陳才學，劉偲艷，蘭永紅（湘潭大學信息工程學院，湖南湘潭411105）

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永磁同步電機二階迭代學習控制

陳才學，劉偲艷，蘭永紅
（湘潭大學信息工程學院，湖南湘潭411105）

摘要：針對永磁同步電機存在的周期性脈動問題，提出了一種二階PD-型迭代學習控制策略，該算法能夠有效實現(xiàn)最優(yōu)跟蹤控制。利用卷積的推廣Young不等式，獲得了系統(tǒng)跟蹤誤差在Lebesgue-p范數(shù)意義下嚴格單調收斂的充分條件。進一步，在定義Q因子的基礎上，將一階和二階迭代學習控制的收斂速度進行比較，獲得了二階迭代學習控制優(yōu)于一階迭代學習控制的充分條件。最后，仿真驗證了該方法的有效性。

關鍵詞：迭代學習控制；永磁同步電機；Lebesgue-p范數(shù)；跟蹤誤差

永磁同步電機（PMSM）由于其功率密度大、轉動慣量較小和效率高等明顯優(yōu)勢，而廣泛應用于先進制造領域的伺服傳動和機器人技術，但其轉速脈動問題一直被認為是工業(yè)應用中不可忽視的問題［1］。為盡量減小永磁同步電機轉速脈動，實現(xiàn)最優(yōu)跟蹤控制，多種方案曾被提出。這些方案大致可分為兩大類［1］：第1類通過改進永磁同步電機的設計，使其更接近于理想狀態(tài)，從而減小轉速脈動。如斜槽和分數(shù)槽繞組［2］，但這并不能完全消除電磁、負載轉矩，反而增加電機造價；第2類通過改善電機的主控系統(tǒng)來抑制脈動分量。文獻［3］使用諧波電流注入法消除諧波，文獻［4］提出一種自適應控制技術，文獻［5］提出利用在線估計技術的閉環(huán)控制算法。這些控制技術能較好地減小轉速，但都依賴于PMSM精確的數(shù)學模型。迭代學習控制（ILC）利用歷史信息構成當前控制量，不依賴控制系統(tǒng)的精確模型，只根據(jù)實際與目標輸出的誤差來產生控制信號，使系統(tǒng)沿目標軌跡快速精確跟蹤［6-7］；文獻［8］提出ILC控制方法，但只利用系統(tǒng)當前的信息，沒有應用歷史信息。高階ILC利用歷史迭代數(shù)據(jù)構造學習律，可以獲得更高的跟蹤精度［9-12］。文獻［9］證明了高階ILC規(guī)則跟蹤性能更好。

本文提出二階PD-ILC，通過比例、積分的配置可獲得快速、高精度的跟蹤控制，在定義Q因子的基礎上對二階ILC誤差收斂速度與一階ILC誤差收斂速度進行比較，最后，通過Matlab仿真及實驗證明了系統(tǒng)的有效性。

1　PMSM數(shù)學模型

對于表面貼裝式永磁同步電機，同步旋轉（d-q）坐標下的等效數(shù)學模型為

式中：id，iq為d，q軸定子電流；ud，uq為d，q軸定子電壓；L，R分別為定子電感、電阻；ω為轉子機械角速度；Ψf為永磁體產生的磁鏈；J為轉動慣量；B為摩擦系數(shù)；TL為電機負載轉矩；p為同步電機的極對數(shù)。

由永磁同步電機數(shù)學模型可知，PMSM各狀態(tài)量之間存在耦合關系，增大了PMSM控制系統(tǒng)的難度。這里運用id=0控制策略對PMSM進行解耦線性化，即令定子電樞直流分量的期望電流值為零，設x1=iq，x2=w。PMSM數(shù)學模型可簡化為

2　迭代學習控制器

迭代學習作為一種有效的改善系統(tǒng)跟蹤性能的控制方法，其實際上是一種糾錯方法和存儲前一周期數(shù)據(jù)和錯誤信息的存儲器?？刂破饔嬎憷硐胼敵雠c實際輸出之間的誤差，生產新的控制量并存儲起來以便下一周期使用。

式（4）等價于動態(tài)系統(tǒng)：

式中：［0,T0］為運行持續(xù)時間；xk+1(t)，yk+1(t)，uk+1(t)分別為系統(tǒng)第k+1次迭代運行狀態(tài)量，控制輸出量和控制輸入量；A，B，C分別為相應維數(shù)的矩陣，且假設CB≠0。

