吳路路　韓　江　田曉青　夏　鏈

合肥工業(yè)大學,合肥,230009

無偏差最小二乘法伺服控制系統(tǒng)參數(shù)辨識

吳路路韓江田曉青夏鏈

合肥工業(yè)大學,合肥,230009

摘要：為準確辨識伺服控制系統(tǒng)參數(shù)，針對高性能運動控制算法的要求，在分析典型伺服控制系統(tǒng)結構模型基礎上，基于“庫侖摩擦+黏性摩擦”模型，設計了無偏差最小二乘方法，研究其在“工控機+運動控制卡”數(shù)控系統(tǒng)平臺上的實現(xiàn)方法。實時采集電機角速度數(shù)據(jù)，利用設計的方法估算伺服系統(tǒng)轉動慣量、黏性摩擦和庫侖轉矩，通過角速度重構，對比理論計算和實際測量角速度,驗證參數(shù)辨識的有效性和準確性。理論分析和實驗結果表明，所設計的參數(shù)辨識方法能夠準確辨識系統(tǒng)參數(shù)。

關鍵詞：伺服控制；無偏差最小二乘法；角速度重構；參數(shù)辨識

0引言

設計高性能的伺服驅動控制系統(tǒng),需要準確辨識執(zhí)行機構的動力學參數(shù)。起初,控制系統(tǒng)都是基于偏差調節(jié)的反饋控制方式，為了降低運動軌跡的輪廓誤差，要求各運動軸有匹配的閉環(huán)動態(tài)響應。隨后，在傳統(tǒng)反饋控制器的基礎上，人們又提出前饋控制算法，即在控制器中引入了預估前饋數(shù)據(jù)。Tomizuka[1]提出了一種零相位誤差前饋控制器(ZPETC),通過在前饋控制器中輸入零點來補償閉環(huán)系統(tǒng)的不穩(wěn)定零點，增加控制系統(tǒng)的帶寬,提高伺服系統(tǒng)的跟蹤精度。然而，對于ZPETC控制算法而言,如果想要設計具有較強魯棒性的控制器，需要準確獲取反饋系統(tǒng)的模型參數(shù)[2-3]。Ramesh等[4]指出,如果控制系統(tǒng)參數(shù)與實際控制對象的參數(shù)不匹配，則使用前饋控制器反而會降低系統(tǒng)的控制精度,即使采用最小方差(generalisedminimumvariance)和極點配置方法設計系統(tǒng)控制器,如果想獲得較好的控制性能也需精確知曉控制對象的參數(shù)。

從工業(yè)上廣泛使用的P、PI、PID控制器,到較為復雜的ZPETC控制器,再到更復雜的集成控制器[4-7],雖然各種控制算法都有一定的抗干擾能力,但對于突變的干擾來說，這些控制算法都需要一定的時間來消除突變干擾的影響。在圓弧插補的過象限處和線性輪廓拐角處,運動軸方向改變,摩擦力方向會隨之發(fā)生突變，由于無法及時消除摩擦力的影響，該位置的精度會顯著降低。解決這一問題的方式就是利用已知的信息(如插補的參考位置、速度)，提前預估即將產(chǎn)生的干擾情況，通過前饋補償?shù)姆绞絹硐蛔兏蓴_對系統(tǒng)運動精度的影響。然而，對于這種提前補償?shù)姆绞剑枰A先獲取突變干擾的特征。就進給系統(tǒng)中因運動方向改變而發(fā)生突變的摩擦干擾而言，需要提前掌握摩擦的特征才能進行補償。

本文通過最小二乘法辨識進給驅動系統(tǒng)的動力學模型參數(shù)和摩擦干擾的特征參數(shù)，進給系統(tǒng)模型采用典型模型，摩擦干擾模型采用“庫侖摩擦+黏性摩擦”模型。模型辨識實驗在基于“工控機+運動控制卡+伺服電機”的運動控制平臺上實現(xiàn)，通過重構電機運行速度，驗證模型辨識的有效性。

1伺服控制系統(tǒng)建模

伺服控制系統(tǒng)模型采用在實際應用中廣泛使用的慣量阻尼模型,摩擦模型則采用“庫侖摩擦+黏性摩擦”的結構。摩擦是影響進給系統(tǒng)控制精度的主要干擾因素,因此本文主要考慮摩擦因素,忽略測量噪聲、量化誤差等次要因素對模型參數(shù)的影響。

1.1伺服系統(tǒng)模型

圖1　伺服控制系統(tǒng)模型

在Laplace域中,可以將圖1中電機軸的角速度ω(s)寫成控制信號u(s)和摩擦轉矩Tf(s)的傳遞函數(shù)形式：

(1)

