楊茂，王然

(中國傳媒大學(xué) 理工學(xué)部，北京100024)

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有限元計(jì)算中主從結(jié)點(diǎn)匹配法解決動(dòng)區(qū)域問題

楊茂，王然

(中國傳媒大學(xué) 理工學(xué)部，北京100024)

摘要：在采用有限元法對(duì)整個(gè)電磁推進(jìn)系統(tǒng)進(jìn)行電場(chǎng)、磁場(chǎng)分析中，本文為解決瞬態(tài)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電樞與導(dǎo)軌交界面動(dòng)區(qū)域問題，提出采用了單元結(jié)點(diǎn)匹配的方法。為了使該方法在解決動(dòng)區(qū)域問題方面有更廣的實(shí)用性，把麥克斯韋方程組簡(jiǎn)化為泊松方程。再通過一些數(shù)值實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證方法的可行性，并進(jìn)行對(duì)比。

關(guān)鍵詞：有限元；結(jié)點(diǎn)匹配；動(dòng)區(qū)域；泊松方程

1計(jì)算過程的動(dòng)區(qū)域問題描述

電磁軌道推進(jìn)系統(tǒng)是一種借助電磁力來加速拋體運(yùn)動(dòng)的裝置，主要由導(dǎo)軌和電樞組成。推進(jìn)過程中，電流由一側(cè)導(dǎo)軌流入，流經(jīng)電樞，然后從另一側(cè)導(dǎo)軌流出。電樞在電流及兩導(dǎo)軌產(chǎn)生的強(qiáng)磁場(chǎng)作用下，受洛倫茲力沿著導(dǎo)軌加速滑動(dòng)，并最終以一定速度拋射出去求解問題模型如圖1。

圖1　電磁軌道推進(jìn)系統(tǒng)模型

其中Ωt為兩根導(dǎo)軌，中間Ωa為電樞，可在兩導(dǎo)軌間滑動(dòng)。導(dǎo)軌兩端連電源，如此電源、電樞和導(dǎo)軌就連成閉合回路。面Γj、Γe分別為電流流入面和電流流出面。

導(dǎo)體Ωt∪Ωa上滿足麥克斯韋方程組：

該問題為一個(gè)瞬態(tài)問題，電樞在導(dǎo)軌中運(yùn)動(dòng)且每一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)速度不同。故導(dǎo)軌與電樞的交界面就是一個(gè)運(yùn)動(dòng)的區(qū)域。

2問題簡(jiǎn)化

把麥克斯韋方程組簡(jiǎn)化為泊松方程▽2u=0，在導(dǎo)體上求解向量u。故a場(chǎng)解變分問題(▽u，▽v)=0，電流流入面Γj和電流流出面Γe分別加正、負(fù)電壓，常數(shù)±φ。b場(chǎng)解電場(chǎng)E=▽u。a、b場(chǎng)耦合。

用有限元法解該問題，求解場(chǎng)含有運(yùn)動(dòng)部分，類比靜態(tài)問題，在有限元分析中就要不斷改變網(wǎng)格剖分。但如此網(wǎng)格生成的負(fù)擔(dān)很重，計(jì)算量很大，難以實(shí)現(xiàn)。為了減輕網(wǎng)格生成的負(fù)擔(dān)，采用協(xié)調(diào)交接面的方法。靜止的部分導(dǎo)軌上網(wǎng)格保持固定，運(yùn)動(dòng)部分電樞上的網(wǎng)格拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不變，只改變節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。這就要求在運(yùn)動(dòng)界上要建立一個(gè)正確的匹配關(guān)系，以保持兩部分交界面網(wǎng)格的相容性。

3運(yùn)動(dòng)交界面建立匹配關(guān)系

在基于有限元單元計(jì)算中，由單元結(jié)點(diǎn)的已定和待定數(shù)據(jù)構(gòu)成了離散化線性求解方程組的全部未知量和已知量。結(jié)點(diǎn)上的已知和未知的數(shù)據(jù)量決定離散結(jié)點(diǎn)的數(shù)目，而結(jié)點(diǎn)數(shù)目又由區(qū)域離散化程度來確定，不同的問題，離散程度不同，結(jié)點(diǎn)的數(shù)目也不盡相同。

