陸正亮, 張　翔, 劉　洋, 廖文和

(南京理工大學機械工程學院, 江蘇 南京 210094)

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基于SGP4模型與多普勒頻移的改進定軌方法

陸正亮, 張翔, 劉洋, 廖文和

(南京理工大學機械工程學院, 江蘇 南京 210094)

摘要：立方體衛(wèi)星廣泛使用兩行根數(shù)(two-line element, TLE)結(jié)合SGP4模型作為定軌的唯一或是備份手段。針對SGP4模型長期預報誤差積累的問題,分析了模型的誤差來源及分布情況,提出兩種利用地面觀測站測量多普勒頻移提高定軌精度的方法。一種方法直接修正大氣阻力項系數(shù),結(jié)果表明能大幅減小速度方向上的預報誤差,將預報10天的位置精度提高到4 km以內(nèi)。另一種方法將已知的兩行根數(shù)更新為衛(wèi)星過境時刻的兩行根數(shù),然后修正緯度幅角,修正后短期預報誤差能基本消除但長期精度不如前一種方法。通過對在軌立方體衛(wèi)星的實際測量也驗證了上述的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：立方體衛(wèi)星; 兩行根數(shù); SGP4模型; 多普勒頻移

0引言

從1999年立方體衛(wèi)星的概念被提出以來,世界范圍內(nèi)的高校、研究所以及商業(yè)航天機構(gòu)都在深入挖掘立方體衛(wèi)星的應(yīng)用潛能,共同推動了立方體衛(wèi)星研制技術(shù)的跨越式發(fā)展。立方體衛(wèi)星的測定軌手段除了使用GPS接收機或應(yīng)答機以外,還大范圍使用SGP4軌道遞推模型進行定軌。目前在軌的立方體衛(wèi)星大多依賴北美防空司令部(North American Aerospace Defense Command,NORAD)發(fā)布的兩行根數(shù)結(jié)合SGP4模型進行定軌[1-5]。但是NORAD發(fā)布兩行根數(shù)的周期是不確定的,容易導致定軌誤差隨時間大量累積。為此國內(nèi)外學者研究了多種生成兩行根數(shù)的算法[6-9],但其大多以GPS精密星歷為測量數(shù)據(jù),并不適用于立方體衛(wèi)星的軌道確定。

衛(wèi)星與地面站通信時發(fā)生的多普勒頻移現(xiàn)象與衛(wèi)星軌道以及地面站的相對位置之間存在對應(yīng)關(guān)系,美國海軍導航系統(tǒng)NNSS就是基于這個原理建立的第一代衛(wèi)星導航系統(tǒng)。立方體衛(wèi)星使用的通信頻段以業(yè)余波段UHF/VHF為主,大多數(shù)高?；蜓芯繖C構(gòu)在研制立方體衛(wèi)星時都會配套建立一個業(yè)余頻段地面站,使得多普勒頻移成為研究人員對立方體衛(wèi)星自主測軌的一種低成本手段。文獻[10]基于J2模型提出利用多普勒頻移測量得到衛(wèi)星位置速度信息的方法,在衛(wèi)星過境期間得到不錯的定軌精度,但其可行性的基礎(chǔ)是在全球建立地面站網(wǎng)絡(luò)以縮短衛(wèi)星過境時間間隔,從而避免使用J2模型進行長期軌道預報。

將多普勒頻移測量與SGP4模型相結(jié)合能解決衛(wèi)星過境時刻外的軌道預報精度問題。文獻[11]對多普勒頻移測量數(shù)據(jù)擬合兩行根數(shù)的算法原理以及性能進行了研究,結(jié)果發(fā)現(xiàn)算法難以收斂至正確結(jié)果。認真分析多普勒頻移測量量與軌道根數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系可得出兩方面原因,其一是多普勒頻移與某些軌道根數(shù)之間的關(guān)系不夠緊密導致算法的收斂半徑過小;另外由于多普勒頻移測量數(shù)據(jù)的時間跨度太短而不足以去除軌道攝動中大氣阻力和重力的長期項影響,從而導致擬合得到的兩行根數(shù)的精度過低。

