彭亞美　楊家其　趙學彧

(武漢理工大學交通學院　武漢　430000)

基于粒子群優(yōu)化算法的城市軌道客運定價雙層規(guī)劃模型研究*

彭亞美楊家其趙學彧

(武漢理工大學交通學院武漢430000)

摘要：城市軌道交通是現(xiàn)代城市發(fā)展中重要的交通方式之一，其社會效益和經(jīng)濟效益都很重要，合理制定票價有利于城市軌道交通穩(wěn)定發(fā)展.在各種公共交通公平競爭、滿足乘客出行服務需求的前提下，找出城市軌道客運票價制定的最優(yōu)策略，并建立了公共交通出行方式選擇的Logit模型.同時兼顧城市公共交通運營公司和出行者各自的利益，采用粒子群優(yōu)化算法構(gòu)建了雙層規(guī)劃模型，并應用案例進行分析，分析了該模型的可行性和實用性.結(jié)果表明，采用該模型進行票價制定合理有效.

關鍵詞：城市軌道交通；票價制定；Logit模型；雙層規(guī)劃模型；粒子群優(yōu)化算法

0引言

隨著城市公共交通優(yōu)先發(fā)展戰(zhàn)略的積極實施，我國很多城市都構(gòu)建了多方式并存、立體化的公共交通運輸系統(tǒng)，該系統(tǒng)以軌道交通為骨架、傳統(tǒng)交通方式為主體、其他交通方式為支撐，來滿足居民出行的需求.在一定的公共服務水平和出行需求的條件下，出行方式的票價水平將會決定各種出行方式的分擔率.合理的城市軌道客運票價水平和結(jié)構(gòu)可以用來貼補操作費用和年資本費用，并能為城市軌道交通企業(yè)取得一定的利潤.一些學者采用簡單的統(tǒng)計推斷的研究方法，沒有充分考慮多方式競爭與乘客的出行行為選擇對客運量的動態(tài)影響，因此在實際操作中往往偏差較大[1]，同時，乘客總是希望出行成本最小化，因而采用單目標函數(shù)的規(guī)劃方法很難做到既符合乘客的利益，又保證城市軌道運營企業(yè)的效益.

目前，雙層規(guī)劃模型(bilevel programming)在解決城市軌道交通票價制定、城市交通流量預估與分析等交通問題中有一些相關的應用，并且運用靈敏度分析法對這類雙層規(guī)劃問題進行求解[2-5].Hallsen等[6-8]證明了雙層規(guī)劃是一個強NP(non-deterministic polynomial)難題，所以在實際應用時要尋找能處理其復雜性的有效算法.自20世紀90年代以來，各學者對確定式算法、智能算法的研究日益完善，都可以用來解決雙層規(guī)劃問題，但一些傳統(tǒng)算法如分枝定界法、迭代分配法、罰函數(shù)法等較難解決一般的雙層規(guī)劃問題，尤其是非線性雙層規(guī)劃的求解.目前，粒子群優(yōu)化算法等智能優(yōu)化算法由于操作性強，在求解雙層規(guī)劃問題中得到了廣泛應用.Shi等[9]在為提高基本粒子群優(yōu)化算法的收斂能力，在標準粒子群優(yōu)化算法的速度更新公式中添加了一個慣性權(quán)重w，且為了更好地進行全局搜索，他們將設為隨時間線性遞減的函數(shù).不少學者都很好地將粒子群優(yōu)化算法應用到了雙層規(guī)劃模型的求解中，李艷麗[10]改進了種群粒子的速度更新公式，結(jié)合高斯變異、混沌理論等提出了一種新型的多目標粒子群優(yōu)化算法.李昌平等[11]用進化博弈及多目標優(yōu)化非支配排序的思想設計了層次粒子群算法，獲得使各方利益最大化的雙層規(guī)劃問題的最優(yōu)解.綜合參考各學者的研究，本文分析了公共交通公司和乘客雙方的利益，構(gòu)建了城市軌道客運票價制定的雙層規(guī)劃模型，將粒子群優(yōu)化算法應用到模型中去，并通過實例驗證得出，本文的算法可有效求解雙層規(guī)劃模型，在實踐中有較好的通用性.

1城市軌道客運定價雙層規(guī)劃模型的構(gòu)建與分析

1.1城市軌道客運票制分析

城市軌道客運現(xiàn)有票制中，常見票制主要有單一票價制、計時票價制、分區(qū)票價制和計程票價制.各票制方案都各有利弊，主要優(yōu)缺點見表1.

