陳天偉，盧獻(xiàn)健 ，江海東

(1.桂林理工大學(xué) 廣西空間信息與測(cè)繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 桂林 541004; 2.中南大學(xué)，湖南 長(zhǎng)沙 410083)

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應(yīng)用最大熵方法改進(jìn)楊赤中負(fù)權(quán)系數(shù)

陳天偉1，盧獻(xiàn)健1，江海東2

(1.桂林理工大學(xué) 廣西空間信息與測(cè)繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 桂林 541004; 2.中南大學(xué)，湖南 長(zhǎng)沙 410083)

摘要：楊赤中插值法數(shù)學(xué)模型在解算權(quán)系數(shù)時(shí)存在負(fù)權(quán)現(xiàn)象，文中初步分析了負(fù)權(quán)的分布規(guī)律，增設(shè)非負(fù)約束條件，利用最大熵原理分析模型系統(tǒng)對(duì)空間權(quán)重系數(shù)的依賴度，研究消除格網(wǎng)DEM插值的負(fù)權(quán)問題。通過MATLAB編程驗(yàn)證算法的正確性、準(zhǔn)確性，并與二次規(guī)劃法進(jìn)行比較。對(duì)比顯示最大熵法解得權(quán)系數(shù)大小比例與點(diǎn)位關(guān)系相適應(yīng)，且其估值精度優(yōu)于二次規(guī)劃法。

關(guān)鍵詞：楊赤中插值；負(fù)權(quán)；最大熵法；約束條件

數(shù)字高程模型(DEM)作為國(guó)家現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)發(fā)展的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，具有極其重要的意義。然而DEM的精度(尤其是空間分析更為依賴的規(guī)則格網(wǎng)DEM)仍有待提高。規(guī)則格網(wǎng) DEM由數(shù)學(xué)插值方法得到，其中，楊赤中插值法是由我國(guó)地學(xué)專家提出的一種最優(yōu)線性無偏估計(jì)的方法，基本理論是將空間域內(nèi)的變量(如高程、礦石品位等) 看成是具有基本變化,同時(shí)又伴隨有隨機(jī)變化的復(fù)合變量。用楊赤中濾波將復(fù)合變量分離成基本變化和隨機(jī)變化兩部分。用分離出來的隨機(jī)變化部分建立起能反映空間域變量隨機(jī)性與相關(guān)性的楊赤中函數(shù)，進(jìn)而實(shí)施楊赤中插值，對(duì)未知點(diǎn)空間屬性及插值精度進(jìn)行估計(jì)[1-2]。

根據(jù)條件極值原理得到楊赤中方程組

(1)

1原理

最大熵理論的數(shù)學(xué)模型為

(2)

其中：gj(j=1，2，…，m)表示各階統(tǒng)計(jì)矩函數(shù)，E(gj)表示已知各階統(tǒng)計(jì)矩的數(shù)學(xué)期望值，Pi為產(chǎn)生權(quán)系數(shù)的概率，S[p]為系統(tǒng)熵值。

因?yàn)榭臻g離散數(shù)據(jù)存在離散性，估值權(quán)系數(shù)同樣是離散的、隨機(jī)的。假設(shè)由楊赤中法算得某待估點(diǎn)的估值權(quán)系數(shù)為λ1,λ2,…,λn,其中存在若干負(fù)權(quán)值，利用最大熵原理建立方程組如下：

模型系統(tǒng)的熵值

(3)

約束條件

(4)

其中：約束條件的第1式即0階矩約束(或稱自然矩約束)，第2式即1階矩約束[6]。E(λ)是期望值，由于隨機(jī)變量λi的原點(diǎn)矩等于相應(yīng)的樣本矩[7]，E(λ)可利用參考點(diǎn)與估值點(diǎn)距離反比例賦權(quán)，對(duì)參與估值計(jì)算的參考點(diǎn)權(quán)系數(shù)取加權(quán)平均值算得，令C=E(λ)。

根據(jù)最大熵的要求，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

求偏導(dǎo)數(shù)得到如下方程：

解得

(5)

(6)

(7)

聯(lián)立式(5)、(6)、(7)，可解得u0,u1,pi(i=1,2,…,n)的值。

2實(shí)例運(yùn)行

實(shí)例：在某山地區(qū)域1∶1萬地形圖提取離散特征高程點(diǎn)60個(gè)，選取某待估點(diǎn)作插值運(yùn)算，按極限半徑搜索待估點(diǎn)四周的參考點(diǎn)，得到5個(gè)參考點(diǎn)。分別采用楊赤中法、最大熵法、二次規(guī)劃法3種方法計(jì)算估值權(quán)系數(shù)進(jìn)行對(duì)比，如表1所示。

根據(jù)楊赤中法，不考慮負(fù)權(quán)問題，即直接解算方程組(1)，計(jì)算結(jié)果見表1的第2行，可以看出，λ3=-0.078 5,λ4=-0.039 6，結(jié)果證明負(fù)權(quán)問題是存在的。

-0.334 2eλ1u1-0.308 9eλ2u1-0.469 7eλ3u1-

0.430 8eλ4u1+0.587 7eλ5u1=0.