本文結(jié)合多普勒頻移這類測量量的本質(zhì)特性以及SGP4模型的誤差分布情況,認為多普勒頻移測量是提高SGP4模型定軌精度的一種高效而且低廉的手段。提出了兩種利用多普勒頻移測量修正兩行根數(shù)的方法,對其可行性進行了仿真分析,并利用LabView軟件平臺搭建的地面數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)進行了實際測量驗證。

1多普勒頻移

衛(wèi)星過境地面站時兩者之間的相對速度會發(fā)生改變,使得地面站接收到衛(wèi)星發(fā)送的信號頻率發(fā)生偏移,這就是所謂的多普勒頻移現(xiàn)象。理論上來說多普勒頻移與衛(wèi)星軌道根數(shù)之間是一一對應(yīng)的關(guān)系,使得多普勒頻移成為衛(wèi)星測軌或是實現(xiàn)衛(wèi)星導航的一種有效測量方式。但在實際應(yīng)用中使用該方法定軌和導航的精度并不高,現(xiàn)代衛(wèi)星基本已經(jīng)不再使用這種測量方式。而對于發(fā)展迅速的立方體衛(wèi)星來說,中等定軌精度已經(jīng)能夠滿足其需求,測量便捷成本低廉的多普勒頻移成為立方體衛(wèi)星實現(xiàn)自主測軌的方式之一[12]。

(1)

式中,C表示光速;i表示測量次數(shù);f0表示衛(wèi)星的發(fā)射頻率;fi表示地面站接收到的頻率。

使用多普勒頻移定軌,了解并建立準確的測量模型甚為關(guān)鍵。衛(wèi)星與地面站之間的距離變化率這類測量量與軌道根數(shù)的關(guān)系較為復雜,不便使用解析表達式來表達。通過分析距離變化率與軌道根數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系可以了解多普勒頻移測量的本質(zhì)特性。假設(shè)地球停止自轉(zhuǎn),距離變化率就只與軌道形狀、衛(wèi)星位置以及地面站到星下點的垂直距離相關(guān),而與決定軌道位置的傾角和升交點赤經(jīng)無直接關(guān)系。如圖1所示,當圖1中d1和h1分別與d2和h2相等時,縱使衛(wèi)星1和衛(wèi)星2有著不同的軌道傾角和升交點赤經(jīng),計算得到的距離變化率也是相同的。正是由于地球自轉(zhuǎn)才使得傾角和升交點赤經(jīng)與距離變化率關(guān)聯(lián)在一起。但由于地球自轉(zhuǎn)相對衛(wèi)星運動來說速度太慢,使得這種關(guān)聯(lián)非常不緊密,加上多普勒頻移測量誤差以及測量模型誤差的影響，必然導致使用多普勒頻移直接定軌的精度不高。

圖1　衛(wèi)星與地面站之間的相對位置

2兩行根數(shù)與SGP4模型的誤差分析

兩行根數(shù)(two-lineelement,TLE)是北美防空司令部基于一般攝動理論產(chǎn)生的用于預報地球軌道飛行器位置和速度的一組軌道根數(shù)。與利用測軌數(shù)據(jù)進行軌道確定或軌道預報獲得的瞬時軌道六根數(shù)不同,兩行根數(shù)是在真赤道、平春分點坐標系下的“平均”根數(shù),是一種利用特定的方法去除了周期攝動力影響后的軌道根數(shù),通常與SGP4、SDP4模型一起使用。SGP4模型是一種空間目標解析預報模型,當使用特定的TLE作為輸入時可較準確的對近地目標軌道進行預報,計算量較小且精度適中。SGP4模型的原理就是在TLE的基礎(chǔ)上通過重構(gòu)短、長周期項以及長期項的攝動力大小從而對軌道進行預報。使用SGP4模型預報軌道的誤差會隨著時間累積越來越大,提高軌道預報精度的前提則是分析清楚SGP4模型的誤差來源以及誤差分布情況。

