楊健輝

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讓學(xué)生經(jīng)歷和體會(huì)“試”的感覺(jué)
——除法試商起始教學(xué)的一點(diǎn)建議

楊健輝

時(shí)下許多教學(xué)資源中對(duì)整數(shù)除法的意義、除法豎式寫法及意義、除法豎式中商的寫法等有了很多的研究和文獻(xiàn)，然而對(duì)于試商，特別是對(duì)試商起步階段教學(xué)的相關(guān)研究還關(guān)注得不夠。很多時(shí)候，學(xué)生在筆算一位數(shù)除多位數(shù)、兩位數(shù)除多位數(shù)的時(shí)候用到了一些試商的方法和技巧，卻對(duì)為什么要試商，甚至什么是試商等問(wèn)題都不清楚。顯然，這種情況會(huì)極大地影響學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)除法計(jì)算的效果，也自然引起了我們的關(guān)注和深思。

一、問(wèn)題的提出

這是一個(gè)奇怪的現(xiàn)象：教師在教學(xué)多位數(shù)除法時(shí)會(huì)苦口婆心地告誡學(xué)生試商時(shí)要注意什么，而且學(xué)生也會(huì)很努力地按要求去做和解題，但過(guò)后仍然有不少教師反映學(xué)生的計(jì)算速度慢，且經(jīng)常出錯(cuò)。好奇之下，我曾問(wèn)過(guò)一部分學(xué)生“什么是試商”“為什么要試商”之類的問(wèn)題，幾乎沒(méi)有幾個(gè)學(xué)生能夠回答。更可怕的是同樣的問(wèn)題也曾問(wèn)過(guò)許多一線數(shù)學(xué)教師，也沒(méi)有幾個(gè)人能將這些問(wèn)題說(shuō)明白、說(shuō)透徹。那么究竟是什么原因?qū)е铝藢W(xué)生在計(jì)算時(shí)出現(xiàn)猶豫、茫然、速度緩慢等現(xiàn)象呢？我們不妨回過(guò)頭來(lái)看看學(xué)生接觸到“試商”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的前前后后。

1.試商教學(xué)內(nèi)容的梳理

試商是整數(shù)除法計(jì)算中公認(rèn)的難點(diǎn)，也是計(jì)算教學(xué)的難點(diǎn)之一。人教版教材中關(guān)于整數(shù)除法的教學(xué)內(nèi)容是這樣安排的：從二年級(jí)下冊(cè)開(kāi)始，分別有三個(gè)單元是講述除法教學(xué)的內(nèi)容：表內(nèi)除法（一）、表內(nèi)除法（二）、有余數(shù)的除法，其中表內(nèi)除法（一）、（二）包括除法的意義、用口訣求商等內(nèi)容；而在有余數(shù)的除法單元?jiǎng)t包含了有余數(shù)除法的意義、性質(zhì)、除法豎式寫法以及教學(xué)試商（初次）等4個(gè)例題（另有2個(gè)例題是解決問(wèn)題）。在三年級(jí)下冊(cè)則安排了教學(xué)除數(shù)是一位數(shù)的除法。四年級(jí)上冊(cè)安排了教學(xué)除數(shù)是兩位數(shù)的除法等（其中北師大版教材二年級(jí)部分與人教版相同），這幾個(gè)部分的內(nèi)容都是要用到試商的?！咀試@：?jiǎn)慰炊昙?jí)下冊(cè)一個(gè)學(xué)期內(nèi)容的安排中就有3個(gè)單元與除法相關(guān)，學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)絕對(duì)過(guò)大。對(duì)此筆者有一建議：不妨將此處孤單的例題4（僅講試商）內(nèi)容移至三年級(jí)上冊(cè)教材中作為一個(gè)小專題，這樣既可減輕此處的過(guò)重負(fù)擔(dān)，也可避免三年級(jí)上學(xué)期幾乎沒(méi)除法的學(xué)習(xí)空白，此當(dāng)另說(shuō)，僅供參考】

