鄧友祥

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數(shù)學認知思維序與有效教學策略（上）

鄧友祥

1　一道測試題引發(fā)的問題

當前，初中數(shù)學新課程實施已經(jīng)進入“深水期”，但我國初中數(shù)學新課程改革在取得顯著成績的同時，仍存在不少有待解決的問題。比如，初中生數(shù)學學習粗心的現(xiàn)象仍較普遍；不少初中學生獨立思考的意識不強，缺乏深度的數(shù)學思考；部分初中學生感到上課能聽懂，但解答稍復(fù)雜的數(shù)學問題時，往往不知所措。不少數(shù)學教師和教育工作者（甚至包括學生和家長）都將此類現(xiàn)象的發(fā)生簡單地歸結(jié)為教師的課程理念、教學方式、教學方法或是學生的學習興趣、學習態(tài)度、學習方法等存在問題。這種抽象空泛的原則性認識并不能從根本上找到問題發(fā)生的原因和有效的解決辦法。筆者認為，上述現(xiàn)象的主要根源還在于初中生的數(shù)學思維存在諸多不良習慣。為了獲得真實的評判結(jié)果，我們曾經(jīng)對本市S校初一學生進行了如下測試。

蘇教版七年級（上）教材中“豐富的圖形世界”這部分內(nèi)容有如下一道習題（如圖1）：

圖1

這種靜態(tài)性的數(shù)學問題，直觀性強，思維容量較小，幾乎所有學生都能給予正確解答。為了測試學生真實的數(shù)學思維活動，我們隱去圖②～⑤，僅出示圖①，將此題改編成具有較大思維容量的動態(tài)題（僅供本次思維活動測試用，不作為常規(guī)教學用），讓本市S校初一學生思考探究：“將圖①的正方體切去一個角，得到的幾何體各有多少個面？多少條棱？多少個頂點？”結(jié)果正確解答該題者只占測試人數(shù)的31.3%。不能正確解答該題者，主要原因在于不能正確畫出4種類型的截面圖，從而發(fā)生了漏解（絕大多數(shù)學生丟失了情形③或④）。

為了弄清問題產(chǎn)生的根源，筆者進行了跟蹤抽樣訪談。發(fā)現(xiàn)其中正確者，較多地表現(xiàn)出如下解法：有的學生考慮到截面三角形的頂點與正方體的頂點重合的個數(shù)，分別有0、1、2、3個，共4種情形，順利地畫出圖②～⑤，從而得解；也有的學生考慮到正方體的棱被完全截去的條數(shù)，分別有0、1、2、3條，同樣可畫出圖②～⑤，進而得解；還有的學生思維較靈活，先畫出常規(guī)圖形②，然后變“靜”為“動”，讓截面三角形的頂點C、B、A分別依次沿正方體的棱移動（如圖2），從而較易地得出圖③、④、⑤，進而獲解。

圖2

顯然，給出正確解答的學生在解答本題時數(shù)學活動（思維活動）是有一定心理順序的，而且這種順序表現(xiàn)出較強的邏輯性。相反，幾乎所有解答不正確者，思維均處于無序或亂序狀態(tài)，試圖憑感覺（直覺）直接畫出圖②～⑤，說明此類學生認知思維表現(xiàn)為非邏輯或弱邏輯。

上述分析表明，學生出錯的原因主要不在知識欠缺，而是在進行數(shù)學思維活動時，其認知思維處于無序（或亂序）狀態(tài)，或處于有序的非邏輯（或弱邏輯）狀態(tài)，從而影響了解題策略的選擇。由此可見，初中生進行數(shù)學問題解決等認知學習時，思維處于有序的強邏輯狀態(tài)時，確實有助于問題的順利解決；否則，思維處于無序（或亂序）狀態(tài)，或處于有序的非邏輯（或弱邏輯）狀態(tài)時，將嚴重影響數(shù)學問題的解決。初中生進行數(shù)學思維活動時，所表現(xiàn)出的這種不同程度的心理順序就是數(shù)學認知思維序。數(shù)學認知思維序的差異程度，是初中生數(shù)學學習容易發(fā)生兩極分化的一個重要原因。因此，有必要就數(shù)學認知思維序相關(guān)問題作出研究。

