李　濤

(軍械工程學(xué)院基礎(chǔ)部， 河北 石家莊 050003)

無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上具有時(shí)滯的SIRS謠言傳播模型

李濤

(軍械工程學(xué)院基礎(chǔ)部， 河北 石家莊 050003)

摘要：通過分析具有遺忘效應(yīng)的謠言傳播特點(diǎn)和方式，在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下建立了一類具有時(shí)滯的SIRS謠言傳播模型,計(jì)算了傳播過程中的基本再生數(shù)，并通過證明得到結(jié)論:當(dāng)基本再生數(shù)小于1時(shí)，謠言將逐漸消失；當(dāng)基本再生數(shù)大于1時(shí)，謠言將持續(xù)存在。最后，通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了所得結(jié)論的正確性。

關(guān)鍵詞：無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)； SIRS謠言； 時(shí)滯； 基本再生數(shù)

近年來，隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展，謠言這一古老的傳播學(xué)現(xiàn)象以前所未有的速度瘋狂傳播，造成了嚴(yán)重的危害[1]。因此，如何有效地監(jiān)控與治理謠言的傳播已成為信息時(shí)代一個(gè)亟待解決的問題。人們發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)謠言和傳染病作為有害傳播源，具有很多類似的傳播機(jī)理，經(jīng)典的網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型延續(xù)了傳染病傳播模型的建模思想和分析方法[2]，它把用戶的狀態(tài)分為無知者、傳播者和免疫者3類，通過建立三者之間的狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系，得到微分動(dòng)力學(xué)模型[3-4]。但是，這些模型均未考慮社會(huì)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)謠言傳播的影響。而復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論研究表明：作為謠言傳播載體的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)、信息網(wǎng)絡(luò)等都具有無標(biāo)度特性[5]。目前，大部分的研究[6-9]均為常微分方程模型，基于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)并考慮時(shí)滯因素的數(shù)學(xué)模型非常少。由于謠言的傳播具有非常強(qiáng)的時(shí)效性，因此建立具有時(shí)滯因素的謠言傳播模型，無疑能更好地描述謠言傳播過程。為此，筆者將互聯(lián)網(wǎng)視為無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，針對(duì)實(shí)際個(gè)體謠言傳播能力有限的情況考慮了具有飽和性質(zhì)的非線性傳播率，建立了一類具有時(shí)滯的SIRS謠言傳播模型，通過計(jì)算得到了謠言傳播的基本再生數(shù)，并對(duì)模型的平衡點(diǎn)以及時(shí)滯對(duì)謠言傳播的影響進(jìn)行研究，最后通過數(shù)值仿真進(jìn)行驗(yàn)證。

1模型建立

根據(jù)現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)世界謠言傳播的特點(diǎn)，網(wǎng)絡(luò)中的個(gè)體可分為無知者、傳播者和免疫者3類：1)無知者(Susceptible)是指從未聽到過謠言的人，但通過和謠言傳播源的接觸，其變成潛在傳播者的概率為λ(k)，潛在傳播者開始傳播謠言的概率為p；2)傳播者(Infective)是指相信并開始傳播謠言者，傳播者也可能以各種渠道得知正確信息后不再傳播謠言而以概率β轉(zhuǎn)化為免疫者；3)免疫者(Removed)是指確信謠言為假的群體，免疫者也在經(jīng)過時(shí)間τ后，由于網(wǎng)絡(luò)中大量信息的存在或?qū)χ{言不感興趣等因素，從而遺忘之前的謠言而成為無知者。令Sk(t)、Ik(t)、Rk(t)分別表示t時(shí)刻在度值為k(k=1,2,…,n)的節(jié)點(diǎn)中無知者、傳播者、免疫者所占的比例。設(shè)所有參數(shù)均為正常數(shù)，根據(jù)平均場(chǎng)理論，建立如下傳播動(dòng)力學(xué)方程：

(1)

式中：λ(k)為感染率，與節(jié)點(diǎn)的度值k有關(guān)[10];

(2)

為任意一條邊指向傳播節(jié)點(diǎn)的概率，其中，P(k)為度值為k的節(jié)點(diǎn)占所有節(jié)點(diǎn)的比例，kkP(k)，為節(jié)點(diǎn)平均度值，非線性函數(shù)φ(k)=akα/(1+bkα),a>0,0≤α≤1,b≥0，為度值為k的節(jié)點(diǎn)的有效接觸率[11]，φ(k)具有飽和性，即φ(k)=a/b,b≠0，因此它可以較準(zhǔn)確地描述單位時(shí)間內(nèi)單個(gè)謠言傳播者傳播能力有限的情況。由于Sk(t)+Ik(t)+Rk(t)=1，于是系統(tǒng)(1)等價(jià)于如下系統(tǒng)：

(3)

2模型分析

定理1：令R0=pλ(k)φ(k)/(βk)，當(dāng)R0<1時(shí)，系統(tǒng)(3)存在平衡點(diǎn)E0(1,1,…,1,0,0,…,0)；當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)(3)存在平衡點(diǎn)。

(4)

式中：

(5)

解方程組(4)可得

(6)

(7)

顯然θ*=0是方程(7)的解，此時(shí)系統(tǒng)(3)有唯一的平衡點(diǎn)E0。若當(dāng)方程(7)有非零解時(shí)，注意到

且

此時(shí)，y=f(θ)與y=θ在第一象限內(nèi)有唯一交點(diǎn)。因此，方程(7)有唯一的正解，根據(jù)式(6)可得此時(shí)系統(tǒng)(3)有平衡點(diǎn)E*。

