吳宜平，沈 明

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州　350116)

融入全局信息的局部擬合的活動(dòng)輪廓模型

吳宜平，沈 明

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州350116)

摘要：提出一種結(jié)合局部和全局灰度信息的圖像分割模型. 該模型通過引入新的控制參數(shù)，降低了局部擬合項(xiàng)在局部二值擬合的活動(dòng)輪廓模型(LBF模型)中的主導(dǎo)作用，同時(shí)增加了全局信息在模型中的輔助作用，從而改進(jìn)了局部二元擬合項(xiàng). 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)的模型不僅能分割灰度不均的圖像，而且提高了輪廓初始化的靈活性. 針對(duì)一些合成和真實(shí)的圖像，改進(jìn)的模型減輕了對(duì)輪廓初始化位置、 大小及噪聲的敏感性，同時(shí)加快了曲線的演化速度，減少了CPU時(shí)間.

關(guān)鍵詞：圖像分割； 活動(dòng)輪廓； 局部擬合； 偏微分方程； 灰度不均

0引言

圖像分割[1]是圖像理解和分析、 模式識(shí)別、 計(jì)算機(jī)視覺的關(guān)鍵步驟，被廣泛應(yīng)用于交通控制體系、 醫(yī)學(xué)影像分析、 生物特征識(shí)別、 遙感等領(lǐng)域，因而受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注. 隨著與數(shù)學(xué)理論的交叉研究和計(jì)算機(jī)處理能力的提高，基于偏微分方程的幾何活動(dòng)輪廓模型[2]已成為圖像分割領(lǐng)域中熱門的研究課題.

現(xiàn)有的幾何活動(dòng)輪廓模型通?？梢詣澐譃榛谶吘壓突趨^(qū)域的兩種模型. 活動(dòng)輪廓[3](CV模型)是一個(gè)著名的基于區(qū)域的幾何活動(dòng)輪廓模型，該模型可以分割沒有明顯邊緣或者缺乏明顯紋理的圖像，并且具有計(jì)算復(fù)雜性低，對(duì)初始曲線的位置不敏感，較好的抗噪性等優(yōu)點(diǎn)，但模型需要周期性地重新初始化水平集函數(shù)以保證數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定，而且不能處理目標(biāo)灰度不均勻或者背景灰度不均勻的圖像.

近幾年來，為了解決灰度不均圖像的分割問題，許多學(xué)者提出了不同的活動(dòng)輪廓模型，例如： 李春明等[4]提出了把CV模型的全局二值擬合能量泛函改為以高斯函數(shù)為權(quán)重的可變區(qū)域擬合能量函數(shù)定義的局部擬合的活動(dòng)輪廓模型(LBF模型)，該模型較好地克服了CV模型不能分割灰度不均圖像的缺點(diǎn)，然而LBF模型的分割結(jié)果卻嚴(yán)重依賴于演化曲線的大小和初始位置，并對(duì)噪聲較為敏感； 戚世樂等[5]利用圖像的局部信息快速為圖像的目標(biāo)大致定位，并結(jié)合LBF模型提出“兩階段”的活動(dòng)輪廓模型，該模型改善了對(duì)輪廓初始化的敏感性，但需要分階段實(shí)現(xiàn)，使算法的復(fù)雜度提高； 劉瑞娟等[6]結(jié)合改進(jìn)CV模型[7]的全局灰度擬合力和局部圖像擬合模型[8]的局部灰度擬合力，提出一種融合局部和全局圖像信息的活動(dòng)輪廓模型，該模型同樣能減輕對(duì)輪廓初始化的敏感性，但在分割血管圖像時(shí)演化速度慢； 王利等[9]提出一個(gè)基于CV模型與LBF模型的能量泛函線性組合的LGIF模型，該模型在灰度不均的醫(yī)療圖像分割中取得了良好的效果，但未對(duì)初始曲線大小的敏感性和抗噪性問題進(jìn)行研究.

受LGIF模型的啟發(fā), 提出一個(gè)新的ILBF模型，該模型通過控制參數(shù)的調(diào)節(jié)，降低了LBF模型中局部信息所起的作用，增加了一定權(quán)重的全局信息. 通過全局信息和局部信息的共同引導(dǎo)，新模型不但能夠分割灰度不均圖像，而且具有對(duì)初始曲線的大小和位置不敏感以及抗噪性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn).