結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)生成于計(jì)算過程的前處理階段(即單元網(wǎng)格劃分和引入邊界條件的過程中)，這些數(shù)據(jù)將以一維和二維數(shù)組的結(jié)構(gòu)形式在運(yùn)算中被存取操作，并作為運(yùn)行系統(tǒng)的靜態(tài)數(shù)據(jù)區(qū)占據(jù)一段固定內(nèi)存。程序在運(yùn)行之初就要預(yù)先為所定義的各類結(jié)點(diǎn)數(shù)組開設(shè)足夠的靜態(tài)內(nèi)存區(qū)。

匹配關(guān)系的建立就是在預(yù)先開辟的內(nèi)存區(qū)對(duì)結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行操作。

圖2

第一步、對(duì)所有的網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)規(guī)定不同的屬性，以區(qū)分該結(jié)點(diǎn)在靜止的導(dǎo)軌上、運(yùn)動(dòng)的電樞上或交界面上。第二步、規(guī)定主從結(jié)點(diǎn)。規(guī)定交界面導(dǎo)軌上的結(jié)點(diǎn)為主結(jié)點(diǎn)，交界面電樞上的結(jié)點(diǎn)為從結(jié)點(diǎn)。第三步、根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度修改電樞上的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，使之運(yùn)動(dòng)起來。第四步、修改從結(jié)點(diǎn)方程編號(hào)為主結(jié)點(diǎn)方程號(hào)，使之主從結(jié)點(diǎn)匹配，方程號(hào)統(tǒng)一。每個(gè)結(jié)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)自由度，相應(yīng)的每個(gè)自由度對(duì)應(yīng)著一個(gè)方程號(hào)。故方程號(hào)統(tǒng)一，就使交界面上的主從結(jié)點(diǎn)每一步解得相同的結(jié)果。

4結(jié)果對(duì)比

(1)不進(jìn)行主從結(jié)點(diǎn)匹配的結(jié)果圖

圖3

(2)主從結(jié)點(diǎn)匹配后的計(jì)算結(jié)果圖

It=3

圖4

圖5

It=7

圖6

圖7

5總結(jié)

用有限元法求解動(dòng)區(qū)域問題，文章提出了修改結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的方法。對(duì)于運(yùn)動(dòng)的交界面，更進(jìn)一步規(guī)定相應(yīng)的主從結(jié)點(diǎn)，建立正確的匹配關(guān)系，使之坐標(biāo)統(tǒng)一、方程號(hào)統(tǒng)一。通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)，這種方法適用于大部分的用有限元法解動(dòng)區(qū)域的問題，不只局限于電磁場(chǎng)計(jì)算問題。

參考文獻(xiàn)

[1]V Vrábel，M Slodi?ka.An eddy current problem with a nonlinear evolution boundary condition[J].J Math Anal Appl，2012，387：267-283.

[2]殷際英.區(qū)域離散化計(jì)算程序中結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)存取技術(shù)[J].2004，30(3)：92-95.

[3]謝德馨，楊仕友.工程電磁場(chǎng)數(shù)值分析和綜合[M].機(jī)械工業(yè)出版社，2008，23-25.

[4]胡建偉，湯懷民.微分方程數(shù)值方法(第二版)[M].北京：科學(xué)出版社，2011，247-248.

(責(zé)任編輯：馬玉鳳)

Solving the Problem of the Dynamic Region in Finite Element Method

YANG Mao，WANG Ran

(Science School，Communication University of China，Beijing 100024)

Abstract：Using the finite element method to analyze the electric field and magnetic field of the whole electromagnetic propulsion system，the paper presents a method to solve the problem of the boundary between the armature and the rail at the junction of the rail.In order to make the method more practical in solving the problem of solving the problem，Maxwell’s equations are reduced to a Poisson equation.The feasibility of the method is verified by some numerical experiments.

Keywords：finite element；node matching；dynamic region；poisson equation.

收稿日期：2016-01-09

作者簡(jiǎn)介：楊茂(1992-)，女(漢族)，山東煙臺(tái)人，中國傳媒大學(xué)研究生.Email：maoyang@cuc.edu.cn

中圖分類號(hào)：O212.4

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-4793(2016)02-0054-03