1.2影響城市軌道交通票價的因素

城市軌道交通具有很強的公益性和外部性，以及一定的自然壟斷性，其運營置于政府的監(jiān)控下.因此，城市軌道客運的車票定價會受到以下因素的影響[12]：(1)運營費用在市場經(jīng)濟背景下，城市軌道交通作為市場主體，應當具備自我融資的能力，以使得其所得票款能支付其運營費用；(2)乘客的出行需求和支付意愿乘客通常會根據(jù)自己的出行目的來選擇自身的交通方式，總體出行費用和乘客的支付能力決定了票價制定的最

表1　城市軌道交通常見票制優(yōu)缺點及適用條件

高限額；(3)公共交通方式之間的競爭公共交通方式多種多樣，公共運輸方式之間的良性競爭是無法避免的，為爭取更多的市場份額，各交通方式運營主體在定價時應考慮到自身和競爭對手之間的價格差異及他們的優(yōu)缺點；(4)財務目標公共交通公司的財務目標也對其定價有一定的影響，如成本利潤率、變動成本和固定成本，以及運營收入的多少等；(5)政府管制通常來說，政府會對提供城市公共服務和社會福利的公司實行限價措施，若無特殊情況，一般極少進行調(diào)整.

軌道交通運營公司定價水平的高低，將直接影響軌道交通的利用率及利潤率，票價過低，客流量必將驟增，不僅會造成軌道交通高負荷運行，也將增加乘客的時間和擁擠費用，服務質(zhì)量很低；票價逐漸增加，客流量緩慢減少，票務收入逐漸增加，這種低水平票價下的乘坐率較高，但是總收入過低導致政府需要投入大量財政補貼，不利于經(jīng)濟發(fā)展；當票價升高到適中水平，票務收入足以貼補軌道交通運營公司費用成本，對乘客也較為公平合理，既能發(fā)揮充分軌道運輸高速便捷的優(yōu)勢，又能緩解路上交通壓力；票價上升至較高水平時，客流量大幅度減少，票務收入隨之減少，無法保證軌道交通企業(yè)正常運營，且會加重城市交通擁堵和城市污染等問題.

因此，在制定城市軌道客運票價時，應考慮較多因素，操作也較為復雜，要在考慮城市其他公共交通方式的情況下，顧及乘客及自身利益，制定適合城市居民出行的軌道客運票制.

1.3基于Logit模型的公共交通方式的選擇

在城市公共交通運輸系統(tǒng)中，一般由各種公共交通方式合作，共同滿足相同起訖點的乘客的交通需求.同時，乘客會根據(jù)自己的偏好和票價來選擇出行方式，這將加劇各種不同公共交通運輸方式之間的競爭.乘客對于公共交通方式的選擇可以采用Logit模型來予以量化.通常在制定票價的過程中，特別是當有多種交通方式可供選擇的時候，就可以選擇Logit模型，通過Logit模型作離散選擇分析[13].

乘客在站點i和j之間選擇公共交通出行方式的Logit模型表達式如下.

(1)

(2)

(3)

(4)

根據(jù)式(3)和(4)，可得式(5)：

(5)

(6)

1.4雙層規(guī)劃模型的構(gòu)建

現(xiàn)假設：(1)在相同起訖點之間的路段上只有2種交通方式，乘客數(shù)量固定.軌道交通方式為方式1，傳統(tǒng)公交車方式為方式2；(2)參與選擇出行方式的乘客出行數(shù)量為b；(3)運營收入僅考慮車票收入，不涵蓋自由競爭情況下其他的收入來源.

1) 底層規(guī)劃模型理性的乘客通常會選擇總體費用最少的出行方式，然而，隨著更多的乘客選擇費用最少的出行方式，成本會上漲，直到成本達到一定水平，有些乘客會轉(zhuǎn)乘其他交通工具.這樣一來，乘客在各種交通方式間的分配將會達到一種平衡的狀態(tài)，而且所有出行方式的總體成本將會趨向同一化[14].因此，當目標函數(shù)是出行總成本最小時，隨機用戶平衡模型可用來進行出行方式的選擇，如式(7)所示.

(7)

2) 上層規(guī)劃模型在不同公共交通運輸方式的博弈中，所有參與者的目標是收入最大化，那么總收益函數(shù)是所有參與者的效益總和.該合作博弈的最終均衡解為總收益函數(shù)的最大化.如式(8)所示：

(8)

通過構(gòu)建一個這樣的雙層規(guī)劃模型，可得出軌道運輸和傳統(tǒng)公共車的合理票價.