L∈｛L(1)｝?｛L(c1,c2)｝對系統(tǒng)式（5）的控制過程被稱為迭代學習過程（ILP(L)）。ILP(L)目標為生成控制輸入量uk+1(t)，使系統(tǒng)式（5）的實際輸出yk+1(t)精確跟蹤目標yd(t)，即

定義跟蹤誤差為

定理：假設向量函數(shù)f：［0,T0］→Rm，f(t)= ［f1(t),…,fm(t)］T，那么向量函數(shù)f的Lebesgue-p范數(shù)［13］為

由文獻［14］可知：

即上確界范數(shù)

是Lebesgue-p范數(shù)的1個特例。

引理［14］：設標量函數(shù)g∈R和h∈R均可積，1≤p,q,r≤∞，1/r=1/p+1/q-1；則g·h∈R且||g·h(·)||r≤||g(·)||q||h(·)||p。當r=p，q=1，即為Young不等式||g·h(·)||r≤||g(·)||1||h(·)||p。

定義1：設｛ek(·)｝=｛ek(t)|ek(t)∈R,k=1,2,…, t∈［0,T0］｝是誤差極限為ek*(·)的收斂函數(shù)的集合。當k→∞時，有

且定義：

假設S(L,e*(·))是ILP(L)誤差極限為e?(·)的收斂函數(shù)數(shù)列的集合，定義ILP(L)的Q因子為

2.1二階PD型迭代學習策略

設yd(t),t∈［0,T0］為目標輸出，構造二階PD 型ILC規(guī)則(L(c1,c2))如下：

式中：下標k為迭代次數(shù)；Γp1，Γp0分別為一階、二階比例增益；Γd1，Γd0分別為一階、二階微分增益；c1,c2分別為一、二階迭代學習成分加權平均系數(shù)，滿足0＜c1＜1,0＜c2＜1，c1+c2=1；ek為目標輸出yd(t)與實際輸出yk(t)的誤差，ek=yd(t)-yk(t)。

由于x(0)=0，可得ek(0)=0,k=1,2,3,…。

結合式（5）、式（6），可得L(c1,c2)作用下系統(tǒng)跟蹤誤差為

對上式等式右邊最后一項采用分部積分得：

對上式等式兩邊分別取Lebesgue-p范數(shù)，并應用廣義Young不等式可得：

即可得：

2.2一階PD型迭代學習策略

假設式（6）中，當c1=1時，控制律退化為一階PD型ILC規(guī)則（L(1)）如下：

式（8）中Γp1,Γd1與式（6）相同，即uk(t)+Γp1ek(t)+ Γd1e?k(t)為式（6）一階成分。

結合（5）、式（8），可得L(1)作用下系統(tǒng)跟蹤誤差為

因為ek(0)=yd(0)-yk(0)=0，則上式可化簡為

對上式等式兩邊分別取Lebesgue-p范數(shù)，并應用廣義Young不等式可得：

整理可得：

令

即可得：

3　收斂速度分析

定義2：設L1,L2∈｛L(1)｝?｛L(c1,c2)｝為任意2個迭代學習規(guī)則，Qp（L1，e*(·)），Qp（L2，e*(·)）分別為ILP(L1)和ILP(L2)的Q因子。

由文獻［15］可知，Q因子越小，收斂速度越快。從而L(1),L(c1,c2)收斂速度快慢的比較問題轉換為Q因子值大小的比較問題。

二次多項式ρ2-c1ρ1ρ-c2ρ2被稱為ILP(L(c1,c2))的特征多項式。那么，不等式（9）解的范圍在特征多項式2個零點內，即：

由于c1+c2=1，又ρ＞0。則上述不等式等價于0＜ρ＜F(c1)。這里

根據(jù)Q因子的定義，可得Qp(L(c1,c2),0)= F（c1）。若ILP(L(c1,c2))收斂，則L(c1,c2)收斂速度和Q因子Qp(L(c1,c2))可通過分析F(c1)的值來確定。對F(c1)進行微分可得：

假設1：若ρ12＞ρ2，那么

上式表明F′(c1)＞0，即F(c1)嚴格增，可得：

所以

證明ILP(L(c1,c2))誤差收斂速度比ILP(L(1))的快。

Qp(L(c1,c2),0)=F(c1)=ρ1=Qp(L(1),0)