2　數(shù)學認知思維序的內(nèi)涵與特點

2.1數(shù)學認知思維序的內(nèi)涵

數(shù)學認知思維序，是人的感官在對客觀世界及自身存在之感知、分析和判斷的數(shù)學思維活動過程中，反映其數(shù)學學習活動的心理順序。［1］

2.2數(shù)學認知思維序的特點

上述提及的心理順序，主要是指學生心理發(fā)展和學習過程的心理順序。分析數(shù)學認知思維序的特點，有助于把握數(shù)學活動規(guī)律和學生的數(shù)學思維活動，采取針對性的有效教學策略，提高數(shù)學課堂教學的有效性和學生的數(shù)學學習效率。這里所說的特點是指數(shù)學認知思維序所特有的性質(zhì)，通常主要表現(xiàn)為以下幾種。

2.2.1主觀性

既然數(shù)學認知思維序離不開人的感官對客觀世界及自身存在之感知、分析和判斷，那么其必然帶有較強的主觀性。這種因人而異的主觀性與初中生的數(shù)學思維活動水平密切相關(guān)，這是數(shù)學認知思維序的一個固有特點。

這一特點要求數(shù)學教學要充分尊重和發(fā)揮學生的主觀性，創(chuàng)設(shè)有效的情境，加強學生之間的合作交流，充分暴露學生的數(shù)學思維，以便采取針對性的有效教學策略，幫助學生建立良好的數(shù)學學習活動的心理順序。

2.2.2思維性

眾所周知，學生從事任何數(shù)學學習活動均離不開數(shù)學思維，思維性理應(yīng)是數(shù)學認知思維序的一個基本特點。鑒于數(shù)學認知思維序帶有較強的主觀性，反映的是數(shù)學學習活動的心理順序，因此，學生的數(shù)學思維有時是邏輯的，有時是非邏輯的（頓悟、靈感等）。另一方面，數(shù)學學習最終都應(yīng)落實到使學生消除不理解的學習內(nèi)容上去，初中生（尤其是初二學生）的邏輯思維發(fā)展處在一個十分關(guān)鍵的時期，任何忽視邏輯的數(shù)學教學都是不成功的，因為沒有使學生的邏輯思維得到本質(zhì)上的發(fā)展。

因此，這一特點要求數(shù)學教學要向?qū)W生提供具有探索性和思考性的數(shù)學學習任務(wù)，在充分利用并發(fā)揮學生的頓悟、靈感等直覺的非邏輯思維得出相關(guān)結(jié)論后，引發(fā)學生進行深度的數(shù)學思考，并促使學生依據(jù)概念、規(guī)則（法則、公式、性質(zhì)、定律、定理等）進行數(shù)學思維，通過邏輯推理得出科學結(jié)論，逐步發(fā)展學生的邏輯思維。

2.2.3差異性

由于數(shù)學認知思維序反映的是學生數(shù)學學習活動的心理順序，也就是學生心理發(fā)展和學習過程的心理順序，而且個體心理發(fā)展在發(fā)展進程、內(nèi)容、水平等方面具有千差萬別的特殊性，因此，數(shù)學認知思維序具有差異性這一顯著特點。

這一特點要求數(shù)學教學要充分尊重個體心理發(fā)展的特殊性，數(shù)學教學活動設(shè)計要有一定的層次性，教師向?qū)W生提供有效認知數(shù)學任務(wù)的同時，應(yīng)針對不同認知水平層次的學生，提供合理的數(shù)學學習支架。

2.2.4擬容性

數(shù)學學習活動具有較強的內(nèi)隱性，這是由于表面上看數(shù)學學習活動較多的是外在的活動（解題等操作活動），事實上數(shù)學學習活動更多的應(yīng)是其內(nèi)在的活動（數(shù)學思維活動），離開內(nèi)在活動的任何外在數(shù)學學習活動是沒有意義的。內(nèi)在的數(shù)學思維與外在的數(shù)學操作如何才能實現(xiàn)有機融合呢？是數(shù)學認知思維序發(fā)揮了“擬容”作用。思維在認知過程中具有的“擬它化”和“相加”的特性，就是認知思維序的擬容性。所謂“擬它化”，就是思維在認知過程中把那些統(tǒng)統(tǒng)不屬于、不相干擬化成被認知事物，從而經(jīng)過大腦的思維加工，將之與已有認知結(jié)構(gòu)進行“相加”（有機融合）重組，形成新的有序的認知結(jié)構(gòu)。［2］這是認知思維序的內(nèi)在特點，也是核心特征。

這一特點要求數(shù)學教學應(yīng)該引導學生正確表征數(shù)學問題，加強對學生抽象概括和數(shù)學反思能力的培養(yǎng)，促使學生積極參加解題等外在操作活動，從而揭示自身內(nèi)在的數(shù)學思維活動，使外在操作與內(nèi)在思維實現(xiàn)有機統(tǒng)一。 （待續(xù)）