田新鵬,李金強(qiáng),郭章新,韓志軍

(太原理工大學(xué) 力學(xué)學(xué)院,太原 030024)

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復(fù)合材料層合板在不同溫度場(chǎng)中的熱屈曲行為

田新鵬,李金強(qiáng),郭章新,韓志軍

(太原理工大學(xué) 力學(xué)學(xué)院,太原 030024)

摘要:基于經(jīng)典馮·卡門(Von Karman)平板理論,運(yùn)用哈密頓(Hamilton)原理,分別對(duì)復(fù)合材料層合板在均勻溫度場(chǎng)下和非均勻溫度場(chǎng)下的熱屈曲行為進(jìn)行研究,并探討層合板的邊界條件對(duì)臨界屈曲溫度的影響。利用ANSYS軟件模擬獲得了與MATLAB軟件相一致的數(shù)值結(jié)果,驗(yàn)證了本文理論和程序的可靠性。結(jié)果表明，均勻溫度場(chǎng)下,層合板的臨界屈曲溫度與其邊界條件和鋪層角度密切相關(guān);非均勻溫度場(chǎng)下,層合板的臨界屈曲溫度受溫度分布、振動(dòng)模式和邊界條件的影響。

關(guān)鍵詞:層合板;熱屈曲;邊界條件;鋪設(shè)角度;溫度分布

復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)由于其比強(qiáng)度高、比模量高及可設(shè)計(jì)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn),近年來已經(jīng)在航空航天、機(jī)械工業(yè)、建筑工程、石油化工、汽車工業(yè)等方面得到了廣泛的應(yīng)用。復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)在工程結(jié)構(gòu)中的使用比例經(jīng)常被用來衡量一個(gè)工程結(jié)構(gòu)的先進(jìn)性。由于復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)在工程應(yīng)用中往往承受著復(fù)雜的熱載荷作用,所以對(duì)其在不同溫度場(chǎng)中的熱屈曲行為進(jìn)行研究是十分必要的。復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)以板結(jié)構(gòu)的應(yīng)用最為普遍,所以本文以復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)為模型,通過MATLAB計(jì)算其在均勻溫場(chǎng)下及非均勻溫度場(chǎng)下的臨界屈曲溫度值并運(yùn)用ANSYS進(jìn)行驗(yàn)證,從而得出一些規(guī)律性的結(jié)論。

黃懷緯等[1]采用能量法研究了不同溫度梯度下功能梯度材料圓柱殼的熱屈曲行為,討論了兩種溫度梯度形式以及物性溫度相關(guān)性對(duì)臨界屈曲溫度的影響。TAUCHERT[2]基于經(jīng)典的Kirchhoff假設(shè),采用瑞利-里茲法研究了對(duì)稱角鋪設(shè)層合板在均勻溫場(chǎng)下的熱屈曲問題,同時(shí)求得了臨界屈曲溫度。沈惠申等[3]依據(jù)Reissner-Mindlin板理論,考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和橫向剪切變形的影響,分析了中厚板在均勻和非均勻溫度場(chǎng)作用下以及單向壓縮和均勻溫度場(chǎng)共同作用下的后屈曲問題。夏賢坤等[4]基于Reddy高階剪切變形理論及廣義Karman型方程,對(duì)功能梯度材料剪切板熱屈曲后的非線性振動(dòng)進(jìn)行了分析,分析中考慮了材料熱物參數(shù)對(duì)溫度變化的依賴性。MATSUNAGA[5]對(duì)溫度場(chǎng)下的角鋪設(shè)復(fù)合材料層合板和夾層板的自由振動(dòng)問題以及穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。袁武等[6]針對(duì)均勻溫度場(chǎng)下四邊簡(jiǎn)支和四邊固支金屬點(diǎn)陣夾層板的臨界屈曲溫度進(jìn)行了求解,分析了不同邊界條件、點(diǎn)陣胞元構(gòu)型、點(diǎn)陣材料相對(duì)密度、面板厚度等對(duì)臨界屈曲溫度的影響規(guī)律。

