王同科，　?；圪e，　王彩華

(天津師范大學數(shù)學科學學院，天津300387)

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數(shù)值分析實踐教學實驗設計

王同科，常慧賓，王彩華

(天津師范大學數(shù)學科學學院，天津300387)

[摘要]簡述了數(shù)值分析課程實驗設計的總體思路，設計了三個新的探索性實驗，包括遞歸方程擬合、非光滑函數(shù)插值和奇異積分計算.這些實驗均從最簡單的情形出發(fā)，通過觀察、比較、分析和聯(lián)想得出了新的結論，有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力，為更好地開展數(shù)值分析實踐教學提供指導.

[關鍵詞]數(shù)值分析； 遞歸方程擬合； 非光滑函數(shù)插值； 奇異積分計算； Mathematica軟件

1實驗設計綜述

數(shù)值分析研究數(shù)值求解數(shù)學問題的方法和理論，是一門理論與實踐并重的課程.在數(shù)值分析教學中，實踐環(huán)節(jié)對于培養(yǎng)學生運用知識的能力和創(chuàng)新能力之重要性已成為高校教學上的共識，因此各個學校普遍設置了數(shù)值分析實驗環(huán)節(jié)，安排每周1至2學時的上機實習.如何有效地利用有限的實驗課時,使學生真正掌握數(shù)值分析的基礎，如何爭取更多時間引導學生深入地探索與實驗，很多學校進行了有益嘗試.文[1]綜述了三峽大學數(shù)值分析課程教學改革的研究成果，文[2]總結了中南大學以MATLAB 為平臺進行數(shù)值分析課程輔助教學的方法，文[3，4]主張采用現(xiàn)代信息網絡進行數(shù)值分析實驗教學，文[5，6]分別指出了數(shù)值分析教學中存在的問題，特別提出應根據(jù)不同學校的學生特點改革教學內容，加強實驗教學.這些研究成果為各個學校的數(shù)值分析教學提供了有益的參考.

在數(shù)值分析增設實驗課時的同時，很多學校同步開設了數(shù)學實驗和數(shù)學建模課程.這三門課程相互融合、互為補充，使數(shù)學教學從純理論邁向了以理論為主，兼顧實踐的階段，共同促進了學生實踐能力的提高[7，8].從實驗設計的角度出發(fā)，但琦等[9]將數(shù)學實驗分為基礎性實驗和綜合性實驗，而基礎性實驗包含驗證性實驗和計算性實驗；綜合性實驗包含探索性實驗和應用性實驗.這種分類方法對于數(shù)值分析實驗同樣適用，早期的數(shù)值分析實驗主要是基礎性實驗，要求學生編寫常用算法的C語言或Fortran語言程序；近些年，則普遍引入了通用數(shù)學軟件，程序編寫的難度大大下降，有更多的時間安排一些綜合性實驗，學生更有興趣，學習效果有了很大提高[10].

隨著計算機性能的不斷提高，計算機代數(shù)系統(tǒng)(CAS)已經發(fā)展到了高度智能化的水平，符號運算與數(shù)值計算的邊界越來越模糊，二者的有機融合催生了許多高效率的算法.對于數(shù)值分析實踐教學來說，應該乘勢而為，適度引入符號運算，通過符號運算與數(shù)值計算結果的對比分析，比較數(shù)值算法的優(yōu)劣，看清數(shù)值算法的本質或借助符號運算，提高數(shù)值方法的計算效率.在這方面,我們已經設計了一些實驗,如Chebyshev多項式降階實驗, 二次插值函數(shù)一階導數(shù)超收斂點實驗, 列主元Gauss消去法增長因子實驗等,均已收錄到了教材: Mathematica與數(shù)值分析實驗[11]中.這本教材圍繞算法這一主題展開，用算法的實現(xiàn)、算法的理解、算法的應用這一主線將各部分內容有機地串聯(lián)在一起，實驗內容涵蓋了數(shù)值分析例題選解、基礎算法實驗、數(shù)值方法探索性實驗和數(shù)值方法應用性實驗.目前該教材已被一些學校采用，收到了良好的效果.

在數(shù)值分析實驗設計環(huán)節(jié)，基礎性實驗內容相對固定，應用性實驗則有大量的數(shù)學模型案例可供選用，而探索性實驗則相對缺乏.除了在教材[11]中給出的一些探索性實驗外，近幾年，結合科研工作，我們又設計了一些新的探索性實驗，下面給予簡單介紹.

