黃　平, 詹洋燕, 程廣舟

(哈爾濱工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

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基于量測(cè)一步預(yù)測(cè)信息的自調(diào)整UKF

黃平, 詹洋燕, 程廣舟

(哈爾濱工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

摘要：針對(duì)無跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filter, UKF)中自由調(diào)節(jié)參數(shù)的選取問題,通過研究不同的對(duì)于濾波性能的影響,提出基于量測(cè)一步預(yù)測(cè)信息的在線自調(diào)整的UKF方法。所提方法是通過根據(jù)每一濾波時(shí)刻量測(cè)的一步預(yù)測(cè)信息,對(duì)濾波參數(shù)進(jìn)行選取,選出每一濾波時(shí)刻的最優(yōu)濾波參數(shù),從而實(shí)現(xiàn)算法的在線調(diào)整。數(shù)值仿真表明,基于量測(cè)一步預(yù)測(cè)信息的自調(diào)整UKF對(duì)于真實(shí)狀態(tài)的跟蹤效果要優(yōu)于固定參數(shù)的無跡卡爾曼濾波。

關(guān)鍵詞：自調(diào)整; 無跡卡爾曼濾波; 非線性; 一步預(yù)測(cè)信息

0引言

擴(kuò)展卡爾曼濾波(extend Kalman filter,EKF)是工程上使用最早的非線性濾波方法[1]。自從20世紀(jì)60年代提出以來,被廣泛應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域[2]。但是,面對(duì)強(qiáng)非線性系統(tǒng)時(shí),由于存在高階項(xiàng)的截?cái)嗾`差EKF，很可能會(huì)導(dǎo)致濾波的發(fā)散?；凇皩?duì)概率分布進(jìn)行近似要比對(duì)非線性函數(shù)近似容易很多”的觀點(diǎn)，文獻(xiàn)[3]提出了無跡卡爾曼濾波器(unscented Kalman filter,UKF)。

從UKF產(chǎn)生開始,在狀態(tài)向量服從正態(tài)分布時(shí),人們一直認(rèn)為滿足n+k=3(n為系統(tǒng)的維數(shù))時(shí),無損變換(unscented transformation,UT)能夠有比較出色的表現(xiàn)[4-6]。隨著容積卡爾曼濾波(cubature Kalman filter,CKF)的產(chǎn)生,使得調(diào)節(jié)參數(shù)κ的選取再次成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)問題[7-8]。雖然UKF與CKF濾波有著不同的假定和理論推導(dǎo),但是從濾波方法上來看,CKF濾波實(shí)質(zhì)上就是UKF的一種特例(κ=0)。兩種濾波在不同維數(shù)下的濾波精度是不同的,也就是說κ的選取并不是固定不變的。因此本文提出一種基于量測(cè)殘差的自調(diào)整UKF,即根據(jù)量測(cè)信息對(duì)κ進(jìn)行在線調(diào)節(jié),提高濾波的精度。

1UKF

1.1UT變換

假設(shè)x∈Rn,y∈Rny是任意的隨機(jī)量,且x和y具有的非線性映射關(guān)系為

(1)

(2)

(3)

(4)

UT變換就是通過選取一系列具有相應(yīng)權(quán)值的Sigma點(diǎn){χi}來近似變量的統(tǒng)計(jì)特性。

采點(diǎn)方式和相應(yīng)的權(quán)值[9-10]為

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

將UT變換應(yīng)用到高斯濾波器上,便產(chǎn)生了UKF濾波[11]。

1.2UKF濾波的均值近似誤差分析

(12)

(13)

式中,A?B為矩陣A和B的克羅尼克積;A⊙n代表A的n次克羅尼克冪。同時(shí),f(x)對(duì)向量x的k次導(dǎo)數(shù)定義為

(14)

vec(A)定義為

(15)

式中,A是一個(gè)p×q的矩陣；ai是它的第i列。依據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開式,則UT變換誤差的表達(dá)式為

(16)

為了清晰地表達(dá)數(shù)學(xué)變量,記

(17)

則可以得到誤差的表達(dá)式為

(18)

根據(jù)對(duì)稱性,各奇階矩均為零。UT變換的誤差可以表示為

(19)

按照式(5)～式(7)傳統(tǒng)UKF濾波選取Sigma點(diǎn)的方式,UT變換能夠精確地捕獲到非線性函數(shù)的2階矩信息,即

(20)