基于經(jīng)典馮·卡門(Von Karman)平板理論,運(yùn)用哈密頓(Hamilton)原理推導(dǎo)出層合板的運(yùn)動(dòng)方程,進(jìn)而得出臨界熱屈曲溫度的求解公式；利用MATLAB計(jì)算層合板在均勻溫度場(chǎng)及非均勻溫度場(chǎng)下的臨界屈曲溫度,研究分析邊界條件、鋪層角度、溫度分布等對(duì)層合板的臨界熱屈曲溫度產(chǎn)生的影響,并通過ANSYS對(duì)上述結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。

1推導(dǎo)復(fù)合材料層合板的臨界熱屈曲溫度公式

取8層對(duì)稱分布的復(fù)合材料層合薄板,其長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,h。通過Von Karman平板理論[7] 36可以得出平板內(nèi)任意一個(gè)點(diǎn)(x,y,z)的非線性應(yīng)變—位移關(guān)系:

(1)

式中:εm,εθ和κ分別表示線性膜應(yīng)變向量、非線性膜應(yīng)變向量和變形后的曲率向量。這些分量用振動(dòng)位移表示為:

(2)

式中:u,v和w是坐標(biāo)系中的位移分量,是滿足任意運(yùn)動(dòng)邊界條件的多項(xiàng)式。通過對(duì)截面上應(yīng)力及力矩沿厚度積分可得溫度場(chǎng)作用下板中合力向量N和合力矩向量M:

(3)

式中:fΔt{NΔt}和fΔt{MΔt}分別為由溫度引起的板的相對(duì)熱膜力向量函數(shù)和熱彎矩向量函數(shù);溫度函數(shù)fΔt為:

(4)

式中:Δt是溫差的幅值,f(x,y)是溫度分布函數(shù)。熱膨脹系數(shù)向量NΔt和MΔt表示為:

(5)

(6)

公式(3)中:A,B,D分別是拉伸剛度矩陣、拉伸-彎曲耦合矩陣和彎曲剛度矩陣,分別表示為:

(7)

(8)

式中:R(k)和Q(k)分別表示為:

(9)

(10)

(11)

(12)

式中:S和ρ分別表示層合板的表面積和密度。由Hamilton原理[7] 37:

(13)

得層合板的運(yùn)動(dòng)方程為:

(14)

式中:M,KL和KT分別表示質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和溫度剛度矩陣；X為位移向量。求解式(14)可得層合板振動(dòng)的固有頻率。溫差增大時(shí)振動(dòng)頻率減小,當(dāng)頻率減小為0時(shí),層合板發(fā)生屈曲。對(duì)于一個(gè)確定的溫度分布函數(shù)f(x,y,z),可通過求解式(15)[6] 3來得出臨界屈曲溫度

(15)

臨界屈曲溫度Δtcr可以表示為:

(16)

式中:Δt0為初始值;λ為溫度系數(shù)。

2均勻溫度場(chǎng)下復(fù)合材料層合板的熱屈曲問題

2.1不同邊界條件下層合板的臨界屈曲溫度

各向異性復(fù)合材料層合板的各項(xiàng)參數(shù)為:縱向彈性模量EL=155 GPa,橫向彈性模量ET=8.07 GPa,剪切彈性模量GLT=4.55 GPa,泊松比νLT=0.22,密度ρ=1 600 kg/m3,縱向熱脹系數(shù)αL=0.07×10-6(℃)-1,橫向熱脹系數(shù)αT=30.1×10-6(℃)-1,幾何尺寸a=b=100h,鋪設(shè)角度為[0/0/0/0]s其中，[a/a/a/a]s表示對(duì)稱鋪設(shè),a分別代表各邊的鋪設(shè)角度。

通過MATLAB計(jì)算,當(dāng)層合板的邊界條件為四邊固支(CCCC,C代表固支)時(shí),其臨界屈曲溫度為71.2 ℃;當(dāng)邊界條件為四邊簡(jiǎn)支(SSSS,S代表簡(jiǎn)支)時(shí),臨界屈曲溫度為29.4 ℃。運(yùn)用ANSYS對(duì)四邊固支和四邊簡(jiǎn)支條件下的層合板進(jìn)行模擬,得其臨界屈曲溫度分別為70.6 ℃和29.8 ℃,模擬結(jié)果與MATLAB的計(jì)算結(jié)果吻合良好。