假設干擾轉矩作用在控制信號的輸入階段，干擾值f(s)=Tf(s)/(KaKt)。同時為了簡化計算,令Kω=KaKt/J、Pω=-B/J,則電機角速度ω(s)可以寫成下面的形式：

(2)

采用零階保持器等效方法[10]將ω(s)離散化,得到角速度離散時間域的表達式：

(3)

式中，T為離散時間采樣周期。

1.2摩擦模型

文獻[11]中對各種摩擦模型做了詳細的闡述，“庫侖摩擦+黏性摩擦”模型能夠較準確地反映摩擦特性，相比其他摩擦模型而言結構簡單，用較少的參數(shù)體現(xiàn)摩擦的特征，在工程中得到較廣泛的使用。文獻[12]從工程實用角度采用圖2所示的模型，很好地補償了摩擦的影響，摩擦轉矩Tf與軸轉速ω在一定程度上成線性關系。

圖2　摩擦模型

當驅動轉矩小于庫侖摩擦轉矩Tc時,伺服系統(tǒng)運動軸處于停止狀態(tài)，當軸運動后，隨著角速度值增加，摩擦轉矩成現(xiàn)線性比例增長，直線的斜率為進給驅動系統(tǒng)的黏性摩擦因數(shù)B,當運動方向發(fā)生改變時摩擦轉矩發(fā)生突變。摩擦轉矩與角速度的關系如下公式所示：

Tf(ω)=0 ω=0且T=0T+c ω=0且T>0T-c ω=0且T<0T+c+Bω ω>0T-c+Bω ω<0ì?í??????

(4)

2系統(tǒng)參數(shù)辨識

利用圖1所示的伺服系統(tǒng)模型和圖2所示的摩擦模型，在一個簡化的伺服系統(tǒng)上進行參數(shù)辨識實驗。系統(tǒng)辨識采用兩種方式：簡單最小二乘法和無偏差最小二乘法。簡單最小二乘法忽略庫侖摩擦的影響，默認Tc=0,實際辨識過程中只需估算轉動慣量和黏性摩擦因數(shù)值；無偏差最小二乘法考慮摩擦干擾的影響，需要估算慣量、黏性摩擦因數(shù)和庫侖摩擦值。

2.1簡單最小二乘法系統(tǒng)參數(shù)辨識

采用簡單最小二乘法忽略運動方向改變時的摩擦突變的影響，認為Tc=0。根據(jù)式(3),如果忽略干擾f(z)的影響，則只有兩個參數(shù)Kω和Pω需要辨識。現(xiàn)令Kωd=Kω(ePωT-1)/Pω,Pωd=ePωT,式(3)可以寫成第k個采樣周期的差分形式：

ω(k)=Pωdω(k-1)+Kωdu(k-1)

(5)

將式(5)寫成N個采樣周期的形式：

Y=Aα+E

(6)

Y=[ω(2)ω(3)…ω(N)]T

α=[PωdKωd]T

式中，E為估算誤差向量。

最小二乘法的目標是使得代價函數(shù)f(E)=ETE的值最小。根據(jù)最小二乘原理,對于滿秩矩陣ATA,Kωd和Pωd的估計值為

(7)

慣量和黏性摩擦因數(shù)的估計值分別為

(8)

2.2無偏差最小二乘法系統(tǒng)參數(shù)辨識

在實際工作過程中,由于干擾的存在可能會使得估算值出現(xiàn)較大偏差,故需要考慮干擾對估算值的影響,此時式(3)寫成如下形式：

ω(k)=Pωdω(k-1)+Kωdu(k-1)-Kωdf(k-1)

(9)

其中,Kωdf(k-1)是摩擦干擾，考慮到摩擦干擾的存在,最小二乘公式需要寫成帶有干擾的形式，干擾值的大小為

f(k)=0 ω(k)=0T+c/(KtKa) ω(k)>0T-c/(KtKa) ω(k)<0ì?í????

(10)

f(k)=Pkf++Nkf-

(11)

當ω(k)>0時，Pk=1,Nk=0;當ω(k)<0時,Pk=0,Nk=1;當ω(k)=0時,Pk=0,Nk=0。式(9)可寫為

(12)

將式(12)寫成N個采樣周期的形式:

Y′=A′α′+E′

(13)

Y′=[ω(2)ω(3)…ω(N)]T

α′=[PωdKωdKωdf+Kωdf-]T

式中,E′為估算誤差向量。

使代價函數(shù)f(E′)=(E′)TE′的值最小,則Kωd、Pωd、f+和f-估計值為

(14)

慣量、黏性摩擦因數(shù)和庫侖摩擦轉矩的估計值分別為

(15)

