唐久昌

摘 要：建立恒力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，依據(jù)系統(tǒng)的工作原理和幾何模型進(jìn)行受力分析，推導(dǎo)出平衡系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)運(yùn)行的曲線軌道方程，并結(jié)合MATLAB程序及PROE工程軟件繪制軌道曲線，為恒力系統(tǒng)中的軌道曲線提供了一套完整的參數(shù)化設(shè)計(jì)方法。

關(guān)鍵詞：恒力系統(tǒng)；設(shè)計(jì)計(jì)算；數(shù)學(xué)模型；軌道曲線

中圖分類號(hào)：TM205+.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.15913/j.cnki.kjycx.2016.12.018

教育機(jī)構(gòu)、培訓(xùn)機(jī)構(gòu)在使用展示板進(jìn)行人工教學(xué)的過(guò)程中，需要按照不同的需求便捷地移動(dòng)展示板，同時(shí)保持任意位置平衡，便可輕松操作，將展示板上升或下降到指定的任意位置。恒力機(jī)構(gòu)是一種承受懸掛力不隨受力方向位移變化而變化的柔性順滑的受力系統(tǒng)，即在外部作用保持不變的情況下，一次性調(diào)節(jié)主彈簧彈力，使其允許位移在一定的范圍內(nèi)變化，無(wú)需外力作用能保持在預(yù)定的任意位置的機(jī)構(gòu)?，F(xiàn)階段，我國(guó)使用較多的為連桿式拉伸彈簧或者刀型凸輪與壓縮彈簧的恒力系統(tǒng)，以及凸輪恒力矩機(jī)構(gòu)。這幾種均依據(jù)力矩平衡原理設(shè)計(jì)。本文采用拉伸彈簧輔以平衡系統(tǒng)，平衡系統(tǒng)采用曲線軌道對(duì)輔彈簧受力進(jìn)行處理，以滿足對(duì)主彈簧的受力補(bǔ)償，達(dá)到合力保持定值，提供恒力輸出。

彈簧恒力系統(tǒng)具有以下優(yōu)點(diǎn)：①結(jié)構(gòu)完全對(duì)稱，無(wú)產(chǎn)生干擾的外力，運(yùn)行平滑、順暢、穩(wěn)定；②采用拉伸彈簧，穩(wěn)定性高，易于制造；③精度高、受力范圍廣、調(diào)節(jié)方便、應(yīng)用范圍廣。

1 恒力系統(tǒng)的工作原理

1.1 主、輔拉伸彈簧的合力原理圖

主、輔拉伸彈簧通過(guò)平衡系統(tǒng)形成合力保持恒定值，建立如圖1所示的合力原理圖。

1.2 恒力系統(tǒng)的力學(xué)模型結(jié)構(gòu)原理

1.2.1 恒力系統(tǒng)的設(shè)計(jì)理念

彈簧恒力系統(tǒng)采用合力為恒定值的設(shè)計(jì)理念，主彈簧為外載提供主要的拉力。由于拉伸彈簧的變形與拉力呈線性的表象，因此不能滿足恒力的要求。如果采用拉伸彈簧向外負(fù)載提供恒定的拉力，這需要有一套平衡補(bǔ)償系統(tǒng)來(lái)改變主彈簧力的線性為恒定值。根據(jù)機(jī)械原理和理論力學(xué)，采用輔助彈簧來(lái)驅(qū)動(dòng)四連桿機(jī)構(gòu)，并配以曲線形軌道構(gòu)成一套平衡補(bǔ)償系統(tǒng)，補(bǔ)償系統(tǒng)可以平衡主彈簧在拉伸過(guò)程中輸出的拉力為一個(gè)恒定數(shù)值，實(shí)現(xiàn)恒力輸出。圖2所示為恒力系統(tǒng)學(xué)結(jié)構(gòu)。

1.2.2 恒力系統(tǒng)的組成

恒力系統(tǒng)主要是由固定架、4根主彈簧K1、外載掛架、4根輔助彈簧K2、2條曲線軌道、拉桿、1套四連桿機(jī)構(gòu)、4根主彈簧調(diào)整螺桿組成。其中，輔助彈K2、曲線軌道、拉桿、四連桿構(gòu)成恒力系統(tǒng)中的平衡系統(tǒng)。

