郭雅彬，王美清

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，福建 福州　350116)

常值初始化的自適應(yīng)活動輪廓模型

郭雅彬，王美清

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，福建 福州350116)

摘要：李純明提出的水平集方法(LI模型)很好地解決了測地活動輪廓模型(GAC)的重新初始化問題，但該模型對邊緣信息較弱或者灰度不均勻的圖像分割結(jié)果仍然不理想. 針對這些問題，提出常值初始化的自適應(yīng)活動輪廓模型，該模型中自適應(yīng)力的系數(shù)包含了圖像的灰度信息，從而提高了活動輪廓在演化過程中對模糊邊界的識別能力； 同時，重新定義的外部能量，避免過分割現(xiàn)象. 實驗結(jié)果驗證了模型的有效性.

關(guān)鍵詞：圖像分割； 活動輪廓； 自適應(yīng)； 權(quán)重系數(shù)

0引言

基于偏微分方程的幾何活動輪廓模型方法可以獲得具有連續(xù)閉合性、 精確度高的目標(biāo)邊界, 因此得到了廣泛的研究[1]. 該類方法在演化曲線上定義一個能量泛函，通過最小化該能量泛函來驅(qū)動曲線朝目標(biāo)邊界進(jìn)行演化. 基于偏微分方程活動輪廓模型可分為基于邊界的模型[2-4]和基于區(qū)域的模型[5-9].

測地活動輪廓模型(geodesic active contour, GAC)是基于曲線演化和水平集理論的，其最大的特點是不依賴于曲線參數(shù)，可以靈活處理曲線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化. 通常初始水平集取為符號距離函數(shù), 但是其在演化過程中不能保持, 違背了水平集方法的理論，需要周期性重新初始化，導(dǎo)致效率低下. 李純明等[10-11]提出了無需重新初始化的改進(jìn)方案，并在GAC模型上進(jìn)行驗證. 將無需重新初始化的GAC模型稱為LI模型. 具體是在能量泛函中添加了一項內(nèi)部能量項用來糾正水平集函數(shù)與符號距離函數(shù)的偏差，替代了周期性的初始化過程，這是傳統(tǒng)方法的重大突破. 此外，該方法可以采用簡單的有限差分法和較大的時間步長求解相應(yīng)的偏微分方程，極大地提高了水平集演化的速度. 然而，這種方法并沒有改變GAC模型演化曲線單向運動對初始輪廓敏感的缺點，對邊緣信息較弱的灰度不均勻圖像不能得到準(zhǔn)確分割. 主要原因是由GAC作為外部能量泛函的權(quán)系數(shù)為常數(shù)，不能根據(jù)圖像自適應(yīng)地調(diào)整符號和大小，只利用邊緣信息使得對于邊緣信息較弱的灰度不均勻的圖像難以得到準(zhǔn)確的分割結(jié)果.

針對這個原因提出了可變權(quán)系數(shù)和新的外部能量泛函，其具有自適應(yīng)力的雙向性、 抗噪性和提高處理灰度不均勻圖像的能力，隨著迭代次數(shù)的增加均能穩(wěn)定在邊界上. 模型主要提取皮膚病變區(qū)的邊界和乳腺造影圖的外部輪廓.

1相關(guān)背景

1.1測地活動輪廓模型(GAC)

GAC模型是通過最小化以下能量泛函來確定活動輪廓：

(1)

(2)

式中：K是用于控制函數(shù)g(·)的下降速度的選定參數(shù).

使用變分法最小化式(1)得到其對應(yīng)的梯度下降流. 即曲線演化方程為：

(3)

式中： k為曲線曲率； N為指向曲線內(nèi)部的單位法向量.

定義水平集φ為符號距離函數(shù)，利用變分水平集方法，得到GAC模型的曲線演化方程對應(yīng)水平集函數(shù)φ的PDE方程為：

(4)

該模型存在一個缺陷，當(dāng)圖像中有較深的凹形邊界時，可能使曲線停在某一能量局部極小值狀態(tài)，而無法向真實邊界逼近. 因此Caselles等[3]提出了推廣的GAC模型，其梯度下降流為

(5)

式中c為一個常數(shù)，根據(jù)具體的圖像來進(jìn)行設(shè)置. 對應(yīng)水平集函數(shù)φ的PDE方程為

(6)

與式(4)比較，改進(jìn)的模型中引進(jìn)了一個收縮力gcN，收縮力受到g的控制，方向總是指向曲線內(nèi)部. 推廣的GAC模型能正確檢測凹陷邊界但易出現(xiàn)過分割. 數(shù)值計算過程中需要周期性地重新初始化水平集函數(shù)，導(dǎo)致計算效率低.