2基于粒子群優(yōu)化算法的雙層規(guī)劃模型的求解步驟

欲求解雙層規(guī)劃模型，尤其是非線性的非多項式的雙層規(guī)劃模型，是相當復雜且困難的.盡管沒有一種嚴格的算法能確保解法為問題的最優(yōu)解，但有些好的解法能在一定層面上獲得雙層規(guī)劃模型的近似最優(yōu)解，其中一種就是遺傳算法.與遺傳算法相似，粒子群優(yōu)化算法是一種基于種群的進化算法和整體收斂的隨機搜索算法.由于結(jié)構(gòu)不像遺傳算法那么復雜，控制變量也較少，采用粒子群優(yōu)化算法求解雙層規(guī)劃模型是一種有意義的嘗試[15].

采用粒子群優(yōu)化算法求解雙層規(guī)劃模型的基本步驟如下.

步驟1初始化粒子群優(yōu)化算法的參數(shù)：創(chuàng)建底層規(guī)劃模型的初始解法，隨機初始化粒子群中粒子的位置Xi與速度Vi,i∈[1,m]，其中m為種群的規(guī)模，即粒子的數(shù)量.設pi為第i種粒子目前位置，pg為初始種群中粒子的最優(yōu)位置.

步驟2對種群中的所有粒子進行下述操作.

1) 根據(jù)式(9)和(10)，更新粒子的位置和速度.

(9)

(10)

(11)

式中：r1和r2為位于0到1之間的隨機數(shù)字，通常被稱為學習因素；c1=c2=2；w為慣性權(quán)重，用來權(quán)衡局部的最優(yōu)化能力和全局的最優(yōu)化能力，取值一般位于0.1到0.9之間，其數(shù)值隨著迭代次數(shù)的增加而減少；wmax為最大的權(quán)重；wmin為最小的權(quán)重.iter為算法當前的迭代次數(shù)，itermax為算法迭代次數(shù)的最大值.

2) 將上層規(guī)劃模型中第i個粒子的位置Xi代入下層規(guī)劃模型中，采用傳統(tǒng)優(yōu)化方法獲得下層規(guī)劃模型的最優(yōu)解yi*.

3) 將Xi和yi*代入目標函數(shù)中，并算出第i個粒子的適應值F(Xi,yi*)，i∈[1,m].

4) 如果第i個粒子的適應值F(Xi,yi*)優(yōu)于粒子當前位置Pi，將第i個粒子的位置更新為Xi，并用yi*代替Pi在下層規(guī)劃模型中得出的最優(yōu)解yPi；計算Pg的適應度，若小于第i個粒子的適應值，將Pg更新為Xi，yPg更新為yi*.

步驟3判斷算法是否滿足收斂條件，若滿足，進入第五步，否則轉(zhuǎn)入步驟4.

步驟4根據(jù)式(12)，用傳統(tǒng)優(yōu)化方法更新pg并計算yPg，轉(zhuǎn)入步驟2.

(12)

步驟5輸出pg及yPg，計算上層規(guī)劃模型和下層規(guī)劃模型對應的目標函數(shù)值.

3城市軌道客運票價制定的算例

為簡化計算，假定起點到終點之間的距離為20km，乘客數(shù)量為1 000人.乘客可以選擇城市軌道運輸和傳統(tǒng)公交車2種出行方式.

同時假定所有的相關因素，包括運輸時間、感知成本和其它運營成本已給定，見表2(Tn根據(jù)式(3)計算得出).

表2　相關因素數(shù)據(jù)

根據(jù)調(diào)查和相關研究，參數(shù)數(shù)據(jù)見表3.

表3　廣義出行費用參數(shù)表

運用粒子群優(yōu)化算法將上述數(shù)據(jù)引入模型并求解，上層規(guī)劃模型的迭代結(jié)果見圖1.

如圖1所示，經(jīng)過87次迭代后，得到上層模型目標函數(shù)的計算結(jié)果.在該解法中，城市軌道運輸和公交車運輸?shù)钠眱r設定為(2.7,1.6)元，接近公共交通的真實定價水平.在上層規(guī)劃模型中，目標函數(shù)顯示的總體收入為2 866.46元，下層規(guī)劃模型中的廣義出行費用為303.75元，這也同樣符合目標函數(shù)的最小值.

