徐玉華，盧亞娟，謝承蓉

(1. 鄖陽師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)與財經(jīng)系, 湖北 十堰 442000； 2. 南京審計大學(xué) a.金融學(xué)院，b.理學(xué)院,c.江蘇省金融工程重點實驗室，江蘇 南京 211815)

一類廣告經(jīng)濟系統(tǒng)的建模與演化分析

徐玉華1, 2a,2c，盧亞娟2a，謝承蓉2b

(1. 鄖陽師范高等專科學(xué)校 數(shù)學(xué)與財經(jīng)系, 湖北 十堰 442000； 2. 南京審計大學(xué) a.金融學(xué)院，b.理學(xué)院,c.江蘇省金融工程重點實驗室，江蘇 南京 211815)

摘要：基于需求量、廣告支出、成本和利潤建立了一個新的廣告經(jīng)濟模型，討論了模型均衡解的穩(wěn)定性，同時分析了廣告經(jīng)濟系統(tǒng)受到外部擾動時的分岔演化行為。研究結(jié)果表明，外界擾動產(chǎn)生的系統(tǒng)混沌效應(yīng)會使管理中各個環(huán)節(jié)的不確定性風(fēng)險值增加，從而降低了各個環(huán)節(jié)的管理效率。因此，如何弱化外界擾動對經(jīng)濟系統(tǒng)的影響是經(jīng)濟、金融風(fēng)險管理研究和應(yīng)用中的重要工作。

關(guān)鍵詞：廣告經(jīng)濟模型；混沌系統(tǒng)；分岔

一、引言

廣告競爭是市場競爭的重要形式，也是目前營銷活動中經(jīng)常選用的競爭策略，對廣告經(jīng)濟模型的研究引起了越來越多科學(xué)工作者的關(guān)注。張德賢等運用博弈論將著名的Vidale-Wolfe廣告模型推廣為微分對策廣告模型，旨在量化闡明廣告投入的市場運作“法則”[1]。李煜等討論了一類廣告競爭模型的延遲反饋混沌控制方法[2]。王磊等在單一制造商和單一零售商基礎(chǔ)上,把研究擴展到單一制造商和多個競爭性的零售商的情況[3]。徐峰等將延遲決策引入到雙寡頭有限理性廣告博弈模型中, 研究了其對系統(tǒng)的影響，并對該模型進行了穩(wěn)定性分析[4]。齊潔等考慮了競爭性和信息性兩種廣告對企業(yè)市場份額不同作用，提出一個在兩強競爭情況下的動態(tài)廣告投入模型[5]。王建征等從廣告投入到影響產(chǎn)品銷售量應(yīng)有的時差，對經(jīng)典的Vidale-Wolfe廣告模型進行改進[6]。謝德輝等建立了企業(yè)信息傳播的脈沖廣告模型，運用脈沖微分方程理論對模型進行了分析和仿真[7]。劉福建提出了一個兩家企業(yè)競爭環(huán)境下的廣告投入最優(yōu)控制模型，模型中將信息性廣告和競爭性廣告分開考慮[8]。聶佳佳利用微分對策理論研究了供應(yīng)鏈競爭下的合作廣告問題, 構(gòu)建了一個微分對策模型，在非對稱的供應(yīng)鏈情形下, 運用漢密爾頓-雅可比-貝爾曼方程求得Stackelberg博弈下均衡的廣告投入和廣告分擔(dān)比例[9]。李佼瑞討論了隨機非線性動力系統(tǒng)在經(jīng)濟周期研究中的運用[10]。張建強等討論了消費者反廣告行為下的供應(yīng)鏈合作廣告模型，解釋了現(xiàn)實中有許多企業(yè)不愿意進行廣告合作的原因[11]。高振斌針對證券投資中存在的不確定性，采用模糊理論中的三角模糊數(shù)，解決投資收益率最大與風(fēng)險損失率最小的雙目標(biāo)模糊優(yōu)化問題[12]。

