曲焱炎， 高　岱， 宮　娜

(哈爾濱工業(yè)大學 機電工程學院, 哈爾濱 150001)

圓錐內(nèi)定點至錐表面垂點軌跡

曲焱炎， 高岱， 宮娜

(哈爾濱工業(yè)大學 機電工程學院, 哈爾濱 150001)

摘要:為解決實際工程中遇到的圓錐曲線問題，研究圓錐內(nèi)任意點至所有素線垂足軌跡的方程. 根據(jù)圓錐形成的性質(zhì)和向量幾何的理論，如果點至素線的方向向量垂直素線方向向量，那么二者向量的點積等于零，由此求出垂足參數(shù)表達式. 推算并化簡垂足軌跡點參數(shù)方程，通過極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)換，得出垂足點軌跡為圓錐與球偏交得的兩曲面交線以及交線的笛卡爾坐標表達式. 結(jié)果表明，若以圓錐內(nèi)一點與圓錐頂點連線為直徑作球，則球面與圓錐素線交點和圓錐內(nèi)定點連線垂直于素線；研究軌跡線的投影性質(zhì)表明，其正面投影為拋物線，水平投影為閉合的二次曲線.

關鍵詞:圓錐；素線；方向向量；垂足軌跡；球偏交圓錐；交線

圓錐曲線在幾何學中是個值得研究深入的課題，與圓錐軸線成不同角度的平面截切圓錐會得到圓、橢圓[1]、拋物線[2]、雙曲線、三角形5種類型的交線[3]，并稱為圓錐曲線，王書營[4]研究得出圓錐曲線的性質(zhì)有著對立統(tǒng)一的關系. 田福潤等[5]研究了一般位置平面截切正圓錐和鉛垂面截切斜圓錐，截交線特殊點的兩種情況. 圓錐與同軸的回轉(zhuǎn)體相貫線是圓[6]. 而不同軸相貫相交曲線即是二次曲線. 與圓錐同軸圓柱的相貫線是相當于軸線上一定點到圓錐表面成相同角度的動點的軌跡，其軌跡是個圓. 近年來,研究圓錐的熱點集中在圓錐與回轉(zhuǎn)體相貫線問題上，如谷艷華等[7]詳細研討了柱錐正貫的相貫線最右點的解析. 清華大學的劉敏等[8]圖解分析了柱錐軸線斜交相貫線變化規(guī)律和極值點的求解. 孫巖[9]研究了點到定直線和定平面距離比為常數(shù)的軌跡問題. 李世臣等[10]利用公式生成法研究了點的軌跡問題. 在控制理論研究中，研究點軌跡問題有圖解法和解析法[11]，而解析法得出都是代數(shù)方程[12]. 理論物理學在研究等離子體介質(zhì)色散，也有計算磁單極子沿圓錐曲線運動的輻射運動軌跡問題[13]. 天體物理學研究行星按圓錐曲線運動的時間計算中，也會涉及至錐面最短距離的解析[14]. 王澤南[15]利用極坐標方程的虛實部分解的方式，極大簡化了計算. 筆者在教學過程中發(fā)現(xiàn)了以往書本中所未提及的一個定點投影軌跡問題，某定點不在軸線上而在圓錐內(nèi)，定點到圓錐表面垂直距離點的軌跡是什么？軌跡交線如何求得，且交線是何種形式，這是個值得研究的問題，以往文獻也從未提及.

1圓錐內(nèi)定點至圓錐表面垂足點求解

圓錐面是由與軸線成銳角的母線繞其旋轉(zhuǎn)一周而形成，母線旋轉(zhuǎn)的任意位置稱之為素線. 那么圓錐內(nèi)一點到圓錐表面距離就相當于由定點A作任意素線的垂線，交點為垂足動點T，如圖1所示.

圖1　垂點立體解析

為便于研究,圓錐內(nèi)任意點A可以取在圓錐底面上(即使在圓錐內(nèi)也可以過A作垂直于軸線的截面切掉下半部圓臺)，以圓錐頂點為坐標原點，圓錐軸線方向為Z軸，同時A點設在平行于X軸的底圓上. 圓錐半頂角為β，底圓周半徑為R，圓錐高為h，A距離底圓圓心為a. 于圓錐錐頂S建立直角坐標系，以圓錐任意點T至軸線距離ρ和X軸間角θ為參數(shù)的曲面方程為

A點坐標為(-a,0,-h). B點坐標為(Rcosθ, Rsinθ,-h)，S點坐標為(0,0,0),O點坐標為(0,0,-h).