2幾個典型的探索研究性實驗

2.1遞歸方程擬合

題目設an+1=an+1/an，a1=1，給定一些n，畫出(n,an)的散點圖，并尋找合適的函數(shù)擬合以上圖形.

分析與求解本題給出的公式實際是一個非線性的差分方程，可以嘗試使用Mathematica8.0的RSolve命令求解，但無法成功求出問題的解.下面采用擬合方法求該差分方程的近似解，由于an+1=an+1/an本質上是一個不動點迭代，采用NestList命令計算一些n對應的an值，Mathematica程序為

g[x_]:=x+1.0/x; (*定義迭代函數(shù)*)

nt = 5000; x0 = 1; (*n=nt=5000*)

t = NestList[g, x0, nt] (*計算前5 000個n對應的an值，并存放在表t 中*)

p1=ListPlot[t, PlotStyle -> {PointSize[Small], Red}, AxesStyle -> Thick, BaseStyle -> {Bold, FontSize -> 15}, AxesLabel -> {n, Subscript[a, n]}](*繪制散點圖，如圖1所示*)

圖1　(n,an)的散點圖

由圖1可知，an隨n單調增加，觀察圖像可以考慮使用對數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)進行擬合.經測試，指數(shù)函數(shù)擬合效果較好，擬合命令為 FindFit[t,a*n^b,{a,b},n].執(zhí)行該擬合命令得擬合公式為

f(n)=1.42034n0.499504，

擬合誤差

對于本實驗，得到f(n)=1.42034n0.499504并不困難，進一步的推導實際是一個探索發(fā)現(xiàn)的過程，需要充分發(fā)揮我們的想象力.

2.2非光滑函數(shù)插值

題目1. 給定函數(shù)

2. 將f1(x)和f2(x)分別在x=0點做Taylor展開，比較它們有什么不同？

3. 當n=2時，對于函數(shù)f1(x)，使用其Taylor展開式中的基函數(shù)構造插值函數(shù)，計算插值最大誤差，并與二次插值多項式進行比較.

4. 將區(qū)間[0,1]剖分為n=4等份，求f1(x)的四次插值多項式，并使用其Taylor展開式中的基函數(shù)構造插值函數(shù)，計算插值最大誤差，與n=2時的插值進行比較，觀察誤差的變化情況.

分析與求解1. 當n=2時，插值節(jié)點為xk=k/2,k=0,1,2，直接使用二次Lagrange插值公式，得

圖2　fi(x)的插值誤差圖形(左)和函數(shù)圖形(右)

使用Mathematica的NMaximize命令可知，

進一步繪出f1(x)和f2(x)的函數(shù)圖形，見圖2右圖，可見兩個函數(shù)的值相差并不大，是什么原因導致插值的逼近效果有這么大的差別？聯(lián)想到插值余項公式

仔細觀察圖2右圖，可知函數(shù)f1(x)在x=0點的光滑性較差，原因正在于此.

2. 直接使用Mathematica的Series命令將f1(x)和f2(x)分別在x=0點做Taylor展開，如對于f1(x)，命令為s1[x_]=Series[f1[x],{x,0,4}]，得

(1)

可得插值函數(shù)

圖3　兩種插值的誤差圖形

4. 當n=4時，插值節(jié)點為xk=k/4,k=0,1,…,4，可求得f1(x)的四次Lagrange插值多項式

若使用f1(x)的分數(shù)階Taylor展開式(1)中的基函數(shù)，則得

計算插值最大誤差，連同n=2的結果，一起列在表1中.

表1　n=2和n=4時f1(x)的兩種插值最大誤差

由表1知，當插值節(jié)點增加時，f1(x)的多項式插值精度并沒有明顯提高，而其分數(shù)階插值精度則有數(shù)量級的提高.