1相關(guān)背景

1.1CV模型

CV模型的能量泛函定義為：

(1)

其中： μ≥0; λ1, λ2>0是固定的正常數(shù)； c1和c2分別為圖像在演化曲線的內(nèi)部和外部區(qū)域的平均灰度值. 固定水平集函數(shù)φ，相對(duì)于c1和c2最小化能量泛函(1)可得：

(2)

可見c1和c2沒有包含任何的局部信息，當(dāng)圖像呈現(xiàn)灰度不均時(shí), 用c1和c2分別近似圖像在演化曲線內(nèi)外的灰度值必會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，從而導(dǎo)致CV模型不能分割非同質(zhì)圖像.

1.2LBF模型

對(duì)圖像中每一點(diǎn)x，LBF模型的能量泛函定義為：

(3)

其中： λ1, λ2, μ和v是正參數(shù)； K(x-y)為權(quán)重核函數(shù)； f1和f2為圖像在點(diǎn)x處的兩個(gè)局部擬合值. 固定水平集函數(shù)▽，極小化LBF模型的能量泛函(3)，可得：

(4)

該模型利用了圖像的局部信息f1和f2，從而克服了灰度不均對(duì)圖像分割造成的影響. 但是由于只考慮了圖像像素點(diǎn)之間的空間信息而沒有考慮其灰度變化信息，這種能量泛函的局部化特性使模型易于陷入局部極值，導(dǎo)致模型對(duì)輪廓初始化以及噪聲十分敏感.

2新模型

2.1能量泛函的構(gòu)建

LBF模型中選取權(quán)重函數(shù)為高斯核函數(shù)[10]：

(5)

其中:σ為參數(shù). 由式(5)可知該函數(shù)具有單調(diào)性、 對(duì)稱性等顯著的幾何特征, 高斯函數(shù)做權(quán)重完全以距離做為衡量的依據(jù)，使得鄰域內(nèi)的點(diǎn)對(duì)擬合能量做主要貢獻(xiàn). 因此，如果距離當(dāng)前點(diǎn)x最近的點(diǎn)是噪聲點(diǎn)，那么噪聲點(diǎn)的權(quán)重很大，就會(huì)使局部擬合項(xiàng)失真，偏離實(shí)際情況. 另外一方面，由于未考慮像素間的相似性或者差異性等像素自身的特點(diǎn)，這樣也會(huì)導(dǎo)致模型對(duì)輪廓初始化十分敏感. 由上述分析可知，高斯函數(shù)做權(quán)重會(huì)導(dǎo)致模型對(duì)輪廓初始化及噪聲的敏感性.

為了降低局部擬合項(xiàng)的作用，增加真實(shí)的全局信息，對(duì)于圖像I中的每一點(diǎn)x，提出新的局部能量泛函：

(6)

其中：λ1,λ2>0為正常數(shù)；ci,i=1, 2, 由公式(2)給出；fi,i=1, 2, 由公式(4)給出；w為控制參數(shù)，w∈(0, 1). 通過控制參數(shù)的調(diào)節(jié)，一方面可以降低局部擬合項(xiàng)的作用，避免因局部擬合項(xiàng)起主要作用而陷入局部極小值，而誤分割出噪點(diǎn)； 另一方面也增加CV模型中真實(shí)的全局信息ci，由CV模型的優(yōu)點(diǎn)可知，在全局信息的引導(dǎo)下可以加快輪廓線的演化，迅速收縮或者擴(kuò)張到目標(biāo)邊界上，并且對(duì)輪廓初始化不敏感.

為了找到整幅圖像中物體的目標(biāo)邊界，從局部意義上定義的能量泛函必須擴(kuò)展到全局區(qū)域Ω上的能量泛函：

(7)

稱該能量泛函為外部能量項(xiàng)或者保真項(xiàng)，用來確保擬合的圖像盡可能地接近真實(shí)的圖像. 引入Heaviside函數(shù)，用水平集函數(shù)φ的零水平集來表示閉合曲線C，并規(guī)定φ在C的內(nèi)部區(qū)域取正，在C的外部區(qū)域取負(fù)值，在C上時(shí)取值為零，則用水平集方法表示的能量泛函為:

(8)

為了避免水平集函數(shù)演化過程中的反復(fù)初始化，要求水平集函數(shù)盡可能不偏離符號(hào)距離函數(shù)，添加李春明等[11-12]提出的二次懲罰項(xiàng)：

(9)

該懲罰項(xiàng)能夠保證在數(shù)值求解過程中有穩(wěn)態(tài)解[13]. 同時(shí)正則化演化曲線，添加弧長(zhǎng)項(xiàng)[14]：

(10)

該弧長(zhǎng)項(xiàng)可以在一定程度上控制過分割甚至誤分割產(chǎn)生的冗余輪廓，保持曲線在演化過程中盡可能的短而且光滑.