因T在SB上，所以設T:

(1)

由式(1)得

(2)

(3)

由式(2)·(3)=0得

(4)

2垂足點方程幾何分析

簡化式(4)得

(5)

由h=Rcotβ，則T點坐標為

(6)

將式(5)代入式(6)，寫成笛卡爾坐標形式：

(7)

(8)

(9)

式(7)～(9)中x、y、z值域分別為:

此為關于θ的函數(shù)方程，其余參數(shù)均為常量, 滿足錐面直角坐標方程

(10)

式(7)除以式(9)得

(11)

將式(11)代入式(9)得到z與x的關系式

(12)

式(10)變形得

(13)

式(13)代入式(12)得

(14)

式(12)加式(14)并簡化得:

(15)

式(15)為T點所屬另一曲面，是以(-a/2，0，-h/2)為圓心，圓心到圓錐頂點為半徑的球面. 聯(lián)立式(11)和 式(15)，得到圓錐內(nèi)定點至素線垂足點軌跡是以定點與圓錐頂點連線的中點為圓心，定點到圓錐頂點距離為直徑的球面與圓錐面相交線，如圖2所示.

(16)

圖2　垂足軌跡交線

3曲線的投影分析

3.1曲線正面投影分析

由式(12)得

此方程組為曲線的正面投影,則

此正面投影是以(h2cos2β/4a，-hcos2β/2)為頂點，以(h2cos2β/4a-acos2β/2，-hcos2β/2)為焦點，開口朝Z軸正向的拋物線的一段. 截交線投影圖如圖3所示，由圖3可以看出這段拋物線與直線很貼近. 當a=0時，就是z=-hcos2β的平行X軸的直線段.

圖3　垂足軌跡投影

3.2曲線水平投影分析

由聯(lián)立的式(16)，消去z，并與z=0聯(lián)立得到水平投影方程式.

水平投影為一封閉的二次曲線，曲線和橢圓很近似. 當a=0時，就是一個半徑為Rcos2β，圓錐頂點在圓錐底面投影為圓心的圓.

4結(jié)論

1)從圓錐內(nèi)一點作素線垂線，所有垂足點的軌跡是以定點與圓錐頂點為直徑的圓球與圓錐的交線.

2)過圓心與圓內(nèi)任意點連線為直徑做球面，球面與某素線交點與任意點連線垂直素線.

3)圓錐斜貫圓球相貫線為二次曲線，其正面投影為拋物線.

參考文獻

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[14]蔡志東.物體作圓錐曲線運動的時間計算[J].山東理工大學學報(自然科學版)，2010, 24(2):16-19.

[15]王澤南.一種簡易的根軌跡方程—極坐標方程的建立[J].天津大學學報(自然科學版)， 2002, 35(1):75-77.

(編輯楊波)

Research on the pedals trajectory on cone surface of inside point to element line

Qü Yanyan, GAO Dai, GONG Na

(School of Mechatronics Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

Abstract:This paper studies the trajectory equations of pedals of an inside arbitrary point to all element lines of a cone for solving the problem of cone curve in actual engineering. Based on the feature of a cone and the theory of differential geometry, when the vector from an inside arbitrary point to an element line is perpendicular to the vector of that element line, their scalar product has to be zero, thus the parameter expression of the pedals is derived. After calculated and simplified, the parameter equation of track points shows an intersection track line of the cone and an offset sphere. And the expression in the Descartes coordinate is given. Furthermore, a conclusion is obtained that if there defines a sphere by a diameter from the summit to an arbitrary point in the cone, then lines from the given point to the intersection of that sphere and cone are perpendicular to the intersected conical element lines. Meanwhile, the projection property of the trajectory is studied, and the frontal projection is a parabola, and the horizontal projection is a quadratic curve.

Keywords:cone; element line; vector; the trajectory of perpendicular point; cone intersecting oblique sphere; intersecting line

doi：10.11918/j.issn.0367-6234.2016.07.011

收稿日期:2015-09-08

基金項目:哈工大實驗室工程圖學建設項目; 哈工大教學研究項目; 黑龍江省高等教育教學改革項目

作者簡介:曲焱炎(1971—)，講師， 博士研究生

通信作者:曲焱炎, quyanyanhit@126.com

中圖分類號:TH126

文獻標志碼:A

文章編號:0367-6234(2016)07-0073-03