1.2.3 恒力系統(tǒng)中各部件的工作原理

固定架用于安裝整個(gè)恒力系統(tǒng)；主彈簧K1直接與外負(fù)載掛架連接，其拉力直接作用于外負(fù)載；外負(fù)載掛架用于安裝外載荷；4根輔助彈簧的拉力通過(guò)平衡系統(tǒng)中的四連桿、曲線軌道、拉桿組成的平衡系統(tǒng)平衡后輸出平衡力至外負(fù)載掛架；2條曲線軌道提供四連桿鉸接點(diǎn)的運(yùn)行軌跡；拉桿負(fù)責(zé)輸出輔助彈簧提供的平衡拉力；4根主彈簧調(diào)整螺桿用于調(diào)整主彈簧的預(yù)拉力，以配合外負(fù)載所需的拉力。

1.2.4 恒力系統(tǒng)各零部件的運(yùn)行路徑

圖3所示為恒力系統(tǒng)各部件的運(yùn)行情況。從圖3中可以看出，當(dāng)外載掛架開(kāi)始向下方移動(dòng)時(shí)，主彈簧開(kāi)始伸長(zhǎng)，同時(shí)，四連桿的鉸接點(diǎn)A通過(guò)拉桿的牽引也開(kāi)始隨著外載掛架的移動(dòng)而同步移動(dòng)。四連桿機(jī)構(gòu)通過(guò)4個(gè)鉸接點(diǎn)將4根連桿組成一個(gè)封閉、對(duì)稱的平行四邊形。平行四邊形鉸接點(diǎn)A以及A的對(duì)角的鉸接點(diǎn)受到輔助彈簧的拉力，鉸接點(diǎn)B以及B的對(duì)角的鉸接點(diǎn)向四邊形外側(cè)的曲線軌道驅(qū)動(dòng)。這樣，鉸接點(diǎn)B以及對(duì)角的鉸接點(diǎn)就可以沿著曲線軌道的下方移動(dòng)，各部件按照移動(dòng)的原則運(yùn)動(dòng)。

2 恒力系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

2.1 系統(tǒng)的設(shè)計(jì)輸入

2.1.1 結(jié)構(gòu)尺寸要求

結(jié)構(gòu)尺寸的要求為：產(chǎn)品安裝面的尺寸為900 mm（長(zhǎng)）×1 000 mm（高）×20 mm（厚）。

2.1.2 恒力輸出范圍

恒力輸出范圍為40～75 kgf。

2.1.3 工作行程

工作行程為0～650 mm。

2.2 恒力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及原理圖的設(shè)計(jì)

2.2.1 規(guī)劃結(jié)構(gòu)，制訂外部尺寸要求

根據(jù)設(shè)計(jì)輸入的尺寸要求進(jìn)行結(jié)構(gòu)的規(guī)劃，制訂外部安裝尺寸要求，規(guī)劃產(chǎn)品實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的最佳方案，布局各零部件，盡可能精確地排好主要的部件位置以及運(yùn)動(dòng)軌跡的范圍。

2.2.2 劃出輸出恒力的范圍，制訂選擇方案

初步劃出輸出恒力的范圍，制訂力學(xué)零件的選擇方案與方向。

2.2.3 制訂結(jié)構(gòu)方案和運(yùn)動(dòng)軌跡方案

制訂與工作行程相關(guān)的結(jié)構(gòu)方案和運(yùn)動(dòng)軌跡的方案，盡可能配合補(bǔ)償平衡系統(tǒng)所采用的主要零部件的尺寸以及工作要求。

2.2.4 具體設(shè)計(jì)

根據(jù)設(shè)計(jì)輸入、草圖及采用的原理確定結(jié)構(gòu)尺寸。本文所闡述的主要是恒力系統(tǒng)，其主要零部件的尺寸需根據(jù)總裝圖確定。主彈簧采用外徑小于或等于45 mm的圓柱拉伸彈簧，數(shù)量4根；輔助彈簧采用外徑小于或等于25 mm的圓柱拉伸彈簧，數(shù)量4根；四連桿長(zhǎng)度為400 mm，數(shù)量4根；曲線軌道2根。