本實驗中f1(x)在x=0點的導數(shù)不存在，這雖然僅是函數(shù)的一個局部性質，但它對于插值精度的影響則是全局的.對于這種局部非光滑函數(shù)，通常的多項式插值并不能準確地反映出函數(shù)的這種非光滑性質，因而逼近效果往往比較差[12].若使用非光滑函數(shù)做插值基函數(shù)，則可以大大改善插值精度，但插值基函數(shù)的種類繁多，需正確選擇.基本方法是將函數(shù)在不可導點做廣義的Taylor級數(shù)展開[12]，使用該展開式的基函數(shù)構造插值.這種級數(shù)展開通常歸結為符號計算，本實驗是符號計算與數(shù)值計算聯(lián)合使用提高算法精度的一個典型例子.實驗中的分數(shù)階插值采用了簡單的待定系數(shù)方法，更一般的構造方法及誤差估計見文[13].

2.3奇異積分計算

題目1. 設定計算精度ε=10-8，用Romberg算法計算積分

統(tǒng)計外推次數(shù)及函數(shù)值計算個數(shù)，該方法對于這兩個積分計算效率高嗎？

2. 查找資料，寫出復合梯形公式的誤差漸近展開式，從理論上解釋上面積分計算快或慢的原因.

3. 修改Romberg算法，使之對第一個積分有更高的計算效率.

分析與求解1. 設f(x)∈C[a,b]，將區(qū)間[a,b]劃分為n等份，記

h=(b-a)/n，xi=a+ih，i=0,1,2,…,n，

(2)

復合梯形公式單獨使用時計算精度不高，通常情況下可以使用Romberg算法進行外推.Romberg算法通過對不同步長的復合梯形公式進行組合，逐步消去誤差低階項達到快速收斂的目的.Romberg算法公式為

其中T0,k表示區(qū)間[a,b]二分k次后求得的梯形值，Tm,k表示外推m次的加速值.

表2　Romberg算法計算兩個積分的結果統(tǒng)計

由表2知，Romberg算法可以計算這兩個積分，積分②計算正常，但積分①外推收斂很慢，計算效率非常低.為什么同一個函數(shù)在不同區(qū)間上的計算效果差別如此之大呢？注意到Romberg算法外推的理論基礎是復合梯形公式的誤差漸近展開式，我們需要從誤差漸近展開式出發(fā)進行討論.

2. 當被積函數(shù)f(x)在積分區(qū)間上充分光滑時，梯形公式(2)的誤差漸近展開式為[11]

(3)

(4)

進一步，有

接下來進行正常外推即可.這種方法稱為改進的Romberg算法.

Romberg外推算法是數(shù)值分析的一個必做實驗，通常僅對充分光滑函數(shù)進行，計算效率很高，學生除了練習編程之外，難有其他收獲.此實驗通過奇異積分計算，開闊學生思路，讓學生認識到，在實際計算時針對具體函數(shù)正確選用算法或改進現(xiàn)有算法十分重要，其基礎是算法的理論分析.在數(shù)值分析學習中，理論與實踐同等重要，缺一不可.學生通過完成實驗還可以體會科學探索的過程，如有興趣，還可以進一步學習奇異積分的誤差漸近展開式及其推導過程[15,16].

3結論

在數(shù)值分析教學中開設上機實驗課早已成為各個高校的共識，但設置何種實驗則討論較少，特別是探索創(chuàng)新型實驗更少.本文設計了三個新的數(shù)值分析實驗，這些實驗是相關基礎實驗的深化和推廣，有助于學生加深對所學數(shù)值方法的理解.學生通過完成實驗，可以有效地提高科學計算能力.

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Experimental Design for Practical Teaching in Numerical Analysis

WANGTong-ke,CHANGHui-bin,WANGCai-hua

(School of Mathematical Sciences, Tianjin Normal University, Tianjin 300387, China)

Abstract:Based on reviewing the basic ideas for experimental design in numerical analysis, this paper designs three new exploratory experiments, including fitting for a recurrence equation, interpolation for insufficiently smooth functions and the computation of singular integrals. These experiments are all starting from the simplest cases and draw new conclusions through observation, comparison, analysis and conjecture, which are helpful to train the students’ innovative thinking ability, as well as provide better guidance for the practical teaching in numerical analysis.

Key words:numerical analysis; fitting for recurrence equation; interpolation for insufficiently smooth function; computation of singular integral; Mathematica software

[收稿日期]2015-09-05；[修改日期] 2016-03-26

[基金項目]天津市普通高等學校本科教學質量與教學改革研究計劃項目

[作者簡介]王同科(1965-),男,博士,教授,從事計算數(shù)學研究.Email:wangtke@sina.com

[中圖分類號]O241

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2016)02-0057-07