資興市鯉魚江完全小學(xué)數(shù)學(xué)組　瀟湘數(shù)學(xué)教育工作室

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“正方體展開圖的認(rèn)識(shí)”教學(xué)研究報(bào)告

資興市鯉魚江完全小學(xué)數(shù)學(xué)組瀟湘數(shù)學(xué)教育工作室

一、問題

“長方體與正方體展開圖的認(rèn)識(shí)”是人教版數(shù)學(xué)教材五年級(jí)下冊第三單元“長方體和正方體”中的內(nèi)容。教材中通過將正方體紙盒剪拆后展平得到正方體的展開圖，讓學(xué)生經(jīng)歷從三維空間到二維平面的過程，“做一做”中要求學(xué)生從3個(gè)平面圖形中選出能夠圍成正方體的展開圖。這一內(nèi)容的引入重在發(fā)展學(xué)生的空間觀念，為長方體與正方體的表面積學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

然而，如何讓學(xué)生的思維在平面與空間之間切換自如呢？學(xué)生的空間想象能力如何在辨認(rèn)正方體展開圖的練習(xí)中提高呢？教師不能滿足于練習(xí)中結(jié)論的得出，更應(yīng)關(guān)注學(xué)生的思維過程。教學(xué)中學(xué)生可以通過動(dòng)手操作，運(yùn)用想象幫助積累思維經(jīng)驗(yàn)，更好地促進(jìn)空間觀念的發(fā)展。

1.教學(xué)實(shí)踐中的問題

在長方體與正方體的展開圖教學(xué)中，由于長方體相對(duì)的兩個(gè)面相等，在展開圖的辨認(rèn)中，學(xué)生能根據(jù)各個(gè)面的大小情況較順利地完成。而正方體的展開圖是由6個(gè)完全相同的正方形構(gòu)成的，學(xué)生常常因分不清方向?qū)е屡袛嗬щy。因此，正方體展開圖的辨認(rèn)就成了教學(xué)的難點(diǎn)。

許多老師在教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)，采用的是“蜻蜓點(diǎn)水”式：由正方體的實(shí)物盒子展開（或借用互聯(lián)網(wǎng)資源演示正方體紙盒展開的過程）引出一個(gè)典型的正方體展開圖圖例，再依次標(biāo)上“前、后、左、右、上、下”各個(gè)面，完成“做一做”練習(xí)后就進(jìn)入了表面積的學(xué)習(xí)。由于教學(xué)安排的時(shí)間短，教學(xué)內(nèi)容只停留在知識(shí)的表層，練習(xí)的完成多數(shù)是集體對(duì)答案，寫錯(cuò)的學(xué)生更正即可。而當(dāng)學(xué)生在判斷出現(xiàn)困難時(shí)，教師只是以講解或演示代替學(xué)生的動(dòng)手操作，試圖以教具的演示讓學(xué)生學(xué)會(huì)想象，以圖例的分析讓學(xué)生學(xué)會(huì)推理。多種多樣的正方體展開圖這一教學(xué)資源并未受到教師的重視。學(xué)生在這個(gè)過程中，沒有動(dòng)手操作，沒有猜想驗(yàn)證，思維處于被動(dòng)接受的狀態(tài)，空間想象能力的提升也打了折扣。

除了教師對(duì)某類圖例講解過多給學(xué)生形成了思維定式外，思維的局限性還有學(xué)生自身的原因。在對(duì)學(xué)生進(jìn)行正方體展開圖判斷情況的調(diào)查中，我們發(fā)現(xiàn)近半數(shù)的學(xué)生只是憑直覺對(duì)平面圖形能否圍成正方體進(jìn)行是非判斷，完成的速度較快，兩三分鐘就能判斷7～8個(gè)平面圖；少數(shù)學(xué)生會(huì)先在平面圖上用手比劃著折疊的方向，再根據(jù)想象做出判斷，完成一幅平面圖的判斷大約需要半分鐘；個(gè)別學(xué)生會(huì)在紙上將平面圖畫出并用剪刀剪下來，自己動(dòng)手折一折再進(jìn)行判斷，完成一幅平面圖的判斷耗時(shí)較長。第一類學(xué)生的正確率并不高，學(xué)生的思維缺少沉淀；第二類學(xué)生是在利用想象進(jìn)行思考，但未將正方體6個(gè)面的方位知識(shí)聯(lián)系起來思考，還停留在用手比劃的半形象半抽象階段；第三類學(xué)生明顯地感到自己空間想象困難，選擇了對(duì)實(shí)物進(jìn)行操作來彌補(bǔ)想象能力的不足。第二、三類學(xué)生都在用自己的方法嘗試著平面與空間的對(duì)接，他們的這種探究活動(dòng)是隨意的。而教師不能及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中有價(jià)值的體驗(yàn)并將之總結(jié)成為經(jīng)驗(yàn)，這是非?？上У摹?/p>

