樊新海， 孫國強， 張傳清， 張麗霞

(裝甲兵工程學(xué)院機械工程系，北京 100072)

基于分段組合復(fù)調(diào)制高斯函數(shù)的多通帶濾波器設(shè)計

樊新海， 孫國強， 張傳清， 張麗霞

(裝甲兵工程學(xué)院機械工程系，北京 100072)

摘要：針對數(shù)字信號處理中的濾波器設(shè)計問題，提出了一種多通帶數(shù)字濾波器設(shè)計方法，即通過分段組合復(fù)調(diào)制將具有不同中心頻率的高斯函數(shù)進行時域疊加，使其逼近任一多通帶數(shù)字濾波器的幅頻特性，最后通過實例驗證了該方法的有效性和實用性。結(jié)果表明：通過靈活選擇形狀參數(shù)、頻移，可以設(shè)計出性能良好的特殊用途濾波器。

關(guān)鍵詞：多通帶濾波器設(shè)計； 高斯函數(shù)； 分段組合； 復(fù)調(diào)制

筆者[1]曾研究了利用組合復(fù)調(diào)制高斯函數(shù)設(shè)計單通帶數(shù)字濾波器的方法，而在通信、語音、目標(biāo)識別、故障診斷等信號處理中還會用到一些特殊用途的濾波器[2-4]。因此，在前文研究的基礎(chǔ)上，筆者進一步給出了利用分段組合復(fù)調(diào)制高斯函數(shù)來設(shè)計多通帶數(shù)字濾波器的方法，擴展了應(yīng)用范圍。

1基本原理

1.1高斯函數(shù)的低通特性

均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯分布概率密度函數(shù)為

(1)

其傅里葉變換為

F(Ω)=e-σ2Ω2/2。

(2)

(3)

圖1　不同σ時F(Ω)的波形

由圖1可見：F(Ω)具有低通特性[5]，可看作中心頻率為0、通帶為(-Ωc，Ωc)的低通濾波器。Ωc與σ成反比：σ越大，F(xiàn)(Ω)的帶寬和過渡帶越窄；反之，則越寬。

1.2復(fù)調(diào)制高斯函數(shù)的帶通特性

利用ejΩ0t對f(t)進行復(fù)調(diào)制，記為

(4)

時域上的復(fù)調(diào)制對應(yīng)頻域的移位，由式(2)可直接得到f1(t)的傅里葉變換為

F1(Ω)=F(Ω-Ω0)=e-[σ(Ω-Ω0)]2/2。

(5)

相對于F(Ω)，F(xiàn)1(Ω)頻譜的形狀不變，但中心頻率變?yōu)棣?。當(dāng)σ=1，Ω0=4 rad/s時，F(xiàn)1(Ω)的波形如圖2所示?？梢钥闯?F1(Ω)具有帶通特性，可看作中心頻率為Ω0、通帶為(Ω0-Ωc，Ω0+Ωc)的帶通濾波器[3]。

圖2　σ=1,Ω0=4 rad/s時F1(Ω)的波形

若直接將F(Ω)和F1(Ω)作為濾波器使用，則性能不太理想，其主要缺點是：通帶頂部不夠平直，雖然通過調(diào)整σ可以改變?yōu)V波器的帶寬，但頻帶和過渡帶總是同時變寬或變窄，寬的通帶和窄的過渡帶不可兼得。

1.3組合復(fù)調(diào)制高斯函數(shù)的逼近特性

假定組合復(fù)調(diào)制高斯函數(shù)為

(6)

式中：Ωm=Ω0+mΔΩ，為各復(fù)調(diào)制高斯函數(shù)的中心頻率；C為修正系數(shù)。

f2(t)的傅里葉變換為

(7)

由式(6)、(7)可見：在時域上，f2(t)是由2M+1個f(t)復(fù)調(diào)制后組合而成；在頻域上，F(xiàn)2(Ω)是由2M+1個中心頻率為Ωm、間隔為ΔΩ的F(Ω)疊加而成。這樣，可用f2(t)去逼近一個通帶較寬的單通帶濾波器。當(dāng)σ=1，M=2，Ω0=8 rad/s，C=1，ΔΩ=2Ωc，3Ωc時，F(xiàn)2(Ω)波形分別如圖3、4所示。

圖3　ΔΩ=2Ωc時F2(Ω)的波形

圖4　ΔΩ=3Ωc時F2(Ω)的波形

由圖3、4可見：選擇合適的ΔΩ,可用式(6)逼近一個頻帶較寬、頂部平直的帶通濾波器。F2(Ω)可看作中心頻率為Ω0、起始頻率為ΩL=Ω0-MΔΩ、截止頻率為ΩH=Ω0+MΔΩ、帶寬為2MΔΩ的帶通濾波器。

F2(Ω)在Ω0處的取值為

(8)

取C=F2(Ω0)可保證F2(Ω)在Ω0處取值為1。

1.4分段組合復(fù)調(diào)制高斯函數(shù)的逼近特性

假定分段組合復(fù)調(diào)制高斯函數(shù)為

(9)

式中：K為段數(shù)；Ck為各段的修正系數(shù)。

各段的中心頻率為Ω0,k，第k段使用f(t)的形狀參數(shù)為σk，疊加個數(shù)為2Mk+1，頻率間隔均為ΔΩk，則各個復(fù)調(diào)制高斯函數(shù)的中心頻率分別為Ωk,m=Ω0,k+mΔΩk，m=-Mk，-Mk+1，…，Mk。

h(t)的傅里葉變換為

(10)