從前述分析我們可以看出，學(xué)生第一次遇到試商是在二年級(jí)下學(xué)期學(xué)習(xí)表內(nèi)除法和有余數(shù)的除法時(shí)。前者是因?yàn)樵诒韮?nèi)除法部分用乘法口訣求（找到）商本身就有“試”的過(guò)程與味道（嘗試找對(duì)應(yīng)的口訣）。而在有余數(shù)的除法部分則要求提高：二年級(jí)下冊(cè)的教師用書(shū)在有余數(shù)的除法單元目標(biāo)中，首次提出了讓學(xué)生“初步掌握試商的基本方法”的表述，為此新修訂的教材中增加了有關(guān)教學(xué)試商的例題4，并且這個(gè)例題還是首次離開(kāi)具體情境直接用豎式計(jì)算。正是由于脫離了具體操作來(lái)求商，教師必然還是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)想乘法口訣來(lái)求商。但此處用到的試商方法與表內(nèi)除法部分出現(xiàn)的口算直接可以求商相比，學(xué)生出現(xiàn)了一個(gè)具體的困難：此時(shí)根據(jù)被除數(shù)找不到與之直接對(duì)應(yīng)的乘法口訣，學(xué)生無(wú)法馬上或直接找到商。

2.有關(guān)試商的算理分析

除法在四則運(yùn)算中別具一格，它不像加、減、乘法那樣，只按照一個(gè)簡(jiǎn)單的法則就能夠求出一個(gè)準(zhǔn)確的結(jié)果。特別是在除法豎式計(jì)算時(shí)，對(duì)于商中的每個(gè)數(shù)字都要經(jīng)過(guò)試探才能確定。這是因?yàn)樵谟?jì)算除法時(shí)，根據(jù)乘、除法之間的相逆關(guān)系，還是要回到借助乘法口訣來(lái)求商。在表內(nèi)除法單元中，所遇到的除法算式中的被除數(shù)可以在乘法口訣中找到對(duì)應(yīng)的數(shù)（口訣中的計(jì)算結(jié)果），所以學(xué)生此時(shí)的試商過(guò)程基本上就是通過(guò)背記口訣而寫出商。而在學(xué)習(xí)有余數(shù)除法的豎式計(jì)算過(guò)程中，學(xué)生通常會(huì)碰到整數(shù)除法學(xué)習(xí)的兩個(gè)難點(diǎn)。第一個(gè)難點(diǎn)是，在用除法豎式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，所涉及的運(yùn)算包含了加、減、乘三種運(yùn)算，學(xué)生需要按照一定的順序、規(guī)則和格式計(jì)算并書(shū)寫。這個(gè)過(guò)程對(duì)二年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)不僅比較復(fù)雜，還有一定的難度，需要一段時(shí)間的模仿和練習(xí)才能掌握與消化（例3就是講豎式的寫法和意義）。第二個(gè)難點(diǎn)是，由于要利用乘法口訣來(lái)找商，學(xué)生面對(duì)豎式里的被除數(shù)一時(shí)難以想到究竟要用哪句乘法口訣來(lái)找商，因此需要經(jīng)歷一個(gè)嘗試的過(guò)程：第一步是想，看除數(shù)是幾，就想與幾有關(guān)的口訣；第二步是試，在這些口訣中試找出滿足一個(gè)數(shù)與除數(shù)相乘能最接近被除數(shù)的那句乘法口訣；第三步是比，不僅要比較找到的那個(gè)數(shù)跟除數(shù)的乘積與被除數(shù)的大小，還要滿足這個(gè)乘積不能超過(guò)被除數(shù)、且兩者相減余下的數(shù)要比除數(shù)小，在此基礎(chǔ)上確定具體的商（不完全商，以下簡(jiǎn)稱商）。以43÷7為例（例題4），由于在乘法口訣中找不到某一個(gè)整數(shù)乘7，能得到43，但是能夠找到一個(gè)數(shù)6與7的積（42）小于43，而（6+1）乘7的積（49）大于43，從43中減去6與7的積（42），還余1，即43=6×7+1。這里的6叫做不完全商（簡(jiǎn)稱商），1是余數(shù)。這里尋找到6的思考過(guò)程就是所謂的試商過(guò)程。

由上述的分析可知，通常我們計(jì)算整數(shù)除法時(shí)，根據(jù)乘、除法之間的相逆關(guān)系以及除法性質(zhì)，最后還是要回到借助乘法口訣來(lái)求商，因此這個(gè)按一定的規(guī)則尋找和思考商的過(guò)程就是試商。這不僅是試商的由來(lái)，也是試商的基本思路與方法。