圖1給出了四邊固支和四邊簡(jiǎn)支邊界條件下的溫度(t)-頻率(f)曲線。由圖中可知這兩種邊界條件下層合板的頻率值都隨著溫度的升高遞減。另外,圖1-a的一階頻率臨近屈曲時(shí)減小速率明顯地增大直至為零;而圖1-b的二階頻率隨著溫度的升高減小為零,其一階頻率在屈曲前變化很小。其次,不同邊界條件下,層合板的臨界屈曲溫度也發(fā)生了明顯的變化,對(duì)于四邊固支的層合板當(dāng)溫度達(dá)到70.6 ℃時(shí)一階固有頻率值減小為零,層合板發(fā)生熱屈曲;而對(duì)于四邊簡(jiǎn)支的層合板當(dāng)溫度達(dá)到29.8 ℃時(shí)二階固有頻率值減小為零,層合板發(fā)生熱屈曲。

表1中列出了不同邊界條件下層合板的臨界屈曲溫度。由表中可以發(fā)現(xiàn),由MATLAB和ANSYS這兩種方法獲得的數(shù)值結(jié)果相吻合。隨著邊界條件的改變,復(fù)合材料層合板的臨界屈曲溫度值變化明顯。當(dāng)邊界條件為CCCC時(shí)板的臨界屈曲溫度最高,而邊界條件為CFFF(F代表自由邊)時(shí)板的臨界屈曲溫度最低;固支的邊數(shù)越多,板的臨界屈曲溫度越高;若固支的邊數(shù)相同,則固支邊對(duì)稱設(shè)置時(shí)層合板的臨界屈曲溫度較高。

圖1　不同邊界條件下平板的溫度(t)-頻率(f)曲線圖Fig.1　Curves of temperature (t)-frequency (f) under different boundary conditions

表1　不同邊界條件下層合板的臨界屈曲溫度

2.2不同鋪設(shè)角度下層合板的臨界屈曲溫度

在研究不同鋪設(shè)角度對(duì)層合板的臨界屈曲溫度的影響時(shí),為了避免邊界條件的干擾,統(tǒng)一設(shè)置邊界條件為四邊固支(CCCC)。

當(dāng)層合板的鋪設(shè)角度為[0/30/0/30]s時(shí),通過MATLAB計(jì)算可得其臨界屈曲溫度為92.5 ℃;當(dāng)鋪設(shè)角度為[30/30/30/30]s時(shí),臨界屈曲溫度為65.0 ℃。運(yùn)用ANSYS對(duì)這兩種鋪設(shè)角度下的層合板進(jìn)行模擬可得其臨界屈曲溫度分別為90.4 ℃和66.5 ℃,與MATLAB的計(jì)算結(jié)果吻合良好。說明,改變鋪設(shè)角度會(huì)對(duì)層合板的臨界屈曲溫度產(chǎn)生明顯的影響。

表2列出了不同鋪設(shè)角度下層合板的臨界屈曲溫度?？梢园l(fā)現(xiàn),[a/a/a/a]s(a>0)鋪設(shè)角度的層合板相對(duì)于[0/0/0/0]s鋪設(shè)角度層合板的臨界屈曲溫度較低,且a取某一數(shù)值時(shí)層合板的臨界屈曲溫度可達(dá)到最低值;而[0/a/0/a]s(a>0)鋪設(shè)角度的層合板相對(duì)于[0/0/0/0]s鋪設(shè)角度層合板的臨界屈曲溫度較高,且a取某一數(shù)值時(shí)層合板的臨界屈曲溫度可達(dá)最高值。