預報誤差來源包括輸入的TLE誤差以及攝動力建模誤差。攝動力建模誤差是SGP4模型的固有誤差無法消除,TLE誤差則來源于用于擬合TLE的測量數(shù)據(jù)誤差以及相關(guān)擬合算法誤差。但是北美防空司令部發(fā)布兩行根數(shù)的同時并沒有公布其誤差信息,這給評估SGP4模型的預報精度帶來了一些困難。本文借助衛(wèi)星工具包(satellitetoolkit,STK)軟件的強大仿真能力來分析SGP4模型的誤差分布情況。

首先使用高精度軌道預報(high-precisionorbitalpropagator,HPOP)精確軌道遞推模型生成一條近地軌道模擬真實軌道。然后使用STK軟件自帶的GenerateTLE工具擬合出兩行根數(shù)來仿真北美防空司令部發(fā)布的TLE,擬合算法用到的測量數(shù)據(jù)是真實軌道的位置信息。最終利用擬合得到的TLE建立一條SGP4預報軌道。通過比較真實軌道和預報軌道的位置關(guān)系可以分析SGP4模型的誤差分布情況。預報誤差以位置偏差的3個分量,即速度方向偏差、垂直軌道面方向偏差以及軌道半徑方向偏差來描述。研究發(fā)現(xiàn)擬合TLE的時長是決定SGP4模型誤差的最主要因素,由于這里研究的重點是誤差分布情況,故將擬合時長設(shè)置為北美防空司令部發(fā)布TLE的平均周期1.5d。模擬的真實軌道高度為500km,得到的典型結(jié)果如圖2所示,圖2中橫坐標0天表示所發(fā)布TLE的歷元時間。

圖2　SGP4軌道預報精度

由圖2可見,SGP4模型的預報誤差主要集中在速度方向偏差上,預報5 d的速度方向偏差為-18 km,預報10 d則為-35 km。而垂直軌道面方向偏差以及軌道半徑方向預報精度較高,預報15 d的偏差范圍在±1.5 km以內(nèi)。結(jié)果與國外一些學者采用精密星歷對比法得出的結(jié)論類似[13-16]。

分析低地球軌道衛(wèi)星的軌道攝動力來源可知,大氣阻力是影響位置誤差中速度方向偏差的最主要來源。在TLE中代表大氣阻力攝動的是大氣阻力項系數(shù)B*。由此推論擬合得到的TLE中B*的誤差可能是造成速度方向偏差較大的原因?？梢酝ㄟ^簡單改變B*的大小來驗證這個推論。圖2中使用的TLE中B*的大小為0.000 152 32,當將B*更改為0.000 182 32時得到的軌道預報精度結(jié)果如圖3所示。圖3中改變B*后預報10 d的速度方向偏差由-35 km變化為10 km,驗證了上述的推論。

圖3　調(diào)整B*后的SGP4軌道預報精度

如果通過某種測量手段能修正速度方向的偏差,同時又能保持垂直軌道面方向以及軌道半徑方向的高精度,將大大提高立方體衛(wèi)星利用SGP4模型定軌的精度。

3修正TLE與仿真分析

依據(jù)上述對多普勒頻移測量特性以及SGP4模型預報軌道的誤差特性的分析,不難看出多普勒頻移是一種能高效提高SGP4模型定軌精度的方法,而且成本低廉,其唯一需要的測量工具是一臺實驗室通用儀器——頻譜分析儀。

大氣阻力項系數(shù)B*的誤差是造成速度方向偏差的主要因素,而在軌道六根數(shù)中描述速度方向偏差的則是緯度幅角誤差。現(xiàn)提出兩種利用多普勒頻移測量提高定軌精度的方法如下。

3.1修正大氣阻力系數(shù)

(2)

(3)

由于距離變化率與狀態(tài)量B*之間是非線性的關(guān)系,采用解析方法計算導數(shù)矩陣是非常困難的,可以使用有限差分的方法來計算導數(shù)矩陣，即