上述學(xué)者對經(jīng)濟現(xiàn)象中的廣告模型作了許多有益探討，而基于動力學(xué)原理來模擬經(jīng)濟現(xiàn)象，以及研究擾動現(xiàn)象對經(jīng)濟復(fù)雜系統(tǒng)動力學(xué)行為產(chǎn)生影響的文獻并不多。不同于以往研究，本文基于需求量、廣告支出、成本和利潤建立廣告動力學(xué)模型，分析它的演化行為，同時分析擾動后的經(jīng)濟系統(tǒng)混沌行為，從而為科學(xué)決策提供依據(jù)。

二、廣告經(jīng)濟模型描述

為了建立新廣告模型，引入如下記號：x(t)表示在時刻t對一種商品的需求量；y(t)表示在時刻t對該商品的廣告支出；z(t)表示在時刻t獲得的利潤。對模型進行如下假設(shè)：

(1)

(2)

(3)

把式(1)～(3)聯(lián)立，可得如下商品廣告微分方程模型：

(4)

式中，bi>0；i=1,2，…,6；aj>0；j=1,2，3，4。

三、廣告經(jīng)濟模型演化分析

(一)均衡解的穩(wěn)定性分析

顯然，系統(tǒng)(4)是一個非線性自治系統(tǒng)，令：

系統(tǒng)有兩個平衡點：

系統(tǒng)(4)的雅可比矩陣為：

為了定量分析廣告經(jīng)濟模型演化行為，取a1=0.85,a2=5,a3=4,a4=1，b1=1, b2=0.2,b3=2,b4=0.5,b5=3,b6=0.5。

盡管E1是不穩(wěn)定的點，但由于E2是穩(wěn)定點，使得系統(tǒng)(4)的演化軌跡最終穩(wěn)定到點E2，而沒有產(chǎn)生混沌行為。圖1表明系統(tǒng)(4)由初值[0，2，-1] 最終穩(wěn)定到穩(wěn)定點E2。

由于需求量的變化反映了利潤的變化，圖2只給出了需求量和廣告支出的演化圖。由圖2可知，當(dāng)需求量x(t)接近于0.85時，廣告支出接近于0。當(dāng)需求量x(t)

圖1　系統(tǒng)穩(wěn)定到穩(wěn)定點E2

圖2　需求量和廣告支出的演化

(二)擾動下的系統(tǒng)混沌分析

由于許多實際經(jīng)濟、金融復(fù)雜系統(tǒng)經(jīng)常受到白噪聲和有色噪聲等隨機噪聲的干擾，因此研究擾動現(xiàn)象對經(jīng)濟、金融復(fù)雜系統(tǒng)的動力學(xué)影響是一個不可避免的問題。盡管系統(tǒng)可以受到任何隨機的外在擾動，但并不是任何擾動都會使系統(tǒng)產(chǎn)生混沌行為，只有擾動項使系統(tǒng)產(chǎn)生不穩(wěn)定的均衡解時，系統(tǒng)才有可能產(chǎn)生混沌，而混沌一般對經(jīng)濟系統(tǒng)是有害的。下面假設(shè)系統(tǒng)(4)受到外在的擾動項為ksigny、ksinz、ksinx時，系統(tǒng)隨即表現(xiàn)出混沌行為，這里的擾動項可理解為每一個量的變化率可能受到其它變量的影響，受擾動的系統(tǒng)描述如下：

(5)

當(dāng)k=6.5，取系統(tǒng)(5)的初始參數(shù)值為[0.5, 0.7,1]時，系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌現(xiàn)象(如圖3)。

圖3　混沌系統(tǒng)在x-y-z軸上的相圖

1.均衡解的穩(wěn)定性分析

下面來分析系統(tǒng)(5)均衡解的穩(wěn)定性情況。

系統(tǒng)有兩個平衡點：E3(-0.318 0,-4.177 6,-0.367 6)，E4(-0.318 0,9.177 6,-2.593 5)。

類似前面穩(wěn)定性分析，均值E3(-0.318 0,-4.177 6,-0.367 6)相應(yīng)的特征值為：λ1=2.867 3,λ2=-3.433 6+4.390 4i,λ3=-3.433 6-4.390 4i，可知E3是不穩(wěn)定的點。

