梅正陽

(華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，武漢430074)

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數(shù)學(xué)模型下的官渡之戰(zhàn)曹操兵力考

梅正陽

(華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，武漢430074)

[摘要]官渡之戰(zhàn)中，曹操初始兵力到底是多少？通過建立數(shù)學(xué)模型，分析相關(guān)參數(shù)，得到曹操在三個(gè)月內(nèi)戰(zhàn)勝袁紹時(shí)，其初始兵力應(yīng)該為8-10萬人.

[關(guān)鍵詞]官渡之戰(zhàn)； 數(shù)學(xué)模型； 武將武力值； 文臣計(jì)謀評(píng)價(jià)值

1引言

官渡之戰(zhàn)[1]是發(fā)生在公元200年(東漢建安五年)東漢末年的一次重要的戰(zhàn)役，也是曹操集團(tuán)消滅袁紹集團(tuán)統(tǒng)一北方的重大戰(zhàn)役，這場(chǎng)戰(zhàn)役拉開了中國歷史上漢末三國爭(zhēng)霸的序幕.但是由于史籍對(duì)這場(chǎng)戰(zhàn)爭(zhēng)的記載有限，人們只能從不同側(cè)面文字的描寫中拼湊出戰(zhàn)爭(zhēng)的輪廓，為后人了解這場(chǎng)意義非凡的戰(zhàn)役留下了許多謎團(tuán)，許多主流三國史學(xué)家都認(rèn)為，官渡之戰(zhàn)是三國歷史上以少勝多、以弱勝強(qiáng)、斗智斗勇的經(jīng)典戰(zhàn)例，羅貫中的小說《三國演義》[2]將其描寫成袁紹率大軍七十萬進(jìn)駐官渡，曹操起軍七萬迎敵，從第二十二回“袁曹各起馬步三軍，關(guān)張共擒王劉二將”到第三十一回“曹操倉亭破本初，玄德荊州依劉表”等多個(gè)章回的篇幅，詳細(xì)地演繹了官渡之戰(zhàn).當(dāng)時(shí)的名人諸葛亮也在“隆中對(duì)”中對(duì)劉備表示“曹操比于袁紹，則名微而眾寡，然操遂能克紹，以弱勝強(qiáng)者，非惟天時(shí)，抑亦人謀也”[1，2].近年來也有學(xué)者從政治、軍事、經(jīng)濟(jì)等多方面對(duì)雙方參戰(zhàn)兵力進(jìn)行了詳細(xì)的考證[3]，認(rèn)為袁紹兵力是曹操兵力的至少五倍甚至十倍.但是，也有研究者的研究結(jié)果[7]表明，曹操參戰(zhàn)兵力應(yīng)該與袁紹兵力相當(dāng)，不存在以少勝多的情況.

那么，官渡之戰(zhàn)時(shí)，雙方的兵力到底如何？本文將通過數(shù)學(xué)模型思想和方法[4,5]，建立官渡之戰(zhàn)數(shù)學(xué)模型，基于數(shù)學(xué)模型計(jì)算結(jié)果為官渡之戰(zhàn)兵力考能的歷史研究提供一個(gè)窗口.

2官渡之戰(zhàn)數(shù)學(xué)模型

官渡之戰(zhàn)發(fā)生在中國古代冷兵器時(shí)期，無法采用熱兵器火力射擊和火炮覆蓋情況下的大規(guī)模戰(zhàn)爭(zhēng)模型[6]，本文將客觀歷史事實(shí)和主觀評(píng)價(jià)相結(jié)合，建立官渡之戰(zhàn)微分方程模型[8].