3 恒力系統(tǒng)力學(xué)分析

根據(jù)工作原理及力學(xué)結(jié)構(gòu)模型為系統(tǒng)建立等效的受力分析模型圖，并對(duì)各部分部件進(jìn)行受力分析，如圖4所示。圖4中，A，B，C，D為四連桿機(jī)構(gòu)的4個(gè)鉸接點(diǎn)。主彈簧K1為外載掛架提供彈力F1，輔助彈簧K2提供給四連桿鉸接點(diǎn)C彈力F2。在四連桿機(jī)構(gòu)中，上連桿受到來(lái)自鉸接點(diǎn)的壓力F3、F4、F5。F3、F4、F5為曲線軌道對(duì)連桿機(jī)構(gòu)中鉸接點(diǎn)的支撐力。P為系統(tǒng)向外載提供的拉力。連桿結(jié)構(gòu)中鉸接點(diǎn)A的位移量為h，鉸接點(diǎn)C的位移量為l，軌道切線水平夾角為α，連桿與垂直線的夾角為β。根據(jù)設(shè)計(jì)要求，連桿的長(zhǎng)度為400 mm，鉸接點(diǎn)A與C的初始距離為750 mm，鉸接點(diǎn)A的位移量為650 mm。圖5所示為恒力平衡系統(tǒng)軌道曲線。

3.1 彈簧受力分析

3.1.1 主彈簧的受力分析

根據(jù)式（16）～（21），得到：

（-（200×（l/320 000-h/320 000+3/1 280））/（1-（l/800-h/800+15/16）^2）^（1/2）×dh/dl+（200×（l/320 000-h/320 000+3/1 280））/（1 -（l/800-h/800+15/16）^2）^（1/2））×（1 300×k1+k2×l-k1×h）×800×（1-（（750-h+l）/800）^2）^0.5/（k2×c+k1×h）/（750-h+l）+0.5×dh/dl+0.5=0. （24）

根據(jù)微分方程得到h與l之間的函數(shù)關(guān)系，整理式（22）得到：

（-（200×（l/320 000-h/320 000+3/1 280））/（1-（l/800-h/800+15/16）^2）^（1/2）×dh/dl+（200×（l/320 000-h/320 000+3/1 280））/（1-（l/800-h/800+15/16）^2）^（1/2））×（1 300×k1+k2×l-k1×h）×800×（1-（（750-h+l）/800）^2）^0.5/（k2×c+k1×h）/（750-h+l）+0.5×dh/dl+0.5=0. （25）

從結(jié)構(gòu)模型圖可以知道，定值a=400 mm，d=750 mm，從合力原理圖可以看出Ft2是定值，F(xiàn)t2的表達(dá)式為：

6 恒力系統(tǒng)部件的設(shè)計(jì)

6.1 設(shè)計(jì)彈簧

6.1.1 主彈簧設(shè)計(jì)

根據(jù)產(chǎn)品的設(shè)計(jì)輸入和結(jié)構(gòu)要求，主彈簧采用外徑應(yīng)小于或等于45 mm。結(jié)合恒力系統(tǒng)的合力分析圖，考慮到系統(tǒng)在重力方向使用的工況，需要按照重力方向來(lái)設(shè)計(jì)主彈簧。由結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)得到滑動(dòng)部件的質(zhì)量為18.1 kg，外負(fù)載受力為40～75 kg，則主彈簧的受力范圍為58.1～93.1 kg（569.38～912.38 N）。由于屬于II類載荷，極限載荷Pj=93.1×9.8×1.25=1140.5 N，采用4根彈簧，每根彈簧的極限載荷為Pj1=1140.5/4=285.2 N。

查《機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)》，并根據(jù)Pj與D 得到每根彈簧的參數(shù)為：材料直徑d=3.5 mm，彈簧中經(jīng)D=40 mm，工作極限Pj=293.40 N，工作載荷下的單圈變形量f1=12.67 mm，單圈剛度Pd=23.2 N/mm，初拉力P0=22.1 N。

圖6所示為主、輔彈簧對(duì)外載作用合力，彈性系數(shù)為kz，根據(jù)圖6得到4×P0+4×kz×650=569.38，則每根主彈簧的彈性系數(shù)kz=0.185 N/mm，主彈簧的線徑為-3.5 mm，中徑為40 mm，有效圈數(shù)n=23.2/0.185=125.4，取n=126圈。

6.1.2 輔彈簧設(shè)計(jì)

依據(jù)主彈簧的彈性系數(shù)以及系統(tǒng)的工作行程得到輔助彈簧需要提供預(yù)拉力以及運(yùn)行過(guò)程中的額外拉力，即預(yù)拉力Ft2=4×kz×650=481 N，系統(tǒng)運(yùn)行工程中提供的額外拉力為1.25Ft2=601.25 N，輔彈簧受到的總拉力為 481+601.25=1 082.25 N，每根輔助彈簧的極限拉力為Pjf=1 082.25/4=270.6 N。

計(jì)算并查《機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)》可得，輔彈簧的線徑為3 mm，中徑為20 mm，工作極限Pj=339.76 N，工作載荷下的單圈變形量f1=3.398 mm，單圈剛度Pd=100 N/mm，初拉力P0=47.7 N。

