王玉環(huán)，胡小莉，李軍

(中國(guó)傳媒大學(xué)，北京 100024)

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單調(diào)測(cè)度空間上可測(cè)函數(shù)序列的收斂性定理

王玉環(huán)，胡小莉，李軍

(中國(guó)傳媒大學(xué)，北京 100024)

摘要：本文給出了單調(diào)測(cè)度空間上可測(cè)函數(shù)序列的幾個(gè)收斂性定理。經(jīng)典測(cè)度論中相應(yīng)的一些結(jié)果得到進(jìn)一步推廣。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)握{(diào)測(cè)度；幾乎處處收斂；依測(cè)度收斂

1引言

在經(jīng)典測(cè)度(即可加測(cè)度)理論中，Egoroff定理、Lebesgue定理和Riesz定理等幾個(gè)著名定理刻畫(huà)了可測(cè)函數(shù)序列的幾種收斂性之間的關(guān)系。在非可加測(cè)度理論中，由于失去了在經(jīng)典測(cè)度論中這些定理賴(lài)于生存的σ-可加性，因此可加測(cè)度理論中的許多重要結(jié)論在非可加測(cè)度情形中已失效。測(cè)度論中的許多重要定理對(duì)于僅有單調(diào)性的非負(fù)集函數(shù)不再成立。另一方面，測(cè)度的σ-可加性對(duì)于這些經(jīng)典定理僅僅是充分的而不是必要的。 因此，要使測(cè)度論中的許多重要定理在非可加測(cè)度理論中仍然成立，那么必須在集函數(shù)滿(mǎn)足單調(diào)性的基礎(chǔ)上附加較σ-可加性更弱的一些結(jié)構(gòu)。在文獻(xiàn)[1，2，3，6]中，關(guān)于可加測(cè)度的Egoroff定理、Lebesgue定理和Riesz定理被有效地推廣到了非可加測(cè)度空間上(更詳細(xì)的綜述見(jiàn)文獻(xiàn)[4])。

本文中我們進(jìn)一步討論單調(diào)測(cè)度空間上可測(cè)函數(shù)序列的收斂性。經(jīng)典測(cè)度論中與上述重要定理相關(guān)的一些結(jié)果([7])被推廣到了單調(diào)測(cè)度空間。 在單調(diào)測(cè)度空間中附加集函數(shù)的不同的連續(xù)性，可得到可測(cè)函數(shù)序列幾乎處處收斂或者幾乎一致收斂的充分必要條件。我們還將呈現(xiàn)一種強(qiáng)形式的Lebesgue定理。

2預(yù)備知識(shí)

(1)μ(φ)=0；

3單調(diào)測(cè)度空間上的Egoroff類(lèi)型的定理

在文獻(xiàn)[1]中，呈現(xiàn)了單調(diào)測(cè)度空間上的Egoroff定理，我們陳述如下：

證明 由于

定理證畢。

從而存在指標(biāo)n1

則有

對(duì)于x∈E，選取k0，使得x∈Ek0，且有

有

以及

又由于

所以

因此，對(duì)于任意的k∈N，均有

也有

即有

定理證畢。

4單調(diào)測(cè)度空間上的Lebesgue類(lèi)型的定理

下面的定理進(jìn)一步刻畫(huà)了單調(diào)測(cè)度空間上可測(cè)函數(shù)序列的幾乎處處收斂和依測(cè)度收斂的關(guān)系。

因?yàn)閷?duì)于任意的n∈N，有

由于δ的任意性，可得

由μ是σ-弱零可加的，則

所以

這說(shuō)明對(duì)于任給的ε>0，有

定理證畢。

5可測(cè)函數(shù)的幾乎一致收斂和幾乎一致有界

故

由于ε具有任意性，所以

由極限的定義可知：對(duì)任給的ε>0，存在j0∈N，使得

因?yàn)閷?duì)于任意的m∈N，有

由于ε的任意性，可得

即

所以

定理證畢。

即

即

定理證畢。

下面的定理刻畫(huà)了單調(diào)測(cè)度空間上可測(cè)函數(shù)列的幾乎一致有界性。

證明 由題意知

即

又由于

則由

可得

最后我們給出單調(diào)測(cè)度空間上可測(cè)函數(shù)列幾乎處處收斂的一個(gè)充要條件。

命題得證.

且μ是下連續(xù)的，所以

因?yàn)閷?duì)于x?E，所以對(duì)于每個(gè)n∈N，存在Kx，使得

定理證畢。

參考文獻(xiàn)

[1]LiJ.AfurtherinvestigationforEgoroff’stheoremwithrespecttomonotonesetfunctions[J].Kybernetika，2003，39：753-760.

[2]LiJ.Ordercontinuousofmonotonesetfunctionandconvergenceofmeasurablefunctionssequence[J].AppliedMathematicsandComputation，2003，135：211-218.

[3]LiJ，MesiarR.Lusin，theoremonmonotonemeasurespaces[J].FuzzySetsandSystems，2011，175：75-86.

[4]LiJMesiarR，PapE，KlementEP.Convergencetheoremsformonotonemeasures[J].FuzzySetsandSystems，2015，281：103-127.

[5]WangZ，KlirGJ.GeneralizedMeasureTheory[M].Springer，2009.

[6]LiJ，YasudaM.OnEgoroff’stheoremsonfinitemonotonenon-additivemeasurespaces[J].FuzzySetsandSystems，2005，153：71-78.

[7]周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)論[M].北京：北京大學(xué)出版社，2008.

(責(zé)任編輯：馬玉鳳)

Convergence Theorems for Sequence of Measurable Functions on Monotone Measure Spaces

WANG Yu-huan，HU Xiao-li，LI Jun

(Communication University of China，Beijing 100024)

Abstract：In this paper，several kinds of convergence theorems for sequence of measurable functions on monotone measure spaces are shown.Some results in classical measure theory are further generalized.

Keywords：monotone measure；almost everywhere convergence；convergence in measure

收稿日期：2016-02-26

作者簡(jiǎn)介：王玉環(huán)(1990-)，女(漢族)，山西臨汾人，中國(guó)傳媒大學(xué)碩士研究生.Email：wangyuhuan@cuc.edu.cn

中圖分類(lèi)號(hào)：O159

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-4793(2016)02-0057-09