許 飛, 曹貽鵬, 王素云
(裝甲兵工程學(xué)院基礎(chǔ)部, 北京 100072)
關(guān)于一類特殊的(α,β)度量的Landsberg曲率
許飛, 曹貽鵬, 王素云
(裝甲兵工程學(xué)院基礎(chǔ)部, 北京 100072)
摘要:在已構(gòu)造的具有F=(α+β)2/α形式且含5個參量的(α,β)度量的基礎(chǔ)上,研究了其射影平坦的條件及S曲率,并進(jìn)一步計算了該種度量的Landsberg曲率,其曲率結(jié)果為后續(xù)研究曲率間關(guān)系奠定了基礎(chǔ)。
關(guān)鍵詞:Finsler度量; 射影平坦; (α,β)度量; Landsberg曲率
Finsler幾何是在其度量上無二次限制的Riemann幾何,自20世紀(jì)90年代以來,關(guān)于Finsler幾何的研究有了很大的發(fā)展,尤其是對射影平坦的Finsler度量的性質(zhì)及曲率形式作了較為系統(tǒng)的研究[1]。作為Finsler幾何的一個重要研究方向,(α,β)度量的研究也取得了長足的進(jìn)步,并構(gòu)造出了各種形式的射影平坦的(α,β)度量[1-2],得到了一些好的性質(zhì)和曲率結(jié)果。在此背景下,筆者在已構(gòu)造的射影平坦的(α,β)度量[3]的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步計算了該種(α,β)度量的Landsberg曲率。
1概述
Finsler 度量中特殊而重要的一類度量是(α,β)度量[4],它是由Riemannn度量α、1-形式β以及光滑流形M上函數(shù)φ組成,具體形式為 F=αφ(β/α)。例如:F=α+β,F(xiàn)=(α+β)2/2,F(xiàn)=α2/(α-β)等都是(α,β)度量。
Shen[5]構(gòu)造了一類局部射影平坦、具有零旗曲率的(α,β)度量,形式如下:
(1)
式中: y∈TxBn=Rn,TxBn表示Bn在x點的切空間,其可以具體地看作具有F=(α+β)2/2形式的(α,β)度量,其中,
楊春紅等[2]構(gòu)造了一個具有3個參數(shù)、射影平坦 、具有零旗曲率的(α,β)度量,形式如下:
(2)
式中:y∈TxBn=Rn,其也可以具體地看作具有F=(α+β)2/2形式的(α,β)度量,其中,
可見:式(2)是式(1)的推廣。
筆者[3]曾進(jìn)一步推廣了式(2),構(gòu)造了一個具有5個參數(shù)的(α,β) 度量,形式如下:
(3)
式中:y∈TxBn=Rn,其也可以具體地看作具有F=α+β形式的(α,β)度量,其中,
可見:式(3)又是式(2)的推廣。在此基礎(chǔ)上,筆者得到了該種(α,β)度量攝影平坦的條件。
定理1[3]:設(shè)F=α+β為定義在Rn的開子集Ω上的Finsler度量,其中α為Riemann度量,β為1-形式,
筆者[3]曾進(jìn)一步對該種具有5個參數(shù)的(α,β)度量計算了其S曲率,得到了較為規(guī)整的形式,并在理論中具有良好的應(yīng)用。
在本文中,筆者將進(jìn)一步研究得到該種形式的(α,β)度量的Landsberg曲率。
2預(yù)備知識
定義1[6]: 光滑流形M上的Finsler 度量就是TM上的一個函數(shù)F:TM→[0,+∞),滿足:
1) 正則性,F(xiàn)在TM{0}上光滑;
2) 一階正齊次性,F(xiàn)(x,λy)=λF(x,y),?λ>0;
則稱F是流形M上的Finsler 度量,賦予Finsler 度量F的光滑流形M稱為Finsler 流形。
如果Rn中一個開集U上的Finsler度量F在U上的測地線全是直線,即測地線σ(t)全是常向量,則稱度量F是射影平坦[5]的,其有如下2個射影平坦的等價條件:
1)F在U上的測地線全是直線。
2)F測地系數(shù)具有以下形式:
Gi(y)=p(y)yi。
式中:
F滿足
Fxkyiyk=Fxi。
定義2[7]:n維Finsler流形(M,F)上的Landsberg曲率定義為
定義3[8]: 設(shè)(V,F)是Minkowski空間,對?0≠y∈V,定義Cy:V×V×V→R上的多線性形式為
其中v1,v2,v3∈V,則稱Cy為Cartan形式, C=Cy|y∈V{0},為Cartan撓率。
根據(jù)定義,若{ei}是V的一組基且
Cijk(y)=Cy(ei,ej,ek),
則
顯然,Cy對稱且是奇性的。
定義4[9]:流形(M,F)上的Spray是TM上的一個向量場,它在局部坐標(biāo)系(xi,yi)下的形式如下:
其中Spray系數(shù)Gi(x,y)是TM{0}上的光滑函數(shù),滿足Gi(x,λy)=Gi(x,y)且
3Landsberg曲率的計算
則其Landsberg曲率為
證明: 由于該度量是射影平坦的,Spray系數(shù)為
同理,
則
Gl(FyiylFyjyk+FyjylFyiyk+FykylFyiyj)=0。
對于如F=α+β形式的Randers度量,其Cartan形式為
則
同理可得
由于
(4)
易知
則
將上述結(jié)果代入Landsberg曲率公式
可得
可見所構(gòu)造的此類度量具有常Landsberg曲率,這在微分幾何的理論和應(yīng)用中具有重要的作用,為后續(xù)研究此類度量的性態(tài)奠定了基礎(chǔ)。
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(責(zé)任編輯: 尚彩娟)
Landsberg Curvature about a Class of Special (α,β)-metrics
XU Fei, CAO Yi-peng, WANG Su-yun
( Department of Fundamental Courses, Academy of Armored Force Engineering, Beijing 100072, China)
Abstract:On the basis of a class of (α,β)-metrics with form of F=(α+β)2/α and five parameters, the projectively flat condition and S curvature are studied, and the Landsberg curvature of (α,β)-metrics is furthermore calculated. The curvature result lays foundation for research on the relations between curvatures.
Key words:Finsler metrics; projectively flat; (α,β)-metrics; Landsberg curvature
文章編號:1672-1497(2016)02-0108-03
收稿日期:2015-09-11
作者簡介:許飛(1981-),男,講師,碩士。
中圖分類號:O186
文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A
DOI:10.3969/j.issn.1672-1497.2016.02.022