根據(jù)實(shí)際結(jié)構(gòu)及彈簧變形量、單圈的剛度，取彈簧為100圈，即有效圈數(shù)n2=100，彈性系數(shù)kf=1 N/mm，初拉力為47.7 N。

6.2 軌道的設(shè)計(jì)

6.2.1 軌道曲線的建立

由式（12）（13）（25）得到軌道曲線方程為：

x=-400×（1-（（750-h+1/4/k2×（-13 00×k1+2×（422 500×k1^2+2 600×k2×k1×h-2×k2×k1×h^2）^（1/2）））/800）^2）^0.5+139.2. （28）

y=-（h+1/4/k2×（-1 300×k1+2×（422 500×k1^2+2 600×k2×k1×h-2×k2×k1×h^2）^（1/2）））/2. （29）

通過(guò)對(duì)彈簧的設(shè)計(jì)得出，看k1=4×kz=0.74 N/mm，k2=4×kf=4N/mm。

用Pro/ENGINEER在笛卡爾坐標(biāo)系內(nèi)繪制軌道曲線，則有：

x=-400×（1-（（750-650×t+1/4/4×（-1 300×0.74+2×（422 500×0.75^2+2 600×4×0.74×650×t-2×4×0.74×（650×t）^2）^（1/2）））/800）^2）^0.5+139.2. （30）

y=-（650×t+1/4/4×（-1 300×0.74+2×（422 500×0.74^2+2 600×4×0.74×650×t-2×4×0.74×（650×t）^2）^（1/2）））/2. （31）

z=0.

6.2.2 軌道結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

根據(jù)結(jié)構(gòu)要求設(shè)計(jì)出軌道的厚度、寬度以及相關(guān)裝配的結(jié)構(gòu)。

6.3 其他附件的設(shè)計(jì)

根據(jù)設(shè)計(jì)規(guī)劃設(shè)計(jì)相應(yīng)的滑動(dòng)機(jī)構(gòu)、內(nèi)部裝配結(jié)構(gòu)和外部安裝結(jié)構(gòu)。

7 恒力系統(tǒng)的設(shè)計(jì)驗(yàn)證

主要對(duì)彈簧進(jìn)行設(shè)計(jì)驗(yàn)證。

7.1 校核恒力系統(tǒng)靜載荷部件

對(duì)恒力系統(tǒng)靜載荷部件進(jìn)行強(qiáng)度校核。

7.2 運(yùn)動(dòng)模擬

進(jìn)行運(yùn)動(dòng)模擬，檢驗(yàn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在干涉現(xiàn)象。

7.3 校核安裝部位的尺寸

對(duì)安裝部位的尺寸進(jìn)行校核。

7.4 主彈簧的設(shè)計(jì)驗(yàn)證

7.4.1 載荷驗(yàn)證

最大實(shí)際載荷Pnz=93.1×9.8/4=228.1 N，Pjz=228.1×1.25=285.2 N <293.4 N，合格。

7.4.2 不同行程狀態(tài)下彈簧變形的驗(yàn)證

當(dāng)最大外負(fù)載為75 kg時(shí)，主彈簧的受力為75+18.1（滑動(dòng)部件自重）=93.1 kg×9.8=912.38 N。當(dāng)外負(fù)載在行程為0時(shí)，主彈簧的長(zhǎng)度為L(zhǎng)0=（912-4×22.1-Ft2）/（4×kz）=462 mm，彈簧每圈變形量為f0=463/126=3.67 mm。當(dāng)外負(fù)載在行程為650 mm時(shí)，主彈簧的長(zhǎng)度為L(zhǎng)1=L0+650=1 112 mm，彈簧每圈變形量為f1=L1/n=8.83 mm，其中，彈簧圈數(shù)n=126.

從以上得到，彈簧的單圈變形量最大為8.83 mm，小于標(biāo)準(zhǔn)單圈變形12.67 mm。主彈簧滿足要求，輔彈簧驗(yàn)證合格。

8 恒力輸出的調(diào)整

在恒力系統(tǒng)的恒力范圍內(nèi)調(diào)整主彈簧的調(diào)節(jié)螺桿。

9 結(jié)論

從軌道曲線方程可以得出，主、輔彈簧的彈性系數(shù)影響曲線軌道系統(tǒng)的輸出，且恒力范圍受到系統(tǒng)輸出力方向和空間尺寸的限制。

參考文獻(xiàn)

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〔編輯：劉曉芳〕