證明： 1) 當(dāng)R0<1時(shí)，在{(S1,S2,…,Sn,I1,I2,…,In):Sk,Ik≥0,Sk+Ik≤1,k=1,2,…,n}，t≥0上考慮Lyapunov函數(shù)

計(jì)算V(t)沿系統(tǒng)(3)的導(dǎo)數(shù)可得

注意到θ(t)≥0且R0<1，即pλ(k)φ(k)/(βk)<1，可得pλ(k)φ(k)/k-β<0，因此可以推出V′(t)≤0，并且當(dāng)且僅當(dāng)θ(t)=0時(shí)，即Ik(t)=0時(shí)有V′(t)=0。由LaSalle不變?cè)砜傻茫寒?dāng)R0<1時(shí)，平衡點(diǎn)E0全局漸近穩(wěn)定。

設(shè)ρ為特征方程的特征值，此時(shí)平衡點(diǎn)E0的Jacobian矩陣為

式中：O為n階零矩陣；A為n階對(duì)角陣，

將矩陣J第m列乘以λ(m)/λ(1)加到第n+1列，m=n+2,n+3,…,2n，將第n+1行乘以-λ(m)/λ(1)加到第n+m行，m=2,3,…,n，可得

式中：

對(duì)應(yīng)的特征方程為

λ(k)φ(k)+β)=0,

顯然ρ=-e-ρτ與ρ=-β是特征根，其他特征根滿足

ρ=pk-1λ(k)φ(k)-β，

當(dāng)R0>1時(shí)，令

F(ρ)=ρ-pλ(k)φ(k)/k+β，

那么

F(0)=-pλ(k)φ(k)/k+β<0，

由零點(diǎn)定理可知：函數(shù)F(ρ)在(0,+∞)至少存在一個(gè)根ρ0，即系統(tǒng)(3)的特征方程至少存在一個(gè)正實(shí)根，因此當(dāng)R0>1時(shí)，平衡點(diǎn)E0不穩(wěn)定。

記

D={(S1,S2,…,Sn,I1,I2,…,In):Sk,Ik≥0,Sk+

Ik≤1,k=1,2,…,n}，

D0={(S1,S2,…,Sn,I1,I2,…,In)∈D:

顯然D0是系統(tǒng)(3)的正向不變集。系統(tǒng)(3)為耗散系統(tǒng)，E0為系統(tǒng)(3)在?D0上唯一的平衡點(diǎn)，且系統(tǒng)(3)在?D0上的Ω極限集為E0，E0孤立且非循環(huán)。

最后只需要證明Ws(E0)∩D0=?，Ws(E0)為E0的穩(wěn)定流形。這里采取反證法證明，假設(shè)其非真，則D0內(nèi)存在一個(gè)解(S1(t),S2(t),…,Sn(t),I1(t),I2(t),…,In(t))，當(dāng)t→+∞時(shí)，有Sk(t)→1,Ik(t)→0。

由于R0>1，可取0<η<1,使得(1-η)R0>1。且存在一個(gè)T>0，使得對(duì)于所有的t≥T和k=1,2,…,n，有1-η

顯然L(t)是有界函數(shù)，但L(t)沿系統(tǒng)(3)的導(dǎo)數(shù)為

Ik(t)=ZL(t)。

式中:

由定理2可知：系統(tǒng)(3)的基本再生數(shù)為R0=pλ(k)φ(k)/(βk)，當(dāng)R0<1時(shí)，無病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定，此時(shí)謠言將消失；當(dāng)R0>1時(shí)，無病平衡點(diǎn)不穩(wěn)定，由于infI(t)>ε，此時(shí)謠言將持續(xù)存在。

3數(shù)值仿真

當(dāng)λ=0.2，p=0.2，β=0.2時(shí)，R0=0.642 9<1，系統(tǒng)(1)中k=10,30,80的節(jié)點(diǎn)中傳播者節(jié)點(diǎn)的比例I10、I30、I80隨時(shí)間t的變化趨勢(shì)如圖1所示?？梢钥闯?當(dāng)R0<1時(shí),網(wǎng)絡(luò)中的謠言將逐漸消失。

圖1　R0<1時(shí)系統(tǒng)(1)中I10、I30、I80隨t的變化趨勢(shì)

圖2　R0>1時(shí)系統(tǒng)(1)中I10、I30、I80隨t的變化趨勢(shì)

當(dāng)λ=0.2，p=0.2，β=0.02時(shí)，R0=3.214 7>1， I10、I30、I80隨t的變化趨勢(shì)如圖2所示?？梢钥闯觯寒?dāng)R0>1時(shí),謠言在網(wǎng)絡(luò)中將持續(xù)存在。

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(責(zé)任編輯: 尚彩娟)

SIRS Rumors Spreading Model with Time Delay on Scale-free Network

LI Tao

(Department of Fundamental Courses, Ordnance Engineering College, Shijiazhuang 050003, China)

Abstract：By analyzing the characteristics and the way of spreading rumors with forgetting effect, a novel SIRS rumors spreading model with time delay on scale-free network is proposed. The basic reproductive number for the model is calculated. it is concluded through verification that the rumors will die out when the basic reproductive number is less than 1, while the persistence of the rumors is shown when the basic reproductive number is larger than 1. At last, numerical simulations are given to illustrate the effectiveness of the analytical results.

Key words:scale-free network; SIRS rumor; time delay; basic reproductive number

文章編號(hào)：1672-1497(2016)02-0104-04

收稿日期：2015-11-23

作者簡(jiǎn)介：李濤(1983-)，男，碩士研究生。

中圖分類號(hào)：G206

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.3969/j.issn.1672-1497.2016.02.021