(4)

式中,ΔB*為小量,ΔB*大小的正確選擇是保證有限差分法計算精度的關(guān)鍵所在。設(shè)定一系列大小有序的ΔB*值來計算Ai的大小,從而得到SGP4模型對變量ΔB*的線性范圍,部分結(jié)果如圖4所示。

圖4　偏導數(shù)Ai隨小量ΔB*的變化曲線

圖4顯示當ΔB*選為10-5時導數(shù)Ai趨于線性,因此設(shè)定ΔB*為10-5。由此得到B*修正量的公式為

(5)

算法收斂的條件是殘差的均方根值小于某一閾值或是不再變化。殘差的均方根計算公式為

(6)

3.2修正緯度幅角

利用已知TLE的預報軌道信息可以直接擬合更新得到衛(wèi)星過境地面站時刻的平均軌道根數(shù),由于擬合過程不存在模型誤差的差異,更新后TLE的預報軌道與更新前TLE的預報軌道是完全一致的,但衛(wèi)星過境時刻的軌道預報誤差來源卻發(fā)生了變化。更新前的軌道預報誤差主要是由于大氣長期攝動作用的結(jié)果,所以TLE的誤差來源主要是大氣阻力項系數(shù)誤差;而更新后TLE的歷元時間為衛(wèi)星過境時刻,基本消除了大氣攝動對軌道預報誤差的影響,TLE的誤差來源主要是是緯度幅角誤差。利用多普勒頻移測量修正緯度幅角即可提高軌道預報精度。更新后的TLE為

(7)

緯度幅角是近地點幅角與真近點角相加得到

(8)

TLE中表征緯度幅角的變量是ωo和Mo,同樣利用最小二乘估計算法對這兩個參數(shù)進行修正,此時狀態(tài)向量為

(9)

其余計算過程與第3.1節(jié)類似。

3.3仿真分析

Shakespeare wrote comedies（喜?。﹚ith happy endings（美滿的結(jié)局），like A Midsummer Night’s Dream（《仲夏夜之夢》）.He wrote tragedies（悲?。﹚ith sad endings，like Romeo and Juliet（《羅密歐與朱麗葉》）.He wrote about 38 plays，maybe more.

利用Matlab軟件結(jié)合STK對上述兩種修正方法進行仿真驗證。仿真使用的真實軌道為第3小節(jié)使用的標稱軌道,仿真時間選為兩行根數(shù)歷元時刻5d后的某次過境時刻,由圖2可見速度方向偏差大約在20km。初始的TLE與擬合更新后的TLE分別標記為TLE0和TLE1,具體形式如表1所示。

表1　仿真使用的兩行根數(shù)

仿真的實際距離變化率測量值由真實軌道計算并加上測量白噪聲得到,而估計測量值由SGP4預報軌道計算而來。為獲得較高的擬合精度,仿真參數(shù)參考真實多普勒頻移測量系統(tǒng)的測量性能,即仿真步長設(shè)置為2 s,仿真時間為7.5 min。實際測量值與估計測量值曲線如圖5所示。首先使用實際測量值與仿真測量值的殘差來修正大氣阻力項系數(shù)B*,算法迭代4次后收斂到0.000 177 75。修正后的TLE的預報軌道誤差如圖6所示。然后仿真分析修正緯度幅角的方法。修正后ωo和Mo分別為179.115°和311.755°,修正后的TLE的預報軌道誤差如圖7所示。

圖5　實際測量值與估計測量值(仿真)

圖6　修正B*后的SGP4軌道預報精度(仿真)