3參數(shù)辨識實驗

通過兩種方法辨識伺服控制系統(tǒng)的轉動慣量和黏性阻尼系數(shù)，與平臺的實際轉動慣量對比，驗證無偏差方法的準確性；然后將兩種方法辨識的結果分別代入到伺服系統(tǒng)模型中，根據(jù)輸入指令計算系統(tǒng)的理論輸出速度，并分別與實際采集的速度作對比，分析兩種方法的速度偏差，驗證無偏差方法的有效性。

3.1實驗平臺

伺服系統(tǒng)參數(shù)辨識實驗是在基于“工控機+運動控制卡+伺服電機”的平臺上進行的，如圖3所示。工控機通過以太網(wǎng)總線向運動控制卡發(fā)送控制指令，運動控制卡根據(jù)指令值控制電機運轉，實時采集電機編碼器反饋的脈沖值，根據(jù)反饋值計算電機實際轉動的角速度；將電機的實際角速度實時反饋給工控機，工控機將對應時刻的角速度值寫入相關文檔，用于相關參數(shù)辨識。

圖3　實驗平臺結構

實驗選用松下伺服驅動和永磁同步電機，電機型號為MHMD042G1，電機編碼器線數(shù)為2500,電機最高轉速為5000 r/min,電流環(huán)比例系數(shù)Ka=1.1 A/V，轉矩轉換系數(shù)Kt=0.345 N·m/A,電機軸的轉動慣量J=0.67×10-4kg·m2,電機驅動器選擇轉矩控制模式，系統(tǒng)采樣周期設置為T=0.0041 s。

3.2參數(shù)辨識

實驗輸入的指令是一系列階躍電壓信號，指令電壓先增大再減小，共進行3組實驗，如圖4所示。3組實驗中，指令電壓值從0增加到每組實驗的最大值，再減小到0，相應階躍點的控制電壓值如表1所示，3組實驗的最大值分別為75 mV、100 mV和150 mV,最小值為0。

圖4　3組實驗指令電壓信號

時間(s)00.30.60.91.21.51.8U1(mV)0-5055-6065-7075U2(mV)0-5060-7080-90100U3(mV)0-5070-90110-130150

利用PMAC運動控制卡實時采集電機的速度值,利用式(7)和式(14)分別對系統(tǒng)的參數(shù)進行估算，得到轉動慣量、黏性摩擦和庫侖摩擦轉矩的估計值。表2是通過簡單二乘法獲得的轉動慣量和黏性摩擦值。表3是通過無偏差最小二乘法得到的轉動慣量、黏性摩擦值和庫侖摩擦轉矩值。圖5是3組實驗的估算值對比圖。

表2　簡單最小二乘法估算值

表3　無偏差最小二乘法估算值

1.簡單最小二乘法　2.無偏差最小二乘法(a)慣量

1.簡單最小二乘法　2.無偏差最小二乘法(b)黏性摩擦

(c)庫侖摩擦圖5　實驗數(shù)據(jù)對比

對比3組實驗的估算值，簡單最小二乘法得到的轉動慣量和黏性摩擦值相對較大，且3組實驗結果存在較大差異，無偏差最小二乘法3組實驗得到的估算值波動較小,三次實驗的結果基本一致。

由表2可得簡單最小二乘法3組實驗的平均估算值為

無偏差最小二乘法3組實驗的平均估算值為

對比實際和辨識所得的伺服控制平臺的轉動慣量值，從以上的估算結果可以看出，兩種方式估算得到的轉動慣量值都很接近實際值，兩種方式都能很好地辨識系統(tǒng)的轉動慣量。然而，簡單最小二乘方式辨識得到的轉動慣量和黏性摩擦的值相對無偏差方式較大，而且3次辨識的結果差別較大。簡單最小二乘法未考慮庫侖摩擦的影響，將庫侖摩擦的影響轉化成黏性摩擦的影響，致使黏性摩擦和轉動慣量值增大并使得結果波動較大。

為了驗證辨識參數(shù)的有效性和準確性，將辨識獲得的參數(shù)代入到理論模型中，根據(jù)輸入的電壓指令計算并重構理論角速度，將理論角速度與實測角速度相比較，結果如圖6所示。采用無偏差方式估算的參數(shù)計算得到的理論角速度曲線更接近實測角速度曲線，而且角速度誤差波動更小。采用簡單最小二乘方式重構的角速度最大誤差值為15rad/s,無偏差方式重構的角速度誤差值為7rad/s,不到前一種方式的一半,采用無偏差方式辨識獲得的參數(shù)重新構建的角速度與實際的角速度相符度更高,更能準確地描述實際伺服系統(tǒng)。

(a)理論和實際角速度響應

(b)兩種方法估算誤差對比

(c)指令和干擾信號曲線圖6　角速度重構與分析圖

4結語

本文分析了伺服控制系統(tǒng)結構模型，采用無偏差最小二乘方法，基于“庫侖摩擦+黏性摩擦”模型，辨識伺服控制系統(tǒng)參數(shù)。研究了最小二乘法參數(shù)辨識在“工控機+運動控制卡”數(shù)控平臺上的實現(xiàn)方法，從理論和實驗的角度分析了辨識方法的準確性。通過辨識實驗獲得系統(tǒng)的參數(shù)，并將估算得到的系統(tǒng)參數(shù)代入系統(tǒng)模型,重構電機角速度。實驗結果表明，所采用無偏差最小二乘方法可以更準確地辨識系統(tǒng)的參數(shù)。

參考文獻:

[1]TomizukaM.ZeroPhaseErrorTrackingAlgorithmforDigitalControl[J].JournalofDynamicSystems:MeasurementandControl,1987,109(1):65-68.