均值E4(-0.318 0,9.177 6,-2.593 5)相應(yīng)特征值為：λ1=4.132 0,λ2=-4.066 0+3.457 3i,λ3=-4.066 0-3.457 3i，可知E4也是不穩(wěn)定的點。

系統(tǒng)(5)的2個均衡解都是不穩(wěn)定的，意味著系統(tǒng)內(nèi)在的不穩(wěn)定性。不穩(wěn)定性是系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的必要條件，一般對經(jīng)濟系統(tǒng)是有害的。

通常，如果一個系統(tǒng)是有界的，且有1個正李雅普洛夫指數(shù)，那么這個系統(tǒng)是混沌的。通過計算得到L1=0.551 1，L2=-0.593 0，L3=-2.686 5，系統(tǒng)(5)有2個大于0的李雅普洛夫指數(shù)。另外，擾動后動力系統(tǒng)(5)的邊界為：-3.564 5≤x≤4.381 0，-1.696 0≤y≤1.981 2，-2.535 5≤x≤1.045 3，所以系統(tǒng)(5)此時處于混沌狀態(tài)。

2.系統(tǒng)分岔仿真分析

非線性金融動力模型在演化的過程中往往表現(xiàn)出一種復(fù)雜的金融現(xiàn)象，系統(tǒng)由簡單的狀態(tài)，如均衡狀態(tài)、失穩(wěn)、分岔，進入混沌狀態(tài)，特別是分岔出現(xiàn)時，系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性發(fā)生改變，并在平衡點的小鄰域內(nèi)產(chǎn)生周期解，經(jīng)濟危機周期性發(fā)生。

當(dāng)系統(tǒng)(5)的初始參數(shù)值為[1,0.5,0.8]時，通過Matlab7.0軟件仿真，可得到經(jīng)濟系統(tǒng)(5)隨著擾動參數(shù)k∈[5.6,9]變化時的分岔圖(如圖4)。

圖4　擾動后廣告經(jīng)濟系統(tǒng)的分岔圖

從圖4可見經(jīng)濟系統(tǒng)(5)隨著擾動參數(shù)k的變化系統(tǒng)展現(xiàn)出復(fù)雜的動力學(xué)行為。隨擾動參數(shù)k的逐漸增大，經(jīng)濟系統(tǒng)(5)經(jīng)歷了由1周期倍化為2周期，然后4周期，…，倍周期分岔的運動形式。從穩(wěn)定的1周期軌道通過倍周期分岔走向混沌。在混沌域內(nèi)有許多不同的周期窗口，這些窗口中，我們可以看到有的發(fā)生了倍周期分岔，有的窗口出現(xiàn)了混沌危機，系統(tǒng)從倍周期分岔、失穩(wěn)，繼而呈現(xiàn)混沌態(tài)。處于混沌態(tài)的經(jīng)濟系統(tǒng)是一種失控狀態(tài)，會產(chǎn)生非常大的破壞作用。因此，當(dāng)經(jīng)濟系統(tǒng)處于不穩(wěn)定的混沌狀態(tài)時，經(jīng)濟系統(tǒng)的波動會較為劇烈，也就是說隨機擾動對經(jīng)濟系統(tǒng)穩(wěn)定運行產(chǎn)生較大的破壞作用，使管理中各個環(huán)節(jié)的不確定性風(fēng)險值增加，降低了各個環(huán)節(jié)的管理效率，從而需要我們對經(jīng)濟系統(tǒng)作適時調(diào)控，減弱外界擾動對經(jīng)濟系統(tǒng)的影響，防止經(jīng)濟系統(tǒng)的長期劇烈波動，使系統(tǒng)朝向有益的方向運行。

四、結(jié)語

本文建立了一個新的廣告經(jīng)濟模型，研究了這類模型的穩(wěn)定性和分岔行為的演化。通過分岔圖，數(shù)值模擬了外部擾動對經(jīng)濟系統(tǒng)演化行為的影響，得出了一些有意義的研究結(jié)果，可以為政府調(diào)控經(jīng)濟系統(tǒng)提供一些理論依據(jù)。

參考文獻：

[1]張德賢，戴桂林，王斌. Vidale-Wolfe微分對策廣告模型 [J]. 青島海洋大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版, 1999,29(3).