1.2LI模型

傳統(tǒng)水平集函數(shù)在演化過程中需要周期性地初始化演化曲線，這樣違背了水平集方法的理論而且效率低. 為了克服周期性重新初始化水平集函數(shù)的缺點，李純明等[10-11]提出了一種新的無需重新初始化的水平集方法. 該模型的能量泛函定義為：

(7)

其中：λ>0;ν為參數(shù)；g為邊緣停止函數(shù)，通常取為g(s)=(1+s2)-1；H為Heaviside函數(shù)； δ為Dirac函數(shù).

該模型的第一項用來糾正水平集函數(shù)與符號距離函數(shù)的偏差，從而實現(xiàn)了水平集保持在距離函數(shù)的附近，使得演化過程無需重新初始化； 第二項和第三項組成了外部能量項，其中第二項是加權(quán)長度項，保證演化曲線的光滑； 第三項為加權(quán)面積項，使得曲線收縮到目標(biāo)邊界.

通過變分法極小化能量泛函E(φ)，可以得到相應(yīng)的水平集演化方程：

(8)

該方法有效地避免了重新初始化問題，但曲線演化方向主要通過參數(shù)ν的選取控制. 當(dāng)ν<0，曲線向外擴張； 當(dāng)ν>0，曲線向內(nèi)收縮. 所以初始曲線只能設(shè)置在目標(biāo)內(nèi)部或者目標(biāo)外部，無法自適應(yīng)地調(diào)節(jié)曲線演化的方向，且對噪聲敏感.

1.3LI模型的相關(guān)改進(jìn)

為克服LI模型的單向運動，文獻(xiàn)[12-13]提出了改進(jìn)模型，主要思路為修改外部能量項中面積項的系數(shù)ν，使之能根據(jù)圖像信息來驅(qū)動曲線演化.

2常值初始化的自適應(yīng)水平集演化

2.1常值初始化的自適應(yīng)活動輪廓模型

文獻(xiàn)[12-13]所提的方法，在一定程度上克服了LI模型演化的單向性和對噪聲的敏感性，但其仍存在對灰度不均勻的圖像分割不準(zhǔn)確，易產(chǎn)生邊緣泄露的缺點. 為解決這些問題，提出一個新的包含圖像信息的可變權(quán)系數(shù)：

(9)

其中：c1,c2分別為曲面內(nèi)外部的灰度均值；a∈(0, 1)為權(quán)衡分割弱邊緣權(quán)衡系數(shù). 下面用定理來說明所提出的可變權(quán)系數(shù)ν(I)具有雙向性.

(10)

(11)

當(dāng)c1

(12)

又因為

所以

(13)

(14)

(15)

定理得證.

表達(dá)式(14)和(15)說明了包含圖像灰度信息的可變權(quán)系數(shù)ν(I)可根據(jù)演化曲線的位置自動改變符號. 當(dāng)演化曲線位于目標(biāo)內(nèi)部時ν(I)<0，向外擴張； 當(dāng)演化曲線位于目標(biāo)外部時ν(I)>0，向內(nèi)收縮. 因此ν(I)具有雙向性，克服了LI模型演化曲線的單向性.ν(I)的方法簡單，不含導(dǎo)數(shù)，無需特殊的離散化方法，數(shù)值計算穩(wěn)定.

2.2權(quán)重系數(shù)a的確定與常值初始化

由于a可指示出分割目標(biāo)的邊界，所以當(dāng)輪廓遠(yuǎn)離邊界時，模型的演化外力仍然可以捕獲到正確的邊界，那么模型的初始輪廓就可以取為整幅圖像，即初始的水平集函數(shù)取為常值函數(shù).