數(shù)據(jù)帶入式(5)、(6)，聯(lián)立上式，利用MATLAB 軟件用fzero函數(shù)求解[8]。其算法是二分法、Secant法和逆二次內(nèi)插法的組合?？山馑愕酶鱌i值即修正后權(quán)系數(shù)，得到結(jié)果見表1第3行，可見最大熵法能消除空間權(quán)重系數(shù)負(fù)值現(xiàn)象。

利用二次規(guī)劃法解算權(quán)系數(shù)，參照楊赤中方法算得的權(quán)系數(shù)，取權(quán)系數(shù)初始值為[0.060.080.0010.0010.95]，計(jì)算結(jié)果見表1第4行。

對(duì)研究區(qū)域劃分12.5 m×12.5 m格網(wǎng)，利用上述3種方法分別進(jìn)行格網(wǎng)點(diǎn)高程插值，抽樣統(tǒng)計(jì)格網(wǎng)點(diǎn)的高程插值中誤差，結(jié)果對(duì)比如表2所示。

參考點(diǎn)、待估點(diǎn)的點(diǎn)位分布及楊赤中法算得權(quán)值如圖1所示。

表1　3種方法參考點(diǎn)及權(quán)值對(duì)比

表2　3種方法高程插值中誤差的對(duì)比　m

圖1　參考點(diǎn)、待估點(diǎn)的點(diǎn)位分布

3分析和結(jié)論

由表1數(shù)據(jù)可見，楊赤中法存在負(fù)權(quán)現(xiàn)象。二次規(guī)劃方法雖然能消除負(fù)權(quán)現(xiàn)象，但是得到的權(quán)值分布不合理，離待估點(diǎn)最近的參考點(diǎn)權(quán)值接近0值，遠(yuǎn)離待估點(diǎn)的參考點(diǎn)權(quán)值卻是最大的，此現(xiàn)象不符合空間數(shù)據(jù)自相關(guān)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，那么該法數(shù)值模擬得出的數(shù)學(xué)模型也是不穩(wěn)健、不合理的。而最大熵法能消除空間權(quán)重系數(shù)負(fù)值現(xiàn)象，且得到的權(quán)值大

小比例分布與參考點(diǎn)位分布協(xié)調(diào)一致,不僅能客觀反映出空間離散數(shù)據(jù)對(duì)其數(shù)值模擬得出的數(shù)學(xué)模型貢獻(xiàn)程度，也使得模型系統(tǒng)更加穩(wěn)健。再由表2數(shù)據(jù)可見, 最大熵法算得的估值精度優(yōu)于另外兩者，且滿足國(guó)家有關(guān)DEM建模精度的規(guī)范要求[9]。

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[責(zé)任編輯：劉文霞]

Improvement of Yang Chizhong’ negative-weight based on method of maximum entropy

CHEN Tianwei1，LU Xianjian1, JIANG Haidong2

(1.Guilin University of Technology, Guangxi Key Laboratory of Spatial Information and Geomatics, Guilin 541004， China; 2.Central South University, Changsha 410083, China)

Abstract：There is negative-weight in Yang Chizhong model,so the spread regular pattern of negative-weight is researched, and nonnegative constraint is set up. The principle of maximum entropy is utilized to analyze the model system which depends on modulus of space weight.The clearing up of negative-weight is studied for the interpolation of gridding DEM. The correctness and accuracy of the method are validated with matlab’s programming, compared with the method of quadratic program. Comparison shows that the volume and scaling of maximum entropy’s weight fit to the reration of space, and its accuracy is superior to the method of quadratic program.

Key words：Yang Chizhong interpolation; negative-weight; maximum entropy; constraint condition

DOI:10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2016.07.007

收稿日期：2015-02-28

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41161072)；廣西自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2011GXNSFA018001); 廣西空間信息與測(cè)繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室資助課題(桂科能1207115-08)

作者簡(jiǎn)介：陳天偉(1965-)，男，副教授，碩士.

中圖分類號(hào)：P208

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1006-7949(2016)07-0033-03