從以上的分析中我們可以發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)行試商的起始教學(xué)時(shí)，教師怎么樣給予學(xué)生一個(gè)足夠的時(shí)空、搭建一個(gè)嘗試平臺(tái)，讓學(xué)生明晰試商的由來(lái)和含義，初步體會(huì)試商的基本方法和要求是教學(xué)的重中之重。至于試商的各種方法、技巧等可在學(xué)生明白了試商的由來(lái)與意義的基礎(chǔ)上，逐漸加以積累和完善。

二、教學(xué)改進(jìn)分析

1.教學(xué)定位

由于本節(jié)課的有余數(shù)除法計(jì)算不再借助具體的操作，而是讓學(xué)生利用除法豎式，直接想乘法口訣尋找商，所以學(xué)生的思考過(guò)程會(huì)遇到比較大的困難。其一，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)有太多的概念、方法、規(guī)則和要求（包括上節(jié)課剛接觸到的豎式寫法、被除數(shù)與商和除數(shù)乘積的差、所得的商要使商和除數(shù)的乘積最接近被除數(shù)、余數(shù)不能大于除數(shù)等）。其二，尋求答案的過(guò)程有太多的思維步驟，要經(jīng)歷“想—試—比”的過(guò)程（如前述分析），顯然這對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)太多了、太難了！但由于本課的試商內(nèi)容是今后學(xué)習(xí)一位數(shù)除多位數(shù)、兩位數(shù)除多位數(shù)筆算試商的重要基礎(chǔ)，也是除法學(xué)習(xí)中一個(gè)重要的節(jié)點(diǎn)，因此這部分的知識(shí)又必須讓學(xué)生學(xué)好。在目前教材沒(méi)有調(diào)整和另外安排的情況下，我們可秉承“一課一得，課課有得”的原則，根據(jù)教學(xué)實(shí)際，慎重思考，精心規(guī)劃：一方面是嚴(yán)格控制難度，不要過(guò)早、過(guò)高地講術(shù)語(yǔ)、趕進(jìn)度來(lái)要求學(xué)生；另一方面要深入了解學(xué)情，用學(xué)生能夠接受的方式，給予較充裕的時(shí)空、提供嘗試的平臺(tái)、實(shí)施簡(jiǎn)明的教學(xué)程序等，幫助學(xué)生感受試商的由來(lái)、基本方法及要求，做到開(kāi)好頭、緩起步、慢推進(jìn)，實(shí)現(xiàn)一課一得（本課重在讓學(xué)生明白試商的意義及最簡(jiǎn)單的方法和要求）、課課有得（在接下去的教學(xué)中逐步學(xué)習(xí)和積累方法、技巧）的目的。

2.改進(jìn)設(shè)想

我們認(rèn)為“例題4：用豎式計(jì)算43÷7=”教學(xué)的關(guān)鍵是讓學(xué)生充分體驗(yàn)試商的過(guò)程，并想方設(shè)法把學(xué)生的“想口訣作比較”，即試商的思維過(guò)程顯性化，以便在交流時(shí)幫助學(xué)生初步明白試商的由來(lái)、思路和方法，比較選優(yōu)，積累經(jīng)驗(yàn)。

改進(jìn)的設(shè)想如下：將例4的橫式與豎式都展示在學(xué)習(xí)單上（如下圖），在橫式下多提供幾個(gè)豎式的空白圖，并且告訴學(xué)生可以把自己的想法填寫在學(xué)習(xí)單上的豎式中，如果第一次找的商不合適，請(qǐng)不要擦，而是直接在第二個(gè)豎式上重新計(jì)算，直到找到合適的商為止。

這樣的設(shè)計(jì)主要是讓學(xué)生能有一個(gè)較充分的經(jīng)歷嘗試找商的過(guò)程，降低了試商的思維難度。同時(shí)所提供的含有多個(gè)豎式的學(xué)習(xí)單，也可以讓學(xué)生體驗(yàn)逐次試商的優(yōu)化思想。

3.具體實(shí)踐（教學(xué)片段）

（1）引導(dǎo)方向

出示例4：43÷7。

師生對(duì)話：試試用乘法口訣來(lái)解決吧。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，你會(huì)想到用幾的乘法口訣？（學(xué)生交談）