在上述實例中，可以看出運用雙層規(guī)劃模型可以較好地找到城市軌道交通的合理定價，也證明了粒子群優(yōu)化算法在求解該模型中的可行性.

圖1　上層規(guī)劃模型的迭代結(jié)果

4結(jié) 束 語

由于城市軌道客運票價制定受到多種因素影響，定價水平應能平衡乘客和運營企業(yè)的利益.在現(xiàn)有研究的基礎上，本文分別考慮了公共交通企業(yè)和乘客各自的利益，建立了城市軌道客運票價制定雙層規(guī)劃模型，并采用粒子群優(yōu)化算法給出最優(yōu)解.最后通過實例證明了基于粒子群優(yōu)化算法的雙層規(guī)劃模型在軌道交通方式定價中的可行性和有效性，在今后的研究中，可推廣應用于其它交通運輸方式的定價中.

參 考 文 獻

[1]陳寬民,羅小強.城市快速軌道交通合理票價的博弈分析[J].長安大學學報(自然科學版),2005(4):52-55.

[2]王俊龍.城市軌道交通票價定價策略及模型研究[D].蘭州:蘭州交通大學,2014.

[3]曹蕾.城市軌道交通票價制定方法研究[D].上海:華東交通大學,2012.

[4]張秋麗.城市新建軌道交通票制票價研究[D].西安:長安大學,2010.

[5]賴天珍.城市軌道交通線路票價策略研究[D].長沙:中南大學,2013.

[6]HANSEN P, JAUMARD B, SAVARD G. New branch-and-bound rules for linear bilevel programming[J].SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing,1992,13:1194-1217.

[7]VICENTE L, SAVARD G, JUDICE J. Descent approaches for quadratic bilevel programming[J].Journal of Optimization Theory and Applications,1994,81:379-399.

[8]LIU Y H, SPENCER T H. Solving a bilevel linear program when the inner decision maker controls few variables[J]. European Journal of Operational Research,1995,81(3):644-651.

[9]SHI Y, EBERHART R C. A modified particle swarm optimizer[C]. IEEE Interational Conference on Evolutionary Computation, Piscataway,New Jersey,1998：69-73.

[10]李艷麗.基干多目標優(yōu)化的粒子群算法研究及其應用[D].成都:西南交通大學,2014.

[11]李昌平，杜茂康，付德強.基于層次粒子群算法的非線性雙層規(guī)劃問題求解策略[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2013,33(9):2292-2298.

[12]BILAL A, ERHAN A, ALI K. Multi-objective differential evolution algorithm for mining numeric association rules[J]. Applied Soft Computing,2008,8(1):646-656.

[13]胡郁蔥,徐建閩,靳文舟.Logit模型在評估旅客客運票價中的應用[J].公路交通科技,2001(6):130-133.

[14]武衛(wèi)國,羅小強,王迎.城市軌道交通票價雙層規(guī)劃模型研究[J].海南大學學報：人文社會科學版,2010(2):63-66.

[15]范成禮.求解非線性雙層規(guī)劃問題的混合變鄰域粒子群算法[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2015(2):473-480.

Research on Particle Swarm Optimization Algorithm Based Bilevel Programming Model for Urban Rail Transit’s Pricing

PENG YameiYANG JiaqiZHAO Xueyu

(SchoolofTransportation,WuhanUniversityofTechnology,Wuhan430000,China)

Abstract：As urban rail transit is one of the important transportation methods, the social and economic benefits of urban rail transit are both important. Therefore, a reasonable ticket price plays an important role for the stable development of urban rail transit. Under the conditions of impartial competition among several transportation models and meeting the demand of passengers' traveling service, the optimal strategy of ticket price formulation is determined and the Logit model for the selection of public transit methods is established in this paper. Meanwhile, considering the benefits of urban rail transit company and travelers respectively, this paper adopts the particle swarm optimization algorithm to establish the Bilevel programming model. The feasibility and utility of the established model are analyzed based on practical examples. The results demonstrate that the model is reasonable and effective in ticket pricing and helpful for the development of the urban rail transit.

Key words：urban rail transit; ticket price formulation; Logit model; Bilevel programming model; particle swarm optimization algorithm

收稿日期：2016-03-03

中圖法分類號：U121

doi:10.3963/j.issn.2095-3844.2016.03.029

彭亞美(1991- )：女,碩士生，主要研究領域為綜合交通

*吉林省交通科技項目資助(多種交通運輸方式協(xié)同營運組織與管理、長吉圖綜合交通運輸網(wǎng)評估及優(yōu)化)