綜上所述，ILBF模型總的能量泛函為：

(11)

式中：μ,v>0 為權(quán)重參數(shù)； 參數(shù)μ控制二次懲罰項(xiàng)，同時(shí)由文獻(xiàn)[11]可知，μ與迭代時(shí)間步長(zhǎng)t必須滿足μt<0.25； 參數(shù)ν用來調(diào)節(jié)演化曲線長(zhǎng)度項(xiàng)，其值大小一般取決于待分割的目標(biāo)物體的邊界大小. 計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)水平集函數(shù)迭代演化時(shí)，Heaviside函數(shù)H和其導(dǎo)數(shù)Dirac函數(shù)δ是不可微函數(shù)，因此需要尋找光滑可微的函數(shù)來替代它們, 一般取光滑規(guī)則函數(shù)Hε近似Heaviside函數(shù)H，Hε定義為：

(12)

對(duì)其求導(dǎo)得光滑可導(dǎo)的Dirac函數(shù)δε

(13)

這里ε為正常數(shù)，不失一般性取ε=1. 因此修正后的ILBF總能量泛函為：

(14)

2.2能量泛函的求解

采用變分法，最小化能量泛函F，得到梯度下降流，即水平集函數(shù)迭代演化方程：

(15)

(16)

式中，ci,i=1, 2, 是一種全局信息，由公式(2)給出；fi,i=1, 2, 是一種局部信息，由公式(4)給出. 再用有限差分方法將其數(shù)值化，便于計(jì)算機(jī)進(jìn)行迭代求解. 當(dāng)水平集函數(shù)演化結(jié)束后，取其零水平集即為最終的演化曲線C，圖像分割完畢.

3實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證新模型的4個(gè)特點(diǎn): ① 能分割灰度不均的圖像； ② 具有一定的抗噪性； ③ 對(duì)初始曲線的大小和位置不敏感； ④ 演化速度快，迭代次數(shù)少. 程序用MatlabR2010b編寫. 數(shù)值實(shí)現(xiàn)采用簡(jiǎn)單的中心差分法，時(shí)間步長(zhǎng)t=0.1，模型參數(shù)σ=3，μ=1，λ1=λ2=1，v取值根據(jù)不同的圖像進(jìn)行調(diào)整，一般由圖像的邊界大小決定，取值范圍在0.001×2552～0.01×2552之間.

在新提出的模型中，w是用來控制局部信息與全局信息擬合能量權(quán)值的. 對(duì)于灰度嚴(yán)重不均的圖像(如圖1 (a))，分割的準(zhǔn)確性依賴于局部信息，因此，應(yīng)該選擇一個(gè)較大的w作為局部信息的權(quán)值. 而對(duì)于一般的灰度不均勻圖像(如圖1 (b))，全局信息可以使輪廓線迅速收縮到物體的邊緣處，在這種情況下，應(yīng)該選擇略小的w作為局部信息的權(quán)值. 在實(shí)驗(yàn)過程中，若前景與背景的灰度明顯不均，則w取值0.95； 若前景與背景的灰度不均現(xiàn)象不明顯，則w可取值0.9.

圖1在三幅人工合成和四幅醫(yī)療圖像中進(jìn)行，圖中綠色線為初始輪廓，紅色線為最終的分割結(jié)果. 圖像大小分別為： 127×96、 127×121、 157×151、 107×180、 406×336、 256×226、 194×255，正確分割出目標(biāo)邊界所需的迭代次數(shù)分別為15、 50、 50、 80、 50、 50和30，由圖1可知： 新模型在非同質(zhì)的圖像分割中可以取得良好的效果.

圖1　新模型對(duì)灰度不均圖像的分割Fig.1　Segmentation for the inhomogeneity image

圖2比較了LBF模型和ILBF模型的抗噪性. 圖像大小為50×50、 80×80、 85×85和 90×70，本文模型的參數(shù)v都取值為0.009×2552. 圖中綠色線為初始輪廓，紅色線為最終的分割結(jié)果，第一行為ILBF模型的分割結(jié)果，第二行是LBF模型經(jīng)過200次迭代的分割結(jié)果. 由此可知： LBF模型不能分割出目標(biāo)，陷入局部極小值，將噪點(diǎn)都分割出來，造成誤分割，而新模型卻能較好地分割出目標(biāo). 通過跟LBF模型相比，可知新的模型具有較好的抗噪性.

