jié)合初中生的認(rèn)知水平和認(rèn)知特征，選取或編制符合學(xué)生實(shí)際的模型.教師首先應(yīng)考慮應(yīng)用現(xiàn)實(shí)情境模型使學(xué)生對(duì)“負(fù)負(fù)得正”達(dá)到低水平的認(rèn)知；在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用“歸納模型”或其他數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)“負(fù)負(fù)得正”的高水平認(rèn)知.但也應(yīng)意識(shí)到，由于“負(fù)負(fù)得正”的超驗(yàn)性，培養(yǎng)學(xué)生的高水平認(rèn)知也要適度，不能有過(guò)高的要求.教師應(yīng)選擇合適的內(nèi)容素材進(jìn)行適時(shí)、適度訓(xùn)練，一以貫之，方能有效.正如鞏子坤教授指出的，有理數(shù)乘法運(yùn)算的教學(xué)目標(biāo)定位是“熟練地進(jìn)行有理數(shù)乘法運(yùn)算，對(duì)于一部分學(xué)生，能夠結(jié)合例子或者模型來(lái)說(shuō)明運(yùn)算結(jié)果的合理性”[2]93.

3.解釋、驗(yàn)證“負(fù)負(fù)得正”的現(xiàn)實(shí)情境模型和數(shù)學(xué)模型的使用如何取舍？張奠宙先生曾指出：“世界上還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)一個(gè)為大家普遍接受的‘負(fù)負(fù)得正的實(shí)際情境.”[9]賈隨軍博士通過(guò)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)各版本教材的考察發(fā)現(xiàn)，從數(shù)學(xué)本身解釋“負(fù)負(fù)得正”法則的比例大約占了6成.他指出，從數(shù)學(xué)本身入手是解釋“負(fù)負(fù)得正”法則合理性的重要角度，因?yàn)閿?shù)學(xué)本身是情境問(wèn)題的重要來(lái)源[5]79.實(shí)際上，多數(shù)教師在呈現(xiàn)“負(fù)負(fù)得正”法則時(shí)，使用有關(guān)數(shù)學(xué)模型時(shí)會(huì)用到涉及負(fù)數(shù)的乘法交換律和結(jié)合律，與數(shù)學(xué)自身體系“規(guī)定運(yùn)算法則在先，驗(yàn)證運(yùn)算律是否成立在后”相矛盾.結(jié)合初中生實(shí)際，對(duì)該問(wèn)題的處理可以“仁者見(jiàn)仁”.考慮到初中生的認(rèn)知水平，我們認(rèn)為應(yīng)在遵循數(shù)學(xué)知識(shí)體系的同時(shí)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，故選擇數(shù)軸模型、歸納模型等是適切的.當(dāng)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性與學(xué)生的可接受性產(chǎn)生矛盾時(shí)，就需要數(shù)學(xué)教師展示智慧，兩者兼顧地化解矛盾.此外，應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)模型和現(xiàn)實(shí)情境模型的整合使用，使現(xiàn)實(shí)模型的“解釋”作用與數(shù)學(xué)模型的“驗(yàn)證”作用相得益彰，在解釋“負(fù)負(fù)得正”合理性的同時(shí)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)該法則的高認(rèn)知水平的理解.

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