表2　不同鋪設(shè)角度下層合板的臨界屈曲溫度

3非均勻溫度場(chǎng)下復(fù)合材料層合板的熱屈曲問題

3.1不同溫度分布非均勻溫度場(chǎng)對(duì)層合板熱屈曲的影響

在研究非均勻溫度場(chǎng)對(duì)復(fù)合材料層合板臨界屈曲溫度的影響時(shí),確保整個(gè)層合板吸收的總熱量一定,通過改變溫度分布得到不同的臨界屈曲溫度。為了排除纖維方向?qū)Y(jié)果的干擾,取各向同性的復(fù)合材料層合板,其各向參數(shù)為:彈性模量EL=200GPa,泊松比νLT=0.27,密度ρ=1 600kg/m3,熱脹系數(shù)α=2×10-6(℃)-1,幾何尺寸a=b=100 h,層合板的邊界條件為四邊固支(CCCC)。

圖2給出了不同熱源下層合板的溫度分布圖,不同熱源對(duì)應(yīng)的溫度場(chǎng)函數(shù)分別為

a(熱源位于左邊界):f(x,y)=tmax×(1-x);

b(熱源位于中心線):f(x,y)=tmax×(1-2×|0.5-x|);

a-Left boundry line heat source;b-Center line heat source;c-Center point heat source;d-Vertex point heat source圖2　不同熱源下層合板的溫度分布圖Fig.2　Temperature distributions under different heat sources

通過MATLAB計(jì)算可得:當(dāng)熱源在板的左邊界時(shí),其臨界屈曲溫度為330.8 ℃,當(dāng)熱源在板的中心線上時(shí)臨界屈曲溫度為288.3 ℃;當(dāng)熱源在板的中心點(diǎn)時(shí),其臨界屈曲溫度為251.3 ℃,當(dāng)熱源在板的其中一個(gè)頂角時(shí)臨界屈曲溫度為346.5 ℃。運(yùn)用ANSYS對(duì)這集中不同溫度分布下的層合板進(jìn)行模擬,可得其臨界屈曲溫度分別為321.6,281.3,247.2,343.8 ℃。說明，即使整塊板所吸收的總熱量一定,但由于溫度分布不同,板的臨界屈曲溫度也會(huì)明顯不同,且熱源越接近板的中心位置其臨界屈曲溫度越低。

圖3給出了不同熱源對(duì)應(yīng)的溫度(t)-頻率(f)曲線?？梢园l(fā)現(xiàn),圖中各階頻率曲線變化趨勢(shì)非常相似,其中第2階和第3階頻率曲線非常接近但仍有分叉,這是因?yàn)椴煌臏囟葓?chǎng)起到了各向異性的作用。其次,熱源靠近層合板的中心位置時(shí)(如圖3-c),板的臨界屈曲溫度最低(247.2 ℃),這是由于模態(tài)中心對(duì)溫度更敏感,而層合板的一階模態(tài)中心就在板的中心。

3.2不同邊界條件非均勻溫度場(chǎng)對(duì)層合板熱屈曲的影響

在層合板的左邊界施加線熱源形式的溫度場(chǎng),通過改變邊界條件來分析臨界屈曲溫度的變化情況,其中溫度場(chǎng)函數(shù)為:

圖4給出不同邊界條件下層合板的溫度分布圖。其中,在設(shè)置邊界條件時(shí),保持層合板上下兩條邊的邊界條件相同,變換左右兩邊的邊界條件。

圖3　不同熱源下層合板的溫度(t)-頻率(f)曲線分布圖Fig.3　Curves of temperature (t)-frequency (f) under different heat sources

a-CFSF;b-SFCF;c-FSCS;d-CSFS;e-FCSC;f-SCFC圖4不同邊界條件下層合板的溫度分布圖Fig.4　Temperature distributions under different boundary conditions