證明ILP(L(c1,c2))誤差收斂速度與ILP(L(1))相當。

假設3：若ρ12＜ρ2，那么

又因為

可得

所以F′(c1)＜0，即F(c1)嚴格減，可得：

所以

證明ILP(L(c1,c2))誤差收斂速度比ILP(L(1))的慢。

從上述分析可得，比例增益Γp1,Γp0和微分增益Γd1,Γd0的值決定不同的ρ1,ρ2的值，決定ILP(L(c1,c2))收斂速度與ILP(L(1))收斂速度的關系。

4　數(shù)值仿真

為了驗證永磁同步電機在控制規(guī)律作用下的轉矩跟蹤效果，在Matlab2011平臺上進行仿真。永磁同步電機額定參數(shù)為：轉動慣量J=9×10-3kg·m2，極對數(shù)p=4，定子電阻2.58 Ω，定子交軸、直軸電感均為6.25 mH，永磁磁極與定子繞組交鏈的磁鏈為0.192 Wb，代入式（5）可得LTI系統(tǒng)為

設期望跟蹤轉矩軌跡如下：

4.1ILP(L(1))單調收斂性

一階PD型ILC規(guī)則，選取Γp1=0.8，Γd1= 0.01，滿足定理2的收斂條件ρ1=0.6＜1。跟蹤誤差的Lebesgue-2范數(shù)如圖1所示。

圖1　ILP（L（1））跟蹤情況Fig.1 Tracking behavior of ILP（L（1））

仿真結果證明：跟蹤誤差嚴格，并且單調收斂。

4.2ILP(L(c1,c2))與ILP(L(1))收斂速度比較

二階PD型ILC L(c1,c2)，選擇加權系數(shù)c1=c2=0.5。

選取Γp1=0.8，Γd1=0.01，Γp0=0.3，Γd0= 0.006，可得ρ1=0.6，ρ2=0.04，滿足ρ21＞ρ2。ILP(L(1))，ILP(L(c1,c2))跟蹤誤差的Lebesgue-2范數(shù)如圖2所示。

圖2　ILP（L（c1，c2））與ILP（L（1））跟蹤情況Fig.2 Tracking behavior of ILP（L（1））and ILP（L（c1，c2））

仿真結果證明當ρ21＞ρ2時，ILP(L(c1,c2))收斂速度比ILP(L(1))快。

選擇Γp1=0.8，Γd1=0.01，Γp0=0.3，Γd0= 0.01，可得ρ1=ρ2=0.6，滿足ρ12＜ρ2。ILP(L(1))，ILP(L(c1,c2))跟蹤誤差的Lebesgue-2范數(shù)如圖3所示。

圖3　ILP（L（c1，c2））與ILP（L（1））跟蹤情況Fig.3 Tracking behavior of ILP（L（1））and ILP（L（c1，c2））

仿真結果證明當ρ12＜ρ2時，ILP(L(c1,c2))收斂速度比ILP(L(1))慢。

5　結論

本文根據(jù)目前永磁同步的研究熱點，結合Lebesgue-p范數(shù)研究了L(c1,c2)，L(1)中永磁同步電機收斂速度，分析不同比例、微分增益對收斂速度的影響?？傻枚A迭代學習控制在選擇增益方面更自由，具有更優(yōu)的魯棒性等特點。

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Second-order Iterative Learning Control of Permanent Magnet Synchronous Motor

CHEN Caixue，LIU Siyan，LAN Yonghong
（College of Information Engineering，Xiangtan University，Xiangtan 411105，Hunan，China）

Abstract：A kind of second- order PD- type（proportional- derivative- type）iterative learning control law was proposed for the problem that periodicity pulsations exist in permanent magnet synchronous motors（PMSM），which achieved optimal tracking control. By means of the generalized young inequality of convolution integral，the sufficient condition that the tracking error is monotone convergence in the sense of Lebesgue-p norm was achieved. Inaddition，on the basis of the definition of Q factor，the sufficient conditions that the second-order rule is more effective than the first-order rule was achieved. Lastly，simulation manifests the validity and the effectiveness.

Key words：iterative learning control（ILC）；permanent magnet synchronous motor（PMSM）；Lebesgue-p norm；tracking error

中圖分類號：TM341

文獻標識碼：A

基金項目：湖南省自然科學基金：分數(shù)階魯棒自適應控制及其在配料控制系統(tǒng)中的應用（NO.14JJ2073，2014-2016）

作者簡介：陳才學（1979-），男，博士，副教授，Email：liu15273289995@163.com

收稿日期：2015-09-20