如果狀態(tài)變量服從高斯正態(tài)分布,當(dāng)κ=3-n時(shí),UT變換不僅能夠精確捕獲系統(tǒng)的2階矩,而且還能夠捕獲系統(tǒng)大部分的4階矩信息[14]。但是,對(duì)于不同的非線性函數(shù)f(x),由于非線性度不同,可能會(huì)導(dǎo)致在進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開時(shí)一些高階矩信息對(duì)UT變換的影響會(huì)大于大部分的4階矩信息,特別是系統(tǒng)模型非線性度比較強(qiáng)時(shí)影響更加明顯。這樣,有可能一些高階矩信息對(duì)于變換后統(tǒng)計(jì)均值和方差的求取是十分有利的。而且,傳統(tǒng)上調(diào)節(jié)參數(shù)的選取只考慮到狀態(tài)變量的先驗(yàn)概率密度,并沒有考慮到量測(cè)信息及系統(tǒng)模型的影響。因此,在單次濾波之前考慮量測(cè)量的一步預(yù)測(cè)信息確定出自由調(diào)節(jié)參數(shù)κ的值是十分必要的。

2在線調(diào)整算法

一般可以適當(dāng)選取κ值去逼近量測(cè)量一步預(yù)測(cè)的先驗(yàn)概率密度,但是量測(cè)量的先驗(yàn)概率密度一般是無法精確得到的[15]。而量測(cè)的一步預(yù)測(cè)信息分布越集中，說明一步預(yù)測(cè)越是準(zhǔn)確的。因此,可以根據(jù)一步預(yù)測(cè)中量測(cè)量的各階距來保證對(duì)量測(cè)預(yù)測(cè)值的逼近。一般情況,需要保證量測(cè)信息的離散度(方差)越小即能夠表征預(yù)測(cè)信息的準(zhǔn)確性。

(21)

由于量測(cè)的一步預(yù)測(cè)概率密度無法精確獲取,這里根據(jù)量測(cè)的一步預(yù)測(cè)的二階矩信息保證逼近真實(shí)概率密度。其中K是調(diào)節(jié)參數(shù)κ的取值范圍,即

是一些固定性的可能取值且滿足誤差的協(xié)方差陣正定。濾波算法步驟具體如下:

步驟 1根據(jù)具體非線性模型,選取κ′的值；

令k=k+1,算法繼續(xù)從步驟3進(jìn)行。

這樣,整個(gè)自調(diào)整算法既保證了UT變換中系統(tǒng)捕獲均值的精確性,又保證了充分利用到量測(cè)的一步預(yù)測(cè)信息?？梢钥闯?相比傳統(tǒng)的固定參數(shù)的UKF濾波,自調(diào)整UKF中加入了步驟3。這樣,濾波的精度相比固定參數(shù)的UKF濾波將會(huì)整體得到提高,而且,系統(tǒng)模型的非線性越強(qiáng)效果越會(huì)明顯。但是,這是以犧牲計(jì)算量為前提的,而且調(diào)節(jié)參數(shù)的取值范圍越大、步長(zhǎng)step越小,那么計(jì)算量就會(huì)越大、算法的運(yùn)行時(shí)間就會(huì)越長(zhǎng)。

3算法仿真

選取強(qiáng)非線性高斯系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型,用以驗(yàn)證自調(diào)整UKF的有效性。離散方程[16]為

式中,k=1,2,…,P；ΔT=0.01,過程噪聲和量測(cè)噪聲為互不相關(guān)的零均值高斯白噪聲,其統(tǒng)計(jì)特性分別為wk～N(0,0.09),vk+1～N(0,0.5)。狀態(tài)初始真實(shí)值x0=2.3,仿真初始條件取x0|0=2.3,P0|0=0.01,總仿真步數(shù)P=100,仿真次數(shù)M=50。自調(diào)整的UKF和固定參數(shù)UKF兩種濾波器的估計(jì)性能采用定義的時(shí)間平均MSE進(jìn)行比較。

式中,xk為理論值;xk|k為濾波估計(jì)值;P為總仿真步數(shù);M為仿真次數(shù)。通過仿真,表1首先給出了幾組不同調(diào)節(jié)參數(shù)下的MSE值?？梢钥吹?當(dāng)調(diào)節(jié)參數(shù)取1的時(shí)候?qū)?yīng)有最小的MSE值。文獻(xiàn)[1]明確給出了結(jié)果,即對(duì)于一維和二維非線性系統(tǒng)UKF的濾波精度要優(yōu)于CKF(κ=0)的濾波精度。但是不難看到,κ=2對(duì)應(yīng)的MSE并不是最優(yōu)的。因此,無論是κ=0還是κ=2都難以達(dá)到最優(yōu)的濾波效果。