假設(shè)冷兵器的三國時(shí)代戰(zhàn)爭(zhēng)，主要形式分為對(duì)陣戰(zhàn)和偷襲戰(zhàn)兩種.其中，“對(duì)陣戰(zhàn)”是指雙方擺好陣勢(shì)，將帥和士兵展開廝殺；“偷襲戰(zhàn)”是指一方在明處，另一方在暗處，暗處方乘明處方不備，突然發(fā)起攻擊.為描述戰(zhàn)爭(zhēng)發(fā)展趨勢(shì)，首先，定義戰(zhàn)爭(zhēng)一方“士兵平均損失率”為某段時(shí)間內(nèi)喪失戰(zhàn)斗力(死亡和傷病)的士兵數(shù)量與時(shí)間長(zhǎng)度之比，當(dāng)時(shí)間區(qū)間長(zhǎng)度趨近于0時(shí)，即可得到連續(xù)時(shí)間下導(dǎo)數(shù)方程.如果以X方士兵損失率為例，其士兵平均損失率的極限即導(dǎo)數(shù)為對(duì)陣戰(zhàn)損失率X1、偷襲戰(zhàn)損失率X2、非戰(zhàn)斗損失率X3和增援率X4之和.

(1)

其中“非戰(zhàn)斗損失”是指疾病和逃跑等損失的士兵，“增援”是指戰(zhàn)爭(zhēng)開始后新加入的友軍或己方后續(xù)部隊(duì).規(guī)定官渡之戰(zhàn)的最小時(shí)間單位規(guī)定為“天”，即連續(xù)時(shí)間t離散化時(shí)按天計(jì)算.戰(zhàn)爭(zhēng)雙方為袁紹集團(tuán)和曹操集團(tuán).假設(shè)袁紹方兵力隨時(shí)間變化的函數(shù)為x(t)，曹操方兵力隨時(shí)間變化函數(shù)為y(t)，分析影響戰(zhàn)爭(zhēng)因素，建立數(shù)學(xué)模型.

對(duì)(1)各項(xiàng)進(jìn)行詳細(xì)描述如下：

對(duì)陣戰(zhàn)

兩軍對(duì)壘，雙方武將交鋒，假設(shè)己方士兵損失率X1與對(duì)方士兵數(shù)成正比：

X1=戰(zhàn)場(chǎng)知己知彼系數(shù) × 戰(zhàn)場(chǎng)綜合殺傷系數(shù) × 對(duì)方參與戰(zhàn)斗士兵數(shù).

(2)

戰(zhàn)場(chǎng)知己知彼系數(shù)定義為

A=本方主帥正確識(shí)別雙方資源數(shù)/雙方資源總和.

資源包括：武將數(shù)、文臣數(shù)、主將能力、士兵數(shù)量、士兵素質(zhì)、武器裝備、糧草多少、戰(zhàn)場(chǎng)氣候、戰(zhàn)場(chǎng)地理、雙方后方穩(wěn)固性等.本方主帥能否準(zhǔn)確識(shí)別雙方資源，是戰(zhàn)前知己知彼、掌握戰(zhàn)爭(zhēng)主動(dòng)權(quán)的關(guān)鍵.鑒于曹操能力優(yōu)于袁紹[1]，故假設(shè)雙方戰(zhàn)場(chǎng)知己知彼系數(shù)比：

袁方戰(zhàn)場(chǎng)知己知彼系數(shù)∶曹方戰(zhàn)場(chǎng)知己知彼系數(shù) = 0.4∶0.6.

戰(zhàn)場(chǎng)綜合殺傷系數(shù)定義為

α=λ×武將綜合武力值+(1-λ)×士兵綜合素質(zhì)，

其中通過分析歷史資料，對(duì)參戰(zhàn)武將打分，得到武力值見表1.在冷兵器時(shí)代，兩軍正面對(duì)壘時(shí)，本文認(rèn)為武將能力比士兵素質(zhì)更重要，故取綜合權(quán)值λ=0.6，則1-λ=0.4.由于曹操率領(lǐng)的青州兵訓(xùn)練有素，進(jìn)一步假設(shè)雙方士兵素質(zhì)比：

袁方士兵素質(zhì)∶曹方士兵素質(zhì) = 0.6∶0.8.