2.3外部能量泛函

圖1　模型分割結(jié)果Fig.1　Segmentation result of the proposed model

在LI模型中，邊緣停止函數(shù)g起到的作用是讓演化曲線穩(wěn)定在邊界上. 本文提出的ν(I)同樣具有穩(wěn)定邊界的效果，那么g僅相當(dāng)于是加權(quán)函數(shù)，由g的性質(zhì)易知0

(16)

因此，總能量泛函為：

(17)

通過變分法極小化能量泛函E(φ)，得到相應(yīng)的水平集演化方程：

(18)

3實驗結(jié)果與分析

以下實驗中偏微分演化方程的離散化方法采用中心差分格式，參數(shù)分別設(shè)置為ε=1.5，λ=8.2，Δt=5，μ=0.04，權(quán)重系數(shù)a，根據(jù)對目標(biāo)物體的輪廓或者細(xì)節(jié)需求的不一樣進(jìn)行設(shè)置. 在沒有特別說明的情況，初始輪廓均常值初始化為φ=2.

3.1權(quán)重系數(shù)a的影響和常值初始化

圖2顯示了一幅真實圖像在a取不同值時的分割結(jié)果. 從圖2中可以看出，不管是在常值初始化還是二值初始化，只在a=0.2的時候得到正確的結(jié)果. 所以正是由于a的選取，才使得模型可以將初始輪廓簡單的設(shè)為常值函數(shù). 同時可以看出當(dāng)a取值越小時，分割出的目標(biāo)區(qū)域包含的黑色區(qū)域越少，而白色區(qū)域越多. 可知，當(dāng)目標(biāo)像素值較大時，a應(yīng)取小于0.5的數(shù)； 反之，取大于0.5.

圖2　a對模糊邊界分割位置的影響

3.2初始演化曲線位置的敏感性

圖3中第一列(圖3a)為初始輪廓，第二列(圖3b)、 三列(圖3c)分別為ν=-2，ν=2時LI模型的分割結(jié)果，第四列(圖3d)為文獻(xiàn)[14]的分割結(jié)果，第五列(圖3e)為本文模型a=0.3的分割結(jié)果. 結(jié)果顯示，采用LI模型，只有當(dāng)曲線完全包圍目標(biāo)時，才得到了正確分割，除此之外無論ν>0或ν<0，都不能得到正確的分割結(jié)果； 文獻(xiàn)[14]在初始輪廓曲線在目標(biāo)內(nèi)能夠得到準(zhǔn)確的分割結(jié)果，當(dāng)初始輪廓曲線包含目標(biāo)或與目標(biāo)交叉時，實驗結(jié)果均出現(xiàn)過分割現(xiàn)象； 而采用本文模型，初始輪廓無論設(shè)置在何處，均能從不同方向自適應(yīng)地收斂目標(biāo)邊界.

圖3　常值初始化的自適應(yīng)活動輪廓模型對任意輪廓的自適應(yīng)性Fig.3　The adaptability of the proposed model of arbitrary profile

3.3分割效果比較

圖4顯示了LBF模型、 文獻(xiàn)[4]、 文獻(xiàn)[13]、 本文模型對兩幅真實的皮膚病變圖像和兩幅乳腺造影圖像的分割結(jié)果，其中綠色曲線為初始輪廓，紅色曲線為分割結(jié)果. 由圖中可以看出，LBF模型(見圖4a)對于所給的圖像都不能正確分割，易陷入局部極小值； 文獻(xiàn)[4]的模型(見圖4b)除對圖4(b-4)能正確分割外，其他圖像均未的得到正確結(jié)果，且其分割的次數(shù)均為幾千次； 文獻(xiàn)[13]的模型(見圖4c)除對圖4(c-1)能正確分割外，其他圖像均未的得到正確結(jié)果； 而本文模型(見圖4d)在所給的圖像均得到理想的分割效果. 實驗中參數(shù)a分別為0.6、 0.7、 0.25、 0.1，迭代次數(shù)分別為15、 100、 130、 30.

圖4　LBF模型、 文獻(xiàn)[4]、 文獻(xiàn)[13]與本文模型的對比

3.4分割結(jié)果的穩(wěn)定性

圖5分別為文獻(xiàn)[13]和本文算法的分割結(jié)果，取同樣的初始輪廓線，可以看出文獻(xiàn)[13]所提的模型隨著迭代次數(shù)的增加，輪廓越來越向內(nèi)收縮. 而本文模型經(jīng)過迭代5 000次后依然能很好地保持邊界.