表1　不同κ對(duì)應(yīng)的MSE值

表2給出了調(diào)節(jié)參數(shù)的幾個(gè)典型的固定值和兩組自調(diào)整值下的MSE及各自的算法實(shí)際物理運(yùn)行時(shí)間。

表2　κ在不同條件下的MSE及算法運(yùn)行時(shí)間

不難看出,自調(diào)整UKF的MSE均小于固定參數(shù)的UKF。而且在調(diào)節(jié)參數(shù)的范圍相同時(shí),步長(zhǎng)越小,MSE就越小,濾波的精度也越高。但是,自調(diào)整UKF算法的運(yùn)行時(shí)間卻提高了。因此,自調(diào)整UKF的關(guān)鍵就是根據(jù)實(shí)際的需要適當(dāng)選取調(diào)節(jié)參數(shù)的步長(zhǎng),協(xié)調(diào)好精度與算法運(yùn)行時(shí)間的關(guān)系。

圖1　固定參數(shù)UKF和自調(diào)節(jié)UKF跟蹤效果

圖k的動(dòng)態(tài)變化

4結(jié)論

針對(duì)UKF濾波中自由調(diào)節(jié)參數(shù)的選取問題,進(jìn)行了理論分析和仿真驗(yàn)證,并在此基礎(chǔ)之上提出了基于量測(cè)信息的自調(diào)整UKF濾波方法。為滿足精度的需求,在實(shí)際應(yīng)用中κ′的選擇可以遵循以下規(guī)則:當(dāng)維數(shù)n≤3時(shí),令κ′=3-n;當(dāng)n>3時(shí),令κ′=0。而本方法的核心在于在每一次濾波之前都要先根據(jù)量測(cè)的一步預(yù)測(cè)信息確定調(diào)節(jié)參數(shù)的值,然后在最優(yōu)值下進(jìn)行狀態(tài)均值和協(xié)方差的求取。從仿真結(jié)果看,在整個(gè)濾波過程中自調(diào)整UKF濾波比傳統(tǒng)固定參數(shù)的UKF濾波跟蹤精度要高,能夠比較精確地跟蹤真實(shí)狀態(tài)。但是,在實(shí)際中不能一味增加調(diào)節(jié)參數(shù)的取值范圍、減小步長(zhǎng)(通常可以選擇step=0.5即可滿足精度的要求)。否則計(jì)算量會(huì)急劇增加、算法運(yùn)行時(shí)間時(shí)間也會(huì)明顯變長(zhǎng),但是精度的提高卻不是很明顯。因此,一定要根據(jù)具體的需要適當(dāng)選取調(diào)節(jié)參數(shù)的范圍與調(diào)節(jié)步長(zhǎng)。

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黃平(1980-)，男,講師,博士,主要研究方向?yàn)閼T性導(dǎo)航技術(shù)。

E-mail: hppmonkeyking@163.com

詹洋燕(1991-)，女,碩士研究生,主要研究方向?yàn)榉蔷€性濾波理論。

E-mail: guiruixiao@sina.com

程廣舟(1988-)，男,碩士研究生,主要研究方向?yàn)榉蔷€性濾波理論。

E-mail: guangzhoucheng123@163.com

Adaptive setting of scaling parameter of UKF based on step prediction information of measurement

HUANG Ping, ZHAN Yang-yan, CHENG Guang-zhou

(CollegeofAutomation,HarbinEngineeringUniversity,Harbin150001,China)

Abstract:For the adjustable parameter selection problem of κ in the unscented Kalman filter(UKF), through the study of the impact of the different κ for filtering, the method based on the step prediction information of the measurement, which is an online adjustment of the UKF, is presented. Based on the prediction information of measurement in every filtering time, the filtering parameter is selected, which is optimal and can realize the on-line adjustment. Numerical simulations show that the adjustment UKF based on the step prediction information of the measurement tracks the real state better than the traditional UKF.

Keywords:adaptive setting; unscented Kalman filter (UKF); nonlinear; step prediction information

收稿日期：2014-12-16；修回日期：2015-05-18；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2015-08-31。

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(61403091)；中國(guó)博士后科學(xué)基金(2014T70310)資助課題

中圖分類號(hào)：TP 391

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2016.06.27

作者簡(jiǎn)介：

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http:∥www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20150831.1932.014.html