表3中列出了不同邊界條件下層合板的臨界屈曲溫度?？梢园l(fā)現(xiàn),MATLAB計(jì)算結(jié)果和ANSYS模擬分析得到的數(shù)值是相吻合的,隨著邊界條件的改變,板的臨界屈曲溫度發(fā)生了明顯的變化。由于(a)CFSF和(b)SFCF,(c)FSCS和(d)CSFS,(e)FCSC和(f)SCFC本質(zhì)上分別屬于相同的邊界條件,當(dāng)改熱源實(shí)施對(duì)應(yīng)的邊的邊界條件時(shí),相當(dāng)于改變了熱源的位置,而溫度場(chǎng)的函數(shù)沒有變化,說明非均勻溫度場(chǎng)下不同的溫度分布也可以改變板的臨界屈曲溫度;此外,若層合板具有相同的上下邊界條件時(shí)(如圖4中a和b,c和d,e和f),當(dāng)熱源加載在左右兩條邊界條件中約束力更強(qiáng)(C>S>F)的那條邊界上時(shí),層合板的臨界屈曲溫度更大。

表3　不同邊界條件下層合板的臨界屈曲溫度

4結(jié)論

1) 均勻溫度場(chǎng)下,層合板的臨界屈曲溫度與其邊界條件密切相關(guān),層合板的固支邊數(shù)越多,板的臨界屈曲溫度越高;若固支的邊數(shù)相同,則固支邊對(duì)稱布置時(shí)板的臨界屈曲溫度較高。此外,[a/a/a/a]s(a≠0)鋪設(shè)角度的層合板相對(duì)于[0/0/0/0]s鋪設(shè)角度的層合板臨界屈曲溫度較低;而[0/a/0/a]s(a≠0)鋪設(shè)角度的層合板相對(duì)于[0/0/0/0]s鋪設(shè)角度的層合板臨界屈曲溫度較高。

2) 非均勻溫度場(chǎng)下,層合板的臨界屈曲溫度同時(shí)受熱源位置與振動(dòng)模式的影響,如當(dāng)熱源靠近層合板的中心位置時(shí),由于層合板中心的一階模態(tài)中心對(duì)溫度更敏感,因此板的臨界屈曲溫度較低;另外層合板的邊界條件也會(huì)對(duì)臨界屈曲溫度產(chǎn)生影響。

參考文獻(xiàn)：

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[3]沈惠申,朱湘賡.中厚板熱后屈曲分析[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),1995,16(5):443-450.

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(編輯：李文娟)

The Thermal Buckling Behavior of Composite Laminated Panels under Uniform and Non-uniform Temperature Distribution

TIAN Xinpeng,LI Jinqiang,GUO Zhangxin,HAN Zhijun

(CollegeofMechanics,TaiyuanUniversityofTechnology,Taiyuan030024,China)

Abstract:On the basis of the classical Von Karman lamination theory in conjunction with the Hamilton’s principle, the thermal buckling behaviors under uniform and non-uniform temperature distributions were studied. Numerical results obtained by ANSYS were consistent with those by MATLAB software.It was found that the critical thermal buckling temperature of the laminated panels is associated with boundary conditions and laying angles under uniform temperature distribution,while the critical thermal buckling temperature of the laminated panels subjected to non-uniform temperature distribution is affected by temperature distributions, vibration modes and boundary conditions.

Key words:laminated panels;thermal buckling;boundary conditions;laying angles;temperature distribution

文章編號(hào):1007-9432(2016)02-0264-06

*收稿日期：2015-04-30

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目:熱致型纖維增強(qiáng)形狀記憶聚合物復(fù)合材料的沖擊損傷破壞(11502159);山西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目: 非均勻溫度場(chǎng)中纖維增強(qiáng)復(fù)合板殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性分析及其優(yōu)化設(shè)計(jì)(2015021014);太原理工大學(xué)教改項(xiàng)目:面向創(chuàng)新性人才培養(yǎng)的文獻(xiàn)檢索與利用課程改革的研究 (800302040287)

作者簡(jiǎn)介：田新鵬(1990-),男,山西晉城人,碩士生,主要從事非均勻溫度場(chǎng)中復(fù)合結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的研究,(E-mail)tianxinpeng521xy@163.com通訊作者：韓志軍,教授,主要從事沖擊動(dòng)力學(xué)與彈塑性行動(dòng)力學(xué)研究,(E-mail)hanzj12@126.com

中圖分類號(hào):O242.21;O343.6

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

DOI：10.16355/j.cnki.issn1007-9432tyut.2016.02.027