教之困:

1.怎樣設(shè)計(jì)學(xué)具才能滿足正方體展開圖的豐富多樣性與學(xué)生操作的靈活性呢？

2.如何組織學(xué)生從探究活動(dòng)中自主生成正方體展開圖的四種類型而避免機(jī)械記憶呢？

3.怎樣通過操作實(shí)踐，學(xué)生借助想象與推理使幾何描述更具條理性，以架起平面圖形與立體圖形之間的橋梁呢？

學(xué)之難：

1.學(xué)生積累的可供想象的表象不夠豐富，空間想象能力較弱，思維具有局限性，動(dòng)手折展正方體學(xué)具的方法缺乏多元化。

2.學(xué)生用語言描述幾何圖形的特征時(shí)感到困難重重，思維缺乏條理性與系統(tǒng)性。

3.學(xué)生學(xué)習(xí)“圖形與幾何”知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)不足，學(xué)習(xí)方法單一，缺乏深入的思考。

2.對(duì)問題的分析

五年級(jí)學(xué)生的思維正從形象思維向抽象思維過渡，因此教學(xué)中要重視從實(shí)物到圖形的抽象。在正方體展開圖的認(rèn)識(shí)中，教學(xué)時(shí)利用好學(xué)具可以順利實(shí)現(xiàn)平面與空間的轉(zhuǎn)化。正方體展開圖有11種情況，如果每一種情況用一個(gè)學(xué)具來呈現(xiàn)，那就要準(zhǔn)備11個(gè)學(xué)具，這無疑給學(xué)具的準(zhǔn)備帶來了麻煩。我們決定自制一個(gè)可以活動(dòng)的學(xué)具，靈活實(shí)現(xiàn)正方體11種展開圖的呈現(xiàn)。先用塑料紙片做了6個(gè)同樣大小的正方形，再用透明膠將其連接好，使用時(shí)可以根據(jù)需要將其任意進(jìn)行粘合（如圖所示）。

首先，在辨認(rèn)平面圖形是否可以通過折疊圍成正方體時(shí)，部分學(xué)生缺乏空間想象力，需要借助學(xué)具完成對(duì)展開圖的辨認(rèn)。在這一操作過程中，學(xué)生積累了學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)在大腦中儲(chǔ)存了一些關(guān)于正方體展開圖的表象。在教學(xué)中，可以讓學(xué)生對(duì)大腦中已有的表象進(jìn)行再加工，發(fā)揮想象，大膽猜想，嘗試創(chuàng)造出更多的可以拼成正方體的平面圖形。運(yùn)用正方體展開圖的多樣性發(fā)散學(xué)生的思維，成了我們教學(xué)中關(guān)注的重點(diǎn)。

其次，教給學(xué)生學(xué)習(xí)的方法也很重要，借助學(xué)具對(duì)自己的猜想進(jìn)行驗(yàn)證，找到失敗的原因或?qū)⒊晒Φ膱D形與同伴共享?？刹捎眯〗M合作探究的學(xué)習(xí)方式對(duì)正方體的四類展開圖進(jìn)行研究，各小組將探究到的能圍成正方體的平面圖形在全班進(jìn)行交流。學(xué)生通過交流，突破思維的局限性，提高教學(xué)效率。

最后，對(duì)各種正方體展開圖進(jìn)行歸類整理，將零星的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)化、條理化，讓學(xué)生在歸納概括中升華新知。從整個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)中認(rèn)識(shí)正方體展開圖，找到知識(shí)的生長點(diǎn)與歸宿點(diǎn)，使學(xué)習(xí)更有系統(tǒng)性與針對(duì)性。

那么，11種正方體的展開圖是否有必要全部引出呢？我們認(rèn)為可以根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平靈活決定，得到11種正方體展開圖不是本學(xué)段的最終目的。我們應(yīng)關(guān)注的是，在探究正方體展開圖的過程中，借正方體展開圖的多樣性發(fā)散學(xué)生的思維，提高學(xué)生的想象能力、推理能力，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。最終，在分析平面圖形時(shí)，不是讓學(xué)生憑借對(duì)正方體展開圖機(jī)械記憶的表象對(duì)其進(jìn)行判斷，而是讓學(xué)生能在頭腦中呈現(xiàn)學(xué)具折疊過程的動(dòng)態(tài)表象，憑借空間想象能力順利將平面轉(zhuǎn)換成空間，正確完成判斷。

二、實(shí)踐

針對(duì)教學(xué)中教師存在的困惑與學(xué)生遇到的困難，我們結(jié)合教材“做一做”內(nèi)容，組織學(xué)生對(duì)正方體展開圖的認(rèn)識(shí)進(jìn)行了更深入的探究，開展了以下教學(xué)嘗試。