由圖6可見,修正B*參數(shù)后衛(wèi)星過境時刻的軌道預報精度由20 km提高到2 km左右,預報至第10 d的精度也達到4 km。圖7中修正緯度幅角后衛(wèi)星過境時刻的精度也提升至2 km,但預報10 d(從修正前兩行根數(shù)歷元時刻起計算)的精度仍然在25 km左右。由此可見利用多普勒頻移測量數(shù)據(jù)修正兩行根數(shù)的方法能及時修正SGP4模型隨時間累積較大的速度方向誤差分量,能大大提高SGP4預報軌道的精度;兩種修正方法在短期內(nèi)對于精度的提高相差不大,但對于長期精度來說修正B*的方法明顯優(yōu)于修正緯度幅角的方法。

圖7　修正緯度幅角后的SGP4軌道預報精度(仿真)

4實際多普勒頻移數(shù)據(jù)的測量

4.1自動數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)

使用UHF/VHF頻段地面站與頻譜分析儀來測量在軌微小衛(wèi)星的多普勒頻移現(xiàn)象,系統(tǒng)硬件架構(gòu)如圖8所示。圖8中GPS接收機用于給工控計算機授時以保證時間系統(tǒng)的統(tǒng)一,頻譜儀通過LAN口與工控計算機進行通信,實現(xiàn)遠程控制與自動數(shù)據(jù)采集。上位機采用LabView軟件對頻譜儀捕獲的衛(wèi)星信號進行分析存儲。

由于大部分衛(wèi)星信號在時間上不是連續(xù)發(fā)送的,導致采集到的數(shù)據(jù)會有大量背景噪聲存在,自動數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)程序中通過以下3種途徑有效去除背景噪聲數(shù)據(jù),設(shè)定的采樣周期為1 s。

(1) 提前采集背景噪聲信號強度的最大值,并加上2 dBm余量,測量時以此為閾值剔除任何小于此閾值的信號;

(3) 采用曲線擬合的方法剔除剩余少量噪聲信號。

圖8　多普勒頻移測量系統(tǒng)硬件架構(gòu)

自動數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)工作過程如下:

(1) 在衛(wèi)星過境前10分鐘內(nèi)錄制帶寬為10 kHz(能完全覆蓋衛(wèi)星過境時間內(nèi)的中心頻率漂移)大小的背景噪聲信號,并得出噪聲信號強度的最大值;

(2) 當?shù)孛嬲局赶蛐l(wèi)星仰角大于5°時,開始實時跟蹤衛(wèi)星信號,當信號強度大于噪聲信號最大值+2 dBm時,則認為此信號有效并記錄下來;

(3) 在得到足夠數(shù)據(jù)點后快速利用最小二乘擬合算法計算出B*的大小并及時以上行指令的方式上行至衛(wèi)星。

上位機編寫的程序界面如圖9所示。

圖9　多普勒頻移自動數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)界面

4.2發(fā)射頻率常值漂移的補償

(10)

(11)

(12)

這樣得到實際發(fā)射頻率的估計值為

(13)

4.3對QB50 P1衛(wèi)星實測數(shù)據(jù)的分析

QB50P1立方體衛(wèi)星是2014年6月發(fā)射入軌的QB50項目先導星。本文對其多普勒頻移信號連續(xù)觀測了數(shù)周,由于缺乏所觀測衛(wèi)星的實時在軌位置信息,無法對所提出的改進定軌方法的誤差大小進行直觀比較,故在下文中使用多普勒頻移測量值這一間接量對定軌精度進行間接分析,如修正后的兩行根數(shù)相對原始兩行根數(shù)預報的多普勒頻移計算值更接近真實多普勒頻移測量值,則認為修正后的兩行根數(shù)提高了軌道預報精度?，F(xiàn)將一組典型的測量與分析的結(jié)果展示如下。