[2]李煜,盛昭瀚,姚洪興. 一類廣告競爭模型的延遲反饋混沌控制方法[J]. 預(yù)測, 2003,22(1).

[3]王磊，梁木梁，吳德勝. 零售商競爭下的垂直合作廣告模型[J]. 中國管理科學(xué)，2005,13(2).

[4]徐峰，盛昭瀚，姚洪興. 延遲決策對一類雙寡頭廣告博弈模型的影響分析[J]. 管理科學(xué)學(xué)報,2007,10(5).

[5]齊潔，汪定偉. 廣告競爭模型的最優(yōu)控制策略研究[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐, 2007,27(1).

[6]王建征，彭云飛. 時滯型Vidale-Wolfe廣告模型[J]. 貴州科學(xué),2008,26(1).

[7]謝德輝，郭志華. 基于信息傳播的脈沖廣告模型[J]. 企業(yè)經(jīng)濟,2008, 11(10).

[8]劉福建.基于數(shù)學(xué)分析的廣告模型構(gòu)建[J]. 吉林省教育學(xué)院學(xué)報, 2010,26(6).

[9]聶佳佳.供應(yīng)鏈競爭下基于微分對策的合作廣告模型[J]. 系統(tǒng)管理學(xué)報, 2011,20(5).

[10]李佼瑞. 概述隨機非線性動力系統(tǒng)在經(jīng)濟周期研究中的運用[J]. 統(tǒng)計與信息論壇, 2012,27(4).

[11]張建強，仲偉俊，梅姝娥，等. 消費者反廣告行為下的供應(yīng)鏈合作廣告模型[J]. 軟科學(xué)，2013,27(1).

[12]高振斌. 基于可能度的模糊證券投資組合優(yōu)化模型[J]. 統(tǒng)計與信息論壇,2015,30(5).

(責(zé)任編輯：張愛婷)

Modeling and Evolution Analysis of a Kind of Advertising Economic System

XU Yu-hua1,2a,3c, LU Ya-juan2a, XIE Cheng-rong2b

(1. Department of Mathematics and Finance, Yunyang Teachers' College, Shiyan 442000, China;a. School of Finance, b. College of Science, c.Jiangsu Key Laboratory of Financial Engineering, 2.Nanjing Audit University, Jiangsu 211815, China)

Abstract:In this paper, a new model is established based on the demand, advertising, cost and profit, and the stability of equilibrium is also discussed. The research results show that the system by the external disturbance can increase the uncertainty risk value, thus reducing the management efficiency. It is an important work for the management to weaken the influence of external disturbance on the economic system.

Key words:advertising economic model; chaos system; bifurcation

收稿日期：2015-11-18

基金項目：教育部人文社會科學(xué)研究青年基金項目《基于隨機擾動的經(jīng)濟、金融復(fù)雜系統(tǒng)動力學(xué)演化機理和風(fēng)險控制研究》(14YJCZH173)；湖北省教育廳科學(xué)技術(shù)研究計劃重點項目《隨機混沌系統(tǒng)的動力學(xué)分析與控制》(D20156001)；江蘇省金融工程重點實驗室開放課題資助(NSK2015-16)

作者簡介：徐玉華,男,湖北仙桃人，博士后，教授，研究方向：金融信息系統(tǒng)分析與控制；

中圖分類號：F019.3

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1007-3116(2016)02-0084-04

盧亞娟,女,江蘇宜興人，博士，教授，研究方向：金融風(fēng)險管理；

謝承蓉,女,湖北松滋人，碩士，副教授，研究方向：金融數(shù)學(xué)。

【統(tǒng)計應(yīng)用研究】