（一）初步感知

1.引導(dǎo)學(xué)生想象：沿著正方體某些棱剪開，展開后能得到什么樣的圖形呢？

2.課件演示沿著正方體某些棱剪開后再展開的動(dòng)態(tài)過程，學(xué)生初步感知正方體的6個(gè)面在其展開圖中對(duì)應(yīng)的位置。

（二）操作驗(yàn)證

教師出示教材“做一做”內(nèi)容。

師：請同學(xué)們以小組為單位，先用學(xué)具折一折再選擇，并試著說一說自己判斷的理由。

學(xué)生小組合作，動(dòng)手操作學(xué)具，然后進(jìn)行匯報(bào)。

生1：第一個(gè)圖形和第二個(gè)圖形可以圍成正方體，第三個(gè)圖形不能圍成正方體。

生2：前兩個(gè)圖形圍成正方體時(shí)，6個(gè)面都在對(duì)應(yīng)的位置上；第三個(gè)圖形圍正方體時(shí)，有一個(gè)面是空的，所以不能成功。

生3：第三個(gè)圖形圍正方體時(shí)，有兩個(gè)面疊在了一起，有重疊部分的圖形是不能圍成正方體的。

師：你將圖形折疊后的結(jié)果用語言描述得很清楚，非常好。你能在第三個(gè)圖形中將折疊后會(huì)重疊的部分用“○”標(biāo)記出來嗎？

生3上臺(tái)完成對(duì)第三個(gè)圖形的標(biāo)記（如圖1所示）。

圖1

學(xué)生再次折疊教具，在教具中找到圖形中標(biāo)記的兩個(gè)重疊的面。

（三）突破局限

師：還有哪些這樣的圖形也能通過折疊圍成正方體呢？請你們盡情地想象，大膽地將它們畫出來吧！

學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視指導(dǎo)，匯報(bào)結(jié)果。

師：我們畫的平面圖形能否圍成正方體還需要驗(yàn)證。請大家利用學(xué)具檢驗(yàn)自己畫的圖形能不能圍成正方體。

學(xué)生小組合作利用學(xué)具對(duì)所畫圖形進(jìn)行驗(yàn)證，教師組織學(xué)生進(jìn)行全班交流。

生4：我畫的可以。我是在中間畫了4個(gè)，上面1個(gè)，下面1個(gè)（如圖2）。

生5：我的也可以。我是在中間畫了3個(gè)，然后上面2個(gè)相連，下面1個(gè)（如圖3）。

生6：我的不能拼成正方體。我在上面畫了3個(gè)，中間2個(gè)相連，下面1個(gè)（如圖4）。

……

圖2

圖3

師：你能像前面學(xué)習(xí)那樣將折疊后會(huì)重疊的部分用“○”在圖4中標(biāo)記出來嗎？

該生對(duì)圖4標(biāo)記情況如圖5所示。

師：是否還有其他圖形通過折疊也能圍成正方體？不要怕錯(cuò)，各種形狀要敢于試，才能發(fā)現(xiàn)與眾不同的圖形。

生7：老師，我們又找到了一種，3 個(gè)3個(gè)拼在一起也能圍成正方體（如圖6）。

師：很好。是不是只要3個(gè)3個(gè)拼在一起就能圍成正方體呢？

生8：不是的，像圖7與圖8折疊后就不能圍成正方體。

學(xué)生操作學(xué)具驗(yàn)證上述幾種情況，找到圖7與圖8折疊后會(huì)重疊的部分。

生9：老師，我又拼成了一種！是每層2個(gè)拼在一起，也可以圍成正方體。（如圖9）

……

師：你們真是一群富有想象力的孩子，老師為你們精彩的回答點(diǎn)贊！

（四）拓展延伸

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

師：仔細(xì)觀察這些展開圖，你發(fā)現(xiàn)它們有什么特點(diǎn)嗎？

生10：這些展開圖都是2～4行或列。

師：能不能將這些展開圖進(jìn)行分類呢？

生11：兩層的分一類，三層的分一類。

生12：分為1—4—1型、1—3—2型、2—2—2型與3—3型。

……

師：根據(jù)正方體展開圖的特點(diǎn)來學(xué)習(xí)，這樣知識(shí)理解得會(huì)更充分。

出示練習(xí)：下面哪些圖形折疊后能圍成正方體？

師：想象一下，哪個(gè)圖形能圍成正方體，它是怎樣圍成的？如果感到有困難，可用學(xué)具進(jìn)行驗(yàn)證。

學(xué)生獨(dú)立完成，全班進(jìn)行集體交流，師指名學(xué)生說說判斷的理由。

三、討論

1.如何成功地幫助學(xué)生的思維在平面與空間之間相互轉(zhuǎn)化？

（1）巧借多媒體課件動(dòng)態(tài)演示，幫助學(xué)生初步實(shí)現(xiàn)平面與空間之間的轉(zhuǎn)化。