(i)偷襲戰(zhàn)

文臣謀士設(shè)計(jì)某種計(jì)謀，在隱蔽自己的同時(shí)突然襲擊對(duì)方，給對(duì)方造成損失.偷襲戰(zhàn)士兵損失率X2與對(duì)方參與戰(zhàn)斗士兵數(shù)量和己方參與襲擊士兵數(shù)之積成正比：

X2=戰(zhàn)場(chǎng)靈活系數(shù)×計(jì)謀綜合殺傷系數(shù)×己方參與士兵數(shù)×對(duì)方偷襲戰(zhàn)士兵數(shù)，

(3)

其中，戰(zhàn)場(chǎng)靈活系數(shù)定義為

B=0.5×(I+D)，

其中I=1-e-n為信息感知系數(shù)[6]，n為有效計(jì)謀次數(shù)，有效計(jì)謀次數(shù)越多，表示信息感知能力越強(qiáng)；D為主帥決策水平[6]，可以通過判斷主帥的方案選擇能力、局面控制能力、心態(tài)謀略能力等進(jìn)行評(píng)價(jià)，二者的簡(jiǎn)單平均即為戰(zhàn)場(chǎng)靈活系數(shù).鑒于雙方主帥在接納謀臣意見、判斷戰(zhàn)場(chǎng)形勢(shì)等方面的差異，假設(shè)雙方?jīng)Q策水平比

袁紹決策水平 ∶曹操?zèng)Q策水平 = 0.4∶0.8.

(ii)謀臣綜合殺傷系數(shù)定義為

β=μ×主帥智謀評(píng)價(jià)值+(1-μ)×文臣智謀綜合值.

通過分析歷史資料，對(duì)官渡之戰(zhàn)初期雙方文臣進(jìn)行打分，得到文臣智謀綜合值見表2.當(dāng)然，在冷兵器時(shí)代的偷襲戰(zhàn)中，主帥在偷襲戰(zhàn)發(fā)生前的決策、在偷襲戰(zhàn)過程中的靈活應(yīng)變能力是偷襲成功與否的重要因素，故取加權(quán)系數(shù)μ=0.6，則1-μ=0.4.由于雙方主帥袁紹和曹操的智力有一定差距，故假設(shè)雙方主帥智謀水平比：

袁紹智謀水平 ∶曹操智謀水平 = 0.4∶0.8.

參加偷襲戰(zhàn)士兵數(shù)量是總士兵數(shù)的某個(gè)比例，即x′=kx，0≤k≤1，資料[1]表明，官渡之戰(zhàn)中曹操派5千精兵火燒袁方烏巢(文獻(xiàn)[7]等認(rèn)為曹操率1萬精兵襲擊烏巢，本文按5千計(jì)算)，袁紹派5千士兵偷襲曹方大營(yíng).

(iii)非戰(zhàn)斗損失

疾病和逃跑造成的士兵損失率，與士兵總數(shù)成正比，設(shè)損失系數(shù)為u,v；

(iv)增援率

戰(zhàn)役進(jìn)行過程中，單位時(shí)間內(nèi)己方或友軍的增援士兵數(shù)，設(shè)為p(t),q(t).

實(shí)際戰(zhàn)斗進(jìn)行中，戰(zhàn)時(shí)季節(jié)氣候、戰(zhàn)場(chǎng)地理環(huán)境等現(xiàn)象都可能有利或不利于某一方，并加大或減小某一方士兵損失率，此處不予考慮.

綜上所述，最后得到官渡之戰(zhàn)的數(shù)學(xué)模型：

(4)

其中第一、二個(gè)方程分別表示袁紹集團(tuán)和曹操集團(tuán)士兵瞬時(shí)損失率，x(0)=x0和y(0)=y0分別表示袁曹雙方的初始兵力.

對(duì)于模型(4)，假設(shè)不考慮雙方非戰(zhàn)斗損失率和增援率，得到官渡之戰(zhàn)簡(jiǎn)化模型

(5)

3官渡之戰(zhàn)模型參數(shù)確定

為了求解官渡之戰(zhàn)模型(5)，必須先確定出相關(guān)參數(shù).

首先，通過資料[1,2]，對(duì)袁紹和曹操軍事集團(tuán)雙方文臣武將水平打分，對(duì)武將武力值和文臣計(jì)謀評(píng)價(jià)值按10分制打分，最低1分，最高10分，不計(jì)算降將得分.根據(jù)官渡之戰(zhàn)初期雙方情況，打分結(jié)果如表1和表2：

表1　袁紹集團(tuán)和曹操集團(tuán)武將得分表

表2　袁紹集團(tuán)和曹操集團(tuán)文臣打分表

統(tǒng)計(jì)打分結(jié)果為：文臣得分：袁紹集團(tuán)51分，曹操集團(tuán)44分，總分95分.