圖2　LBF模型和ILBF模型抗噪性的對(duì)比Fig.2　Comparison of LBF and ILBF model’ anti-noise property

圖3表明了ILBF模型減輕了對(duì)初始輪廓線大小及其位置的敏感性. 圖中綠色線為初始輪廓，紅色線為最終的分割結(jié)果，血管圖像大小為103×131，控制參數(shù)w取值為0.95，長(zhǎng)度項(xiàng)的參數(shù)v都取值為0.001×2552. 由圖3可以看出： ① 選取一系列相同大小但位置不同的初始輪廓線(如第一行的綠色線所示)時(shí)，新模型都只經(jīng)過20次迭代就得到正確的分割結(jié)果(如第一行的紅色線所示)； ② 選取一系列相同位置但大小不一的初始輪廓線(如第二行的綠色線所示)時(shí)，新模型也只要經(jīng)過20～100次迭代就得到正確的分割結(jié)果(如第二行的紅色線所示). 因此，ILBF模型可以有效的對(duì)抗初始輪廓線大小及其位置的敏感性.

圖3　模型對(duì)初始輪廓線大小及位置的敏感性Fig.3　Sensitivity for the size and placement of initialization of the curve

圖4中綠色線為4種不同的初始輪廓線，紅色線為最終的分割結(jié)果，第1、 2、 3、 4列分別為L(zhǎng)BF、 LGIF、 劉瑞娟[6]、 ILBF模型的分割結(jié)果. 表1列出了圖4在實(shí)驗(yàn)中4種不同的初始輪廓下各個(gè)模型分割出目標(biāo)邊界的迭代次數(shù)和時(shí)間，表2給出了各個(gè)模型的參數(shù)值. 由表1可知在分割血管圖時(shí)，與其它模型相比，新模型能夠以更少的迭代次數(shù)和CPU時(shí)間正確分割出血管.

圖4　ILBF模型和LBF、 LGIF、 劉瑞娟[6]模型的對(duì)比Fig.4 Comparison of ILBF model with LBF, LGIF and Liu Ruijuan[6] model

初始輪廓LBF模型迭代次數(shù)t/sLGIF模型迭代次數(shù)t/s劉瑞娟[6]模型迭代次數(shù)t/sILBF模型迭代次數(shù)t/s11002.346501.0481205.065400.7962801.847501.0971205.032300.6783801.909501.1781205.023400.8244801.889501.1301205.083400.838

表2　圖4實(shí)驗(yàn)中各個(gè)模型參數(shù)的取值

4結(jié)論

由于LBF模型只在局部擬合項(xiàng)的作用下進(jìn)行曲線的演化，極易陷入局部極小，導(dǎo)致噪聲和初始輪廓的敏感性. 針對(duì)該缺點(diǎn)，通過控制參數(shù)的調(diào)節(jié)，融入了全局灰度信息，提出一種融合全局圖像信息的局部二元擬合的活動(dòng)輪廓模型，該模型可以選擇有靈活的初始化水平集的函數(shù)方式，無需重新初始化，而且該模型集成了LBF模型和 CV模型的優(yōu)點(diǎn)，具有局部和全局的分割特性，能夠廣泛地分割灰度不均圖像，并具有良好的抗噪性以及減輕了對(duì)輪廓線初始化的敏感性，同時(shí)通過與文獻(xiàn)[4, 6, 9]所提的模型相對(duì)比可知，該模型在分割速度、 迭代次數(shù)方面得到了改善.

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(責(zé)任編輯： 洪江星)

A local fitting active contour model involving global information

WU Yiping, SHEN Ming

(College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian 350116, China)

Abstract:We propose a new image segmentation model which is combing local with global intensity of the image. It is a region-based active contour model which improves the local fitting item. With the help of controlling parameter, it can release the work of the local fitting item in local binary fitting (LBF) active contour model and enhance the weight value of the global item. The model can not only deal with the intensity inhomogeneity image segmentation problem, but also be flexible to the initialization of the contour. Experimental results show that the model has released the sensitivity of the placement and size of the contour, improved evolution speed, and decreased CPU time for synthetic and real images.

Keywords:image segmentation; active contour; local fitting; partial differential equation; inhomogeneity intensity

DOI:10.7631/issn.1000-2243.2016.03.0394

文章編號(hào)：1000-2243(2016)03-0394-07

收稿日期:2014-03-07

通訊作者:沈明(1983-)，副教授，主要從事非線性偏微分方程及其應(yīng)用等研究，shenming0516@fzu.edu.cn

基金項(xiàng)目:福建省教育廳科技資助項(xiàng)目(JB12256)

中圖分類號(hào)：TP391

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A