圖5　本文模型分割結(jié)果穩(wěn)定性的驗證Fig.5　Verify the stability of the segmentation results of the proposed method

4結(jié)論

自適應(yīng)常值初始化水平集演化方法實現(xiàn)了對高噪聲、 弱邊緣圖像的分割. 實驗結(jié)果表明了該方法演化具有雙向性，也可將初始輪廓曲線簡單初始化為常值函數(shù)； 模型中的權(quán)重系數(shù)a可控制模糊邊界的分割位置，提高了處理非同質(zhì)圖像的能力； 重新定義了外部能量泛函，可以得到穩(wěn)定分割的實驗結(jié)果. 但是權(quán)重系數(shù)a是根據(jù)不同分割位置的需求人為設(shè)置的，因此下一步將在這方面做進(jìn)一步的研究.

參考文獻(xiàn)：

[1] 王大凱, 侯榆青, 彭進(jìn)業(yè). 圖像處理的偏微分方程方法[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2008: 80-108.

[2] KASS M, WITKIN A, TERZOPOULOS D. Snakes: active contour models[J]. International Journal of Computer Vision, 1988, 1(4): 321-331.

[3] CASELLES V, KIMMEL R, SAPIRO G. Geodesic active contours[J]. International Journal of Computer Vision, 1997, 22(1): 61-79.

[4] 林震梅. 測地輪廓模型的改進(jìn)模型及數(shù)值算法的加速[D]. 福州: 福州大學(xué), 2012.

[5] MUMFORD D, SHAH J. Optimal approximations by piecewise smooth functions and associated variational problems[J]. Communications on Pure and Applied Mathematics, 1989, 42(5): 577-685.

[6] VESE L A, CHAN T F. A multiphase level set framework for image segmentation using the mumford and shah model[J]. International Journal of Computer Vision, 2002, 50(3): 271-293.

[7] CHAN T F, VESE L A. Active contours without edges[J]. IEEE Transactions on Image Processing, 2001, 10(2): 266-277.

[8] LI C, KAO C Y, Gore J C,etal. Minimization of region-scalable fitting energy for image segmentation[J]. IEEE Transactions on Image Processing, 2008, 17(10): 1 940-1 949.

[9] ZHANG K, SONG H, ZHANG L. Active contours driven by local image fitting energy[J]. Pattern Recognition, 2010, 43(4): 1 199-1 206.

[10] LI C, XU C, GUI C,etal. Level set evolution without re-initialization: a new variational formulation[C]//IEEE Computer Society Conference on Computer Vision & Pattern Recognition. San Diego: [s.n.], 2005, 430-436.

[11] LI C, XU C, GUI C,etal. Distance regularized level set evolution and its application to image segmentation[J]. IEEE Transactions on Image Processing, 2010, 19(12): 3 243-3 254.

[12] 何傳江, 李夢, 詹毅. 用于圖像分割的自適應(yīng)距離保持水平集演化[J]. 軟件學(xué)報, 2008, 19(12): 3 161-3 169.

[13] 戚世樂, 王美清. 自適應(yīng)分割弱邊緣的活動輪廓模型[J]. 山東大學(xué)學(xué)報 (工學(xué)版), 2013(6): 17-20.

[14] ZHANG K H, ZHANG L, SONG H H,etal. Active contours with selective local or global segmentation: a new formulation and level set method[J].Image and Vision Computing, 2010(28): 668-676.

(責(zé)任編輯： 洪江星)

Adaptive active contour starting with a constant initialization

GUO Yabin，WANG Meiqing

(College of Mathematics and Computer Science，F(xiàn)uzhou University，F(xiàn)uzhou，F(xiàn)ujian 350116，China)

Abstract:Level set method, proposed by Li Chunming (LI model), solve the problem of the geodesic active contour model (GAC) which need to reinitialize, but the result of this model with weak edge or uneven gray-level image segmentation is still not ideal. To overcome these problems, a new adaptive active contour model with constant initialization is proposed in the paper. The coefficient of the proposed model contains the mean gray value of the image, so that improve the active contour in the process of evolution of fuzzy boundary identification ability. At the same time, to redefine the external energy to avoid over-segmentation phenomenon. The experimental results show that the effectiveness of the proposed model.

Keywords:image segmentation; active contour; adaptive; weight coefficient

DOI:10.7631/issn.1000-2243.2016.03.0424

文章編號：1000-2243(2016)03-0424-07

收稿日期:2014-05-15

通訊作者:王美清(1967-), 教授，主要從事圖像處理方面的研究，mqwang@fzu.edu.cn

基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(11071270)

中圖分類號：TP391

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A