2015年1月24日發(fā)布的TLE標記為TLE0,1月29日觀測到的多普勒頻移測量數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為距離變化率后如圖10所示,圖10中顯示采用自動數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)測量得到的多普勒頻移曲線較為平滑。利用觀測到的多普勒頻移測量值分別應(yīng)用修正B*的方法與修正緯度幅角的方法對兩行根數(shù)進行更新,更新后的兩行根數(shù)分別標記為TLE1與TLE2,表2所示為3組TLE的具體數(shù)值。由于NORAD發(fā)布TLE的周期為1～3d,為對修正后兩行根數(shù)的短期和長期預報精度進行評估,分別選取了1月30日和2月2日的觀測數(shù)據(jù)進行分析。圖11和圖12所示的分別為1月30日與2月2日的觀測數(shù)據(jù),圖中黑色圓點為測量到的實際距離變化率,紅色曲線為原始兩行根數(shù)TLE0計算出的估計距離變化率,紫色和綠色曲線分別為B*和緯度幅角修正后的TLE1和TLE2計算出的估計距離變化率。

表2　實際測量使用的兩行根數(shù)

圖10　多普勒頻移1月29日測量數(shù)據(jù)

圖11　多普勒頻移1月30日測量數(shù)據(jù)

觀察圖11可知,更新后的TLE1和TLE2都比TLE0更接近實際多普勒頻移測量值,表明兩種修正TLE的方法都能使SGP4模型短期軌道預報精度得到大幅提升;圖12顯示TLE2在估計2月2日的多普勒頻移曲線時明顯沒有TLE1精確,表明修正緯度幅角的方法用于長期軌道預報會帶來較大誤差。

圖12　多普勒頻移2月2日測量數(shù)據(jù)

5結(jié) 論

本文通過對多普勒頻移這類測量量本質(zhì)屬性的探索以及對SGP4模型預報誤差分布的分析,總結(jié)出多普勒頻移測量是一種能高效提高SGP4模型預報精度的方式。結(jié)合兩行根數(shù)的誤差來源提出了修正B*以及修正緯度幅角兩種方法。通過仿真以及對實際觀測數(shù)據(jù)的分析驗證了這兩種方法的可行性。在精度方面,兩種方法在短期預報時都能快速提高SGP4模型預報精度,但在長期預報時修正B*的方法明顯優(yōu)于修正緯度幅角的方法。

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陸正亮(1990-),男,博士研究生,主要研究方向為微小衛(wèi)星軌道姿態(tài)測量與控制。

E-mail:112010115@njust.edu.cn

張翔(1973-),男,副教授,博士,主要研究方向為微小衛(wèi)星總體技術(shù)。

E-mail:zhxiang2002@126.com

劉洋(1991-),男,碩士研究生,主要研究方向為微小衛(wèi)星姿態(tài)傳感器設(shè)計、測試與標定。

E-mail:513101001254@njust.edu.cn

廖文和(1965-),男,教授,博士,主要研究方向為微小衛(wèi)星總體應(yīng)用技術(shù)。

E-mail:cnwho@mail.njust.edu.cn

Improved orbit determination based on SGP4 model and Doppler shifts

LU Zheng-liang, ZHANG Xiang, LIU Yang, LIAO Wen-he

(SchoolofMechanicalEngineering,NanjingUniversityofScienceandTechnology,Nanjing210094,China)

Abstract:CubeSats always choose two-line element (TLE) in conjunction with the SGP4 model to determine the orbit, or as a backup method. To settle the problem that the propagation error accumulates over time, the source and distribution of the errors are analyzed and two improved approaches are proposed by using Doppler shifts. One is to directly correct the drag coefficient and results show a significantly decrease in in-track orientation error. The position difference is improved to 4 km in 10 days. The other approach is to update the TLE epoch time to the pass time firstly, and then correct the argument of the latitude. Simulation results indicate that the position error can be almost removed in a short time but the long time performance is worse than the first method. The conclusion is also verified by actual measurements from the in-orbit CubeSats.

Keywords:CubeSat; two-line element; SGP4 model; Doppler shift

收稿日期：2015-03-03；修回日期：2015-10-23；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2016-01-12。

基金項目：歐盟第七科研框架計劃QB50項目(284427)；教育部科技發(fā)展中心博士點基金(20133219120030)；江蘇省高校優(yōu)勢學科建設(shè)項目資助課題

中圖分類號：V 448.232

文獻標志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2016.06.22

作者簡介：

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160112.1741.012.html