武將得分：袁紹集團(tuán)61分，曹操集團(tuán)61分，總分122分.

其次，根據(jù)資料[1,2]，列出其它參數(shù)的實(shí)際意義和取值結(jié)果如表3所示：

表3　袁紹集團(tuán)和曹操集團(tuán)在官渡之戰(zhàn)模型中的參數(shù)取值

袁紹集團(tuán)提出被實(shí)施的3次計(jì)謀分別是：堆土山計(jì)、挖地道計(jì)、襲擊曹操大營(yíng)計(jì)；

曹操集團(tuán)提出被實(shí)施的8次計(jì)謀分別是：程昱薦關(guān)羽斬顏良，延津棄糧草輜重誘敵誅文丑，劉曄造發(fā)石車計(jì)和掘長(zhǎng)塹計(jì)，荀攸斷袁紹糧草計(jì)，許攸火燒烏巢計(jì)，荀攸分袁紹兵并八路沖營(yíng)計(jì)，程昱十面埋伏計(jì).

根據(jù)文獻(xiàn)記載，假設(shè)袁紹的初始兵力11萬，曹操初始兵力2萬[3].

4官渡之戰(zhàn)模型求解與分析

假設(shè)戰(zhàn)斗一方剩余士兵數(shù)量低于1000人時(shí)，判定該方戰(zhàn)敗.將表3各數(shù)據(jù)，代入模型(5)，數(shù)值求解結(jié)果為袁紹戰(zhàn)勝曹操，不符合歷史事實(shí)，故略去求解過程.仔細(xì)分析史料，表3中有三處數(shù)據(jù)需要適當(dāng)調(diào)整.第一，官渡之戰(zhàn)全面開戰(zhàn)之前，在前哨白馬之戰(zhàn)和延津之戰(zhàn)中袁紹集團(tuán)已有兩員大將顏良和文丑被殺；第二，官渡之戰(zhàn)剛剛開始之時(shí)，袁紹集團(tuán)重要謀士田豐被下獄；第三，官渡之戰(zhàn)進(jìn)行之中，袁紹集團(tuán)襲擊曹方大營(yíng)的計(jì)謀不成功，該計(jì)謀無效，可認(rèn)為袁紹集團(tuán)參與襲擊士兵數(shù)為0.基于這三點(diǎn)，將袁紹集團(tuán)文臣計(jì)謀值、武將武力值、有效計(jì)謀次數(shù)和偷襲戰(zhàn)人數(shù)進(jìn)行修改：

(i)武將武力值得分：袁紹集團(tuán)61-14=47分，曹操集團(tuán)61分，總分108分.

(ii)文臣計(jì)謀值得分：袁紹集團(tuán)51-6=45分，曹操集團(tuán)44分，總分89分.

(iii)有效計(jì)謀次數(shù)：袁紹集團(tuán)3-1=2次，曹操集團(tuán)8次.

(iv)袁紹方偷襲曹操大營(yíng)不成功，襲擊士兵數(shù)為0.

對(duì)表3部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行修改，得到修改后的參數(shù)如下表4所示：

則相應(yīng)的官渡之戰(zhàn)數(shù)學(xué)模型(5)有如下模型(6)的具體形式：

(6)

模型(6)的Matlab數(shù)值求解結(jié)果見表5.

表5　模型(6)求解部分結(jié)果

由表5可知，雖然官渡之戰(zhàn)開始時(shí)，袁紹集團(tuán)的大將顏良、文丑已經(jīng)被殺，謀士田豐也被下獄，而且偷襲曹方大營(yíng)不成功，但是，只要袁紹憑借優(yōu)勢(shì)兵力，繼續(xù)堅(jiān)持3個(gè)月即約90天以上時(shí)，就能夠以損失不到2萬人即剩余約9萬人的代價(jià)擊敗曹操.