[2]TsaoT,TomizukaM.AdaptiveZeroPhaseErrorTrackingAlgorithmforDigitalControl[J].JournalofDynamicSystems:MeasurementandControl,1987,109(4):349-354.

[3]YangJ,AltintasY.AGeneralizedOn-lineEstimationandControlofFive-axisContouringErrorsofCNCMachineTools[J].InternationalJournalofMachineTools&Manufacture,2015,23(9):9-23.

[4]RameshR,MannanMA,PooAN.TrackingandCoutourErrorControlinCNCServoSystems[J].InternationalJournalofMachineTools&Manufacture,2005,45(3):301-326.

[5]HuoF,PooAN.PrecisionContouringControlofMachineTools[J].TheInternationalJournalofAdvancedManufacturingTechnology,2013,64(1):319-333.

[6]KhoshdarregiMR,TappeS,AltintasYY.IntegratedFive-axisTrajectoryShapingandContourErrorCompensationforHigh-speedCNCMachineTools[J].IEEE/ASMETransactionsonMechatronics,2014,19(6):1859-1871.

[7]王麗梅,李兵.基于摩擦觀測器的直接驅動XY平臺輪廓控制器設計[J]. 電機與控制學報,2013,17(1):31-36.

WangLimei,LiBing.ContourControllerDesignforDirectDriveXYTableBasedonFrictionObserver[J].ElectricMachinesandControl,2013,17(1):31-36.

[8]ErkorkmazK.HighSpeedCNCSystemDesign.PartⅡ:ModelingandIdentificationofFeedDrives[J].InternationalJournalofMachineTools&Manufacture,2001,41:1487-1509.

[9]田曉青. 柔性電子齒輪箱設計及精度控制算法研究[D]. 合肥：合肥工業(yè)大學，2014.

[10]王嵐，趙丹,隋立明.機電系統(tǒng)計算機控制[M]. 哈爾濱：哈爾濱工程大學出版社，2006.

[11]向紅標. 開放式伺服系統(tǒng)的摩擦建模與補償研究[D]. 天津：天津大學，2010.

[12]曾鳴，王忠山，王學種. 基于非線性摩擦模型參數(shù)觀測器的自適應摩擦補償方法的研究[J]. 航空精密制造技術，2005，41(3):17-22.

ZengMing,WangZhongshan,WangXuezhong.ResearchonAdaptiveFrictionCompensationBasedontheObserverofNonlinearFrictionModelCoefficient[J].AviationPrecisionManufacturingTechnology,2005,41(3):17-22.

(編輯王旻玥)

ParameterIdentificationofServoControlSystemBasedonUnbiasedLeastSquareMethod

WuLuluHanJiangTianXiaoqingXiaLian

HefeiUniversityofTechnology,Hefei,230009

Abstract:Aiming at accurate parameter identification of a servo control system and the demands of high performance motion control algorithm, a typical servo control system model was analyzed and the unbiased least square method was designed based on Coulomb friction and viscous friction model.Implementation methods of it were studied on the hardware of industrial PC and motion control card. Motor angular speed data was collected in real time. The inertia,viscous friction and Coulomb torque of system were estimated using the least square method. The validity and the correctness of parameter identification were verified through reconstructing the angular speed, comparing the actual measurement with theoretical calculation angular speed. Theoretical observation and experimental results show that the parameters of the servo system can be accurately identified in this kind of CNC system platform with the unbiased least square method.

Key words:servo control; unbiased least square method;angular velocity reconstruction; parameter identification

收稿日期：2015-03-19

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51275147)；國家科技重大專項(2012ZX04001-021)

中圖分類號:TH117;TG659

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.01.018

作者簡介：吳路路,男，1992年生。合肥工業(yè)大學機械與汽車工程學院博士研究生。主要研究方向為高速運動控制技術。韓江，男，1963年生。合肥工業(yè)大學機械與汽車工程學院教授、博士研究生導師。田曉青，女，1987年生。合肥工業(yè)大學機械與汽車工程學院講師。夏鏈,女,1964年生。合肥工業(yè)大學機械與汽車工程學院教授。