（2）自主嘗試

給出若干豎式模版學(xué)習(xí)單，引導(dǎo)學(xué)生嘗試、體驗(yàn)尋找商的過(guò)程，并思考：

①你用了哪句乘法口訣來(lái)找商？

②你怎么知道找到的商是合適的？

（3）小組交流

請(qǐng)?jiān)谛〗M內(nèi)互相說(shuō)一說(shuō)你用了哪一句口訣，并說(shuō)說(shuō)自己是怎樣想的。

（4）研討方法

學(xué)生獨(dú)立嘗試找商后可以安排交流討論活動(dòng)，其教學(xué)預(yù)設(shè)是：

預(yù)設(shè)一：若絕大部分學(xué)生首次就直接試商6，我們可先讓學(xué)生匯報(bào)商6的試商過(guò)程，再通過(guò)商討試商5和試商7的不合適理由，進(jìn)一步體驗(yàn)試商6的方法與過(guò)程。

預(yù)設(shè)二：若絕大部分學(xué)生經(jīng)過(guò)幾次試商仍感覺(jué)混亂或茫然，我們可以采用先借助學(xué)生作品進(jìn)行比較，再選擇和確定結(jié)果的方式獲得認(rèn)同。比如，通過(guò)探討試商3、5、6、7等過(guò)程的結(jié)果，逐步幫助學(xué)生體驗(yàn)試商的由來(lái)、方向和方法。

其實(shí)無(wú)論是哪種預(yù)設(shè)，都可以給學(xué)生提供多次嘗試找商的機(jī)會(huì)，形成一個(gè)尋找的空間，搭建一個(gè)嘗試的平臺(tái)。

師：老師發(fā)現(xiàn)試用5、6、7作商的同學(xué)最多，大家評(píng)議一下，哪一個(gè)才是合適的商呢？

①議論為什么覺(jué)得商5不合適呢？（板書(shū)：余數(shù)要比除數(shù)?。?/p>

②辯論：那為什么不能商7呢？（板書(shū)：乘積要小于43）

③師：那商6呢？（補(bǔ)充板書(shū)：7和6相乘的積接近43，而且小于43，因此就把6作為商，還余1，表示43÷7商6余1）

（5）看書(shū)回顧

學(xué)生閱讀課本再次確認(rèn)方法，回顧尋找（試）商的過(guò)程。教師同時(shí)指出：這個(gè)尋找是需要一個(gè)練習(xí)過(guò)程的，開(kāi)始時(shí)有可能一試就準(zhǔn)，也有可能要經(jīng)過(guò)幾次嘗試才能找到，但經(jīng)過(guò)努力練習(xí)，能夠越來(lái)越快地幫助我們找到這個(gè)商。

（6）模仿練習(xí)（略）

4.實(shí)踐體會(huì)

試商的關(guān)鍵在于試的過(guò)程。因此本例教學(xué)的核心之處就在于學(xué)生在教師引導(dǎo)下先找口訣，再借助豎式圖進(jìn)行獨(dú)立嘗試，然后通過(guò)交流討論進(jìn)行算法比較，規(guī)范方法?！翱磿?shū)回顧”是一個(gè)重要的反思消化環(huán)節(jié)，讓學(xué)生初步明晰試商的由來(lái)、知道試商是一回什么事以及面對(duì)試商可以怎么樣，這也是對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度及方法的有效指導(dǎo)。當(dāng)然，在三、四年級(jí)學(xué)習(xí)一位數(shù)除多位數(shù)、兩位數(shù)除多位數(shù)除法時(shí)，教師也可以參照此處教學(xué)的思路，給學(xué)生時(shí)間和平臺(tái)去理解、消化和熟悉試商的意義與方法，注意積小變大、積少變多、積慢變快的過(guò)程，確保學(xué)生在學(xué)習(xí)和掌握整數(shù)除法知識(shí)與技能時(shí)的到位、有效。

學(xué)生由于有了起始階段的嘗試，對(duì)接下來(lái)的試商學(xué)習(xí)更多的則是方法與技巧的積累和完善。此時(shí)的學(xué)生已初步經(jīng)歷和感受了“試”的過(guò)程，對(duì)試商的過(guò)程以及試商的結(jié)果等有了一定的認(rèn)識(shí)，可以適應(yīng)新的挑戰(zhàn)，在后續(xù)學(xué)習(xí)中往往也會(huì)有一些意想不到的效果。

（作者單位：廣州市教育研究院）