在課始，教師拋出問題：“沿正方體某些棱剪開，它的展開圖是怎樣的呢？”在學(xué)生滿懷期待的眼光里，教師用課件演示了正方體展開圖的折展過程，并將展開圖以靜態(tài)的表象呈現(xiàn)在屏幕上。學(xué)生觀看正方體展開圖的折展過程后發(fā)現(xiàn)：處在三維空間的正方體可以通過剪、展的操作進(jìn)入到平面，初步了解到正方體展開圖的由來，感知正方體展開圖中每個(gè)小正方形與三維空間中正方體的各個(gè)面之間的關(guān)系。教師用課件巧妙地演示了空間與平面的轉(zhuǎn)化過程，學(xué)生在這一學(xué)習(xí)活動(dòng)中積累了空間想象必備的表象。

（2）活動(dòng)的學(xué)具成為學(xué)生平面與空間相互轉(zhuǎn)化的利器。

在教師拋出問題“是否還有其他圖形通過折疊也能圍成正方體？”后，學(xué)生們發(fā)揮想象，大膽猜想，在紙上畫出更多的可能拼成正方體的平面圖形，然后利用自制的活動(dòng)學(xué)具一一進(jìn)行驗(yàn)證。每折展一次，學(xué)生就在正方體展開圖中為每個(gè)小正方形找到其在三維空間中的正方體中對(duì)應(yīng)的位置。當(dāng)活動(dòng)進(jìn)行到一定程度的時(shí)候，有的學(xué)生已經(jīng)可以脫離學(xué)具進(jìn)行驗(yàn)證了，在與同伴交流時(shí)是這樣講述的：“我每創(chuàng)造一種新的平面圖形后，頭腦里就會(huì)想象出圖中每個(gè)小正方形在正方體中對(duì)應(yīng)的位置，沒有重疊的部分就行了?！边@表明動(dòng)手操作能夠帶來一個(gè)了不起的思維過程，一次成功的空間轉(zhuǎn)化。

有了這些基礎(chǔ)，在歸類整理環(huán)節(jié)中，學(xué)生通過觀察正方體展開圖的多種組合情況，找到了它們的共性：把中間那層小正方形個(gè)數(shù)相同的展開圖歸為一類，并根據(jù)正方體展開圖的特點(diǎn)，較順利地分出了各種類型。

2.應(yīng)重視學(xué)生用語言描述幾何體的特征，借助幾何描述性語言的訓(xùn)練促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。

在教學(xué)中，我們要重視對(duì)學(xué)生進(jìn)行幾何語言描述的訓(xùn)練。例如：在借助想象判斷平面圖形能否通過折疊圍成正方體時(shí)，教師應(yīng)該讓學(xué)生多對(duì)不能圍成正方體的圖形進(jìn)行原因分析，引導(dǎo)學(xué)生說出是因?yàn)槟硯讉€(gè)面的重疊擺放，導(dǎo)致折疊結(jié)果的不完整。如：左面出現(xiàn)了重疊，不能圍成正方體……然后，學(xué)生通過學(xué)具操作，對(duì)自己的想象是否合理進(jìn)行驗(yàn)證。用語言描述幾何體的過程，其實(shí)是學(xué)生在自己頭腦中再現(xiàn)探究活動(dòng)的過程。它既有對(duì)幾何體原型的直觀呈現(xiàn)，又有對(duì)原型的抽象概括。這樣的訓(xùn)練能讓學(xué)生的思維更具條理性，促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展。

3.如何進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的空間想象力？

11種正方體的展開圖便是11朵“花”，每朵“花”都凝聚著教師的引導(dǎo)和學(xué)生的思考。如何讓每朵“花”在學(xué)生的思維中扎根？學(xué)生畫圖和操作學(xué)具始終只是手段，最終還是要發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，讓靜態(tài)的表象借想象之力“動(dòng)”起來。從教學(xué)實(shí)踐中，教師找到了“教之困”與“學(xué)之難”的最佳切入點(diǎn)——折展教具的運(yùn)用，把“困”與“難”在折展中輕松化解。當(dāng)然，學(xué)生空間想象能力的形成需要一個(gè)過程。在這個(gè)過程中，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤。其實(shí)這并不可怕，這是學(xué)生空間想象能力形成的必然過程。教師要引導(dǎo)學(xué)生多借助實(shí)物進(jìn)行驗(yàn)證、對(duì)比、分析，糾正錯(cuò)誤的認(rèn)知，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而形成良好的空間觀念。

（執(zhí)筆：李英、曹彪、曹英、謝春艷、郭劍云、黎林華、蔣東鋒）