圖5　H(Ω)的波形

2實現(xiàn)方法

利用分段組合復(fù)調(diào)制高斯函數(shù)設(shè)計多通帶濾波器的實現(xiàn)步驟如下：

2) 確定各頻帶組合復(fù)調(diào)制高斯函數(shù)頻譜的個數(shù)和中心頻率：Mk取(f0,k-fL,k)/Δfk四舍五入取整后的值；各f(t)的中心頻率為fk,m=f0,k+mΔfk，m=-Mk，-Mk+1，…，Mk。

3) 時間變量離散：時間t∈[-4σ，4σ]或更寬，按時間間隔Ts=1/fs進行離散，可得t=nTs，記N為小于4σfs的最大整數(shù)，則n=-N，-N+1，…，N，濾波器的總長度為2N+1，滿足線性相位的條件。

4) 計算各段的修正系數(shù)：

實際上，可只計算n=0，1，…，N的值，另一半利用hR(-n)=hR(n)，hI(-n)=-hI(n)得到。

6) 移位：hR(n)和hI(n)為非因果序列，記hR(n)=hR(n-N)，hI(n)=hI(n-N)，n=0，1，…，2N，向右平移N，使hR(n)和hI(n)為因果序列。

如果使用實濾波器,可只計算hR(n)，然后再乘以2。

3設(shè)計實例

基于分段組合復(fù)調(diào)制高斯函數(shù)的濾波器設(shè)計方法，可設(shè)計出特殊用途的高性能數(shù)字濾波器，在此給出3種設(shè)計實例，以驗證該方法的有效性和實用性。

實例1：設(shè)計一個恒帶寬、窄帶、梳狀帶通濾波器，K=4，帶寬均為4 Hz，通帶范圍分別為98～102、198～202、298～302、398～402 Hz，σk=2，Δfk=0.01 Hz，fs=1 kHz。該濾波器幅頻特性如圖6所示，濾波器系數(shù)hR(t)如圖7所示。

圖6　恒帶寬、窄帶、梳狀帶通濾波器的幅頻特性

圖7　恒帶寬、窄帶、梳狀帶通濾波器的系數(shù)hR(t)

實例2：設(shè)計一個恒帶寬比、梳狀帶通濾波器，K=4，帶寬分別為4、8、12、16 Hz，通帶范圍分別為98～102、196～204、294～306、392～408 Hz，取σk=2，Δfk=0.01 Hz，fs=1 kHz。該濾波器幅頻特性如圖8所示，hR(t)如圖9所示。

圖8　恒帶寬比、梳狀帶通濾波器的幅頻特性

圖9　恒帶寬比、梳狀帶通濾波器的系數(shù)hR(t)

實例3：設(shè)計一個窄帶、梳狀帶阻濾波器，阻帶個數(shù)為4，阻帶帶寬均為4 Hz，阻帶范圍分別為98～102、198～202、298～302、398～402 Hz，σk=1，Δfk=0.1 Hz，fs=1 kHz。4阻帶的帶阻濾波器可認(rèn)為是5通帶的帶通濾波器，通帶范圍分別為0～98、102～198、202～298、302～398、402～500 Hz。該濾波器幅頻特性如圖10所示，hR(t)如圖11所示。

圖10　窄帶、梳狀帶阻濾波器的幅頻特性

圖11　窄帶、梳狀帶阻濾波器的系數(shù)hR(t)

由圖6、8、10可見：即使是窄帶多通帶或窄帶多阻帶濾波器，也都保持了優(yōu)良的性能，非常接近理想濾波器。

4結(jié)論

參考文獻：

[1]樊新海, 劉相波, 張麗霞, 等. 基于組合復(fù)調(diào)制高斯函數(shù)的數(shù)字濾波器設(shè)計[J]. 裝甲兵工程學(xué)院學(xué)報, 2014, 28(5): 57-60.

[2]趙俊龍, 郭正剛, 張志新, 等. 梳狀濾波器在滾動軸承早期故障診斷中的應(yīng)用[J]. 振動與沖擊, 2008, 27(12): 171-174.

[3]侯者非, 楊杰, 王克成, 等. 改進梳狀包絡(luò)檢波方法在滾動軸承故障診斷中的應(yīng)用[J]. 煤礦機械, 2010, 31(2): 229-231.

[4]成彬彬, 張海. 基于小波變換的數(shù)字耳蝸濾波器組設(shè)計與實現(xiàn)[J]. 計算機技術(shù)與應(yīng)用, 2009，(1): 135-138.

[5]宋潔, 范延濱, 成金勇, 等. 關(guān)于高斯函數(shù)的小波性質(zhì)研究[J]. 計算機科學(xué), 2004, 31(11): 222-223.

(責(zé)任編輯: 尚彩娟)

Multi-band-pass Filter Design Based on Sectional Combination Complex Modulated Gaussian Function

FAN Xin-hai, SUN Guo-qiang, ZHANG Chuan-qing, ZHANG Li-xia

(Department of Mechanical Engineering, Academy of Armored Force Engineering, Beijing 100072, China)

Abstract：In view of the problem of filter design in digital signal processing, a method of multi-band-pass digital filter design is put forward. The method can approach any amplitude frequency characteristic of multi-band-pass digital filter by splicing sectional combined complex modulated Gaussian function in time domain. At last, the validity and practicability of the method is validated by examples. The result shows that filter with special application and excellent performance can be designed to take as a choice of shape parameter and frequency-shifting.

Key words:multi-band-pass digital filter design; Gaussian function; sectional combination; complex modulation

文章編號：1672-1497(2016)02-0080-04

收稿日期：2016-01-06

作者簡介：樊新海(1973-)，男，副教授，博士。

中圖分類號：TN713+.7

文獻標(biāo)志碼：A

DOI：10.3969/j.issn.1672-1497.2016.02.016