但非常遺憾，官渡之戰(zhàn)從建安五年八月開始，進(jìn)行了大約3個(gè)月，到建安五年十月[1]的時(shí)候，袁紹大敗，曹操完勝.有鑒于此，繼續(xù)對(duì)模型(5)或模型(7)的參數(shù)逐個(gè)進(jìn)行分析，尋找袁紹失敗的原因.

4.1降低袁紹集團(tuán)士兵作戰(zhàn)能力，修改模型部分參數(shù)

由于袁紹在征服北方過程中，收編了很多割據(jù)勢(shì)力的武裝，這些割據(jù)勢(shì)力的士兵素質(zhì)較差，那么士兵素質(zhì)到底有多差？是否能影響官渡之戰(zhàn)的結(jié)局？在袁紹集團(tuán)各項(xiàng)參數(shù)不變條件下，單純降低袁紹方士兵素質(zhì)能力評(píng)價(jià)值，將表3中第4項(xiàng)袁紹方士兵素質(zhì)能力評(píng)價(jià)值由0.6降低為0.4，曹方士兵能力評(píng)價(jià)值0.8不變，則模型(6)被修改為如下模型(7)

(7)

對(duì)模型(7)用Matlab編程求解，結(jié)果如下表6.

表6　模型(7)求解部分結(jié)果

由表6可知，在官渡之戰(zhàn)進(jìn)行到120天左右時(shí)，曹操戰(zhàn)敗，袁紹勝利.

預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際結(jié)果相反，也就是說，曹操集團(tuán)士兵素質(zhì)是袁紹集團(tuán)士兵素質(zhì)的2倍時(shí)，曹操集團(tuán)仍然無法戰(zhàn)勝袁紹集團(tuán)，這表明士兵素質(zhì)不是影響官渡之戰(zhàn)重要因素.

4.2降低袁紹指揮能力和決策水平，修改模型部分參數(shù)

部分資料如文獻(xiàn)[3]認(rèn)為，袁紹集團(tuán)代表傳統(tǒng)儒家士族利益，曹操集團(tuán)代表新興法家地主階級(jí)利益，袁紹的政治軍事能力都比曹操差很多，那么袁紹集團(tuán)軍事指揮能力到底有多差？能影響官渡之戰(zhàn)結(jié)果嗎？在其它參數(shù)不變情況下，將表3中第2項(xiàng)袁紹集團(tuán)戰(zhàn)場(chǎng)知己知彼系數(shù)由0.4下降為0.2，曹操集團(tuán)參數(shù)不變，則模型(6)被修改為如下模型(8)，數(shù)值計(jì)算結(jié)果如表7：

(8)

結(jié)果顯示，在戰(zhàn)斗進(jìn)行到230天左右時(shí)，曹操剩余士兵不到千人，曹方戰(zhàn)敗，袁紹勝利.結(jié)果表明袁紹的指揮能力不是其失敗的關(guān)鍵因素.

類似地，分別對(duì)表3中第6項(xiàng)、第8項(xiàng)參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，分別降低袁紹方主帥決策水平和主帥智謀評(píng)價(jià)值，重新求解修改參數(shù)后的模型，結(jié)果仍然是袁紹勝利、曹操失敗.只有繼續(xù)降低袁紹的智商，如降低袁紹方戰(zhàn)場(chǎng)知己知彼系數(shù)到Ax=0.08時(shí)，計(jì)算結(jié)果顯示曹操大約需要3年時(shí)間擊敗袁紹.此時(shí)，袁曹雙方戰(zhàn)場(chǎng)知己知彼系數(shù)之比為06/0.08=7.5，即當(dāng)曹操判斷能力高出袁紹判斷能力7到8倍時(shí)，曹操仍需要3年時(shí)間才能打敗袁紹，而曹操集團(tuán)的物資供應(yīng)支撐不了3年，所以，袁紹集團(tuán)指揮能力太差的解釋無法令人信服.

4.3增加曹操集團(tuán)初始兵力數(shù)量，修改模型部分參數(shù)

歷史資料對(duì)于曹操兵力記載不祥，關(guān)于曹操集團(tuán)初始兵力有各種不同的說法.回到模型(6)，假設(shè)袁紹初始兵力11萬不變，修改曹操初始兵力，由2萬逐步增加到10萬.對(duì)模型(6)，僅修改曹操初始兵力條件，當(dāng)曹操初始兵力為4萬時(shí)，仍然戰(zhàn)??；繼續(xù)增加曹方兵力，分三次計(jì)算結(jié)果如下表8所示

表8　模型(6)求解部分結(jié)果

其中，曹操初始兵力為6萬時(shí)，雙方兵力變化趨勢(shì)如圖1所示：

圖1　官渡之戰(zhàn)模型曹操初始兵力6萬時(shí)雙方兵力變化趨勢(shì)圖和相圖

由表8可知，當(dāng)曹操初始兵力6萬時(shí)，在戰(zhàn)斗進(jìn)行到220多天時(shí)，袁紹失敗，曹操勝利；當(dāng)曹操初始兵力8萬時(shí)，在戰(zhàn)斗進(jìn)行到約150天時(shí)，袁紹失敗，曹操勝利；當(dāng)曹操初始兵力10萬時(shí)，在戰(zhàn)斗進(jìn)行到超過110天時(shí)，袁紹失敗，曹操勝利.由此可知，曹操集團(tuán)的初始兵力是官渡之戰(zhàn)勝負(fù)的決定因素，與文獻(xiàn)[7]的考證結(jié)果相符.

5結(jié)論

通過將客觀歷史事實(shí)和主觀評(píng)價(jià)相結(jié)合，建立官渡之戰(zhàn)數(shù)學(xué)模型，并對(duì)各因素深入分析，調(diào)整參數(shù)值，數(shù)值計(jì)算得到如下結(jié)論：第一，在袁紹初始兵力11萬、曹操初始兵力2萬的假設(shè)下，即使袁紹士兵素質(zhì)、主帥水平等都比曹操差，袁紹均能戰(zhàn)勝曹操.因此，士兵素質(zhì)、將帥能力等不是袁紹失敗的主要原因.第二，當(dāng)曹操初始兵力達(dá)到8萬人，同時(shí)曹操的士兵素質(zhì)、計(jì)謀次數(shù)、將帥水平都優(yōu)于袁紹時(shí)，曹操仍然需要約5個(gè)月的時(shí)間戰(zhàn)勝袁紹，但是曹操的軍需糧草不足，難以支撐5個(gè)月，必然失敗.因此，初始士兵數(shù)量在官渡之戰(zhàn)中起重要作用.最后，如果袁紹初始兵力為11萬，那么，曹操集團(tuán)在士兵素質(zhì)、戰(zhàn)略判斷、將帥水平等方面都優(yōu)于袁紹集團(tuán)的情況下，其初始兵力應(yīng)該在8-10萬左右，曹操才能如歷史資料記載那樣，在約3個(gè)月時(shí)間內(nèi)戰(zhàn)勝袁紹.因此，無論是陳壽的《三國志》[1]，還是羅貫中的《三國演義》[2]，在數(shù)據(jù)處理上，都有故意貶低袁紹能力、夸大曹操軍事能力之嫌.

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The Numbers of Cao Cao’s Troops in the Battle of Guandu under Mathematical Model

MEIZheng-yang

(School of Mathematics and Statistic，HUST，Wuhan 430074, China)

Abstract:In the Battle of Guandu, how many people are in the Cao Cao’s troops? The mathematical model has been established and the relevant parameters have been analyzed. According to the history of Cao Cao defeated Yuan Shao during three months, there be about 80-100 thousand soldiers in Cao Cao’s troops.

Key words:the battle of Guandu; mathematical model; the force value of general; the evaluation value of brain talent

[收稿日期]2016-01-07；[修改日期] 2016-03-22

[基金項(xiàng)目]華中科技大學(xué)公共選修精品課程建設(shè)項(xiàng)目(2014004)

[作者簡(jiǎn)介]梅正陽(1964-),男，博士，副教授，從事金融數(shù)學(xué)、應(yīng)用統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)模型研究.Email:zymei2007@aliyun.com

[中圖分類號(hào)]O175.1； O241.8

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]B

[文章編號(